數(shù)學(xué)分析例題

1、一、極限論例1.6 證明 ，其中a>0為常數(shù).例1.7 設(shè)為例1.5所得的數(shù)列，即證明.例1.8 證明.例1.9 求.例1.10 求.例1.11 求.例1.12 例1.13 證明.例1.14 求.例1.16 設(shè)求.例1.17 證明極限存在.例1.18 若，則數(shù)列收斂.例1.19 證明.例1.20 證明 （1）（2）例1.21 證明.例1.22 證明.例1.23 證明例1.24 證明 （1） （2）.例1.27 求極限.例1.28 求極限例1.29 求證例1.32 例1.33 例1.34 例1.35 求例1.36 例1.37 例1.38 例1.39 求例1.40 求極限例1.41 求極限例

2、1.42 考查函數(shù)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性.例1.48 x=0是的第二類間斷點(diǎn).例1.49 是的第二類間斷點(diǎn).例1.56 例1.57 例1.58 根據(jù)初等函數(shù)的連續(xù)性與復(fù)合函數(shù)連續(xù)性，有（1）（2）（3）例1.60 求例1.61 證明方程在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個根.一致連續(xù)性 例1.63 例1.64 例1.5 書上49頁.1.9 實數(shù)的連續(xù)性、上下極限 書上51頁.補(bǔ)充：部分例子仍在書中，看書為準(zhǔn).二、一元函數(shù)微分學(xué)例2.1 求函數(shù)在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù).例2.2 設(shè).例2.3 證明函數(shù)例2.4 設(shè),確定函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處的可導(dǎo)性.例2.5 求等邊雙曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程和法線方程.

3、例2.6 求導(dǎo)(1) (2)例2.7 證明(1) (2)例2.8 證明例2.9 證明：（1） （2）例2.10 求導(dǎo)數(shù)（1）（2）例2.11 求導(dǎo)數(shù)（1）（2）例2.12 求導(dǎo)數(shù)（1） （2） （3）（4）例2.13求導(dǎo)（1）（2）例2.14 求橢圓所確定的參數(shù)變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求出該橢圓在的對應(yīng)點(diǎn)處的切線方程。例2.15 在不計空氣阻力的情況下，以發(fā)射角a及初速度射出的炮彈，其運(yùn)動軌跡由參數(shù)方程給出，其中t為時間參數(shù)，試求炮彈在任意時刻t的速度和方向。例2.16 設(shè)方程確定了一個隱函數(shù)例2.17求方程所確定的隱函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)例2.18 試求曲線在點(diǎn)處的切線方程例2.19 地面上空2km

4、處有一架飛機(jī)作水平飛行，時速為每小時200km。機(jī)上觀察員正在瞄準(zhǔn)前方礦山，用航空攝影進(jìn)行地面測量。因為飛機(jī)的位置在改變，必須轉(zhuǎn)動攝影機(jī)才能保持礦山在鏡頭之內(nèi)，試問當(dāng)俯角為90°時，攝影機(jī)的角速度是多少？例2.20 曲柄連桿機(jī)如圖，當(dāng)曲柄OC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時，連桿BC在OS軸的上下擺動，且推動滑塊B作往復(fù)直線運(yùn)動，由三角知識可得，滑塊B的位移s與的關(guān)系為：例2.23 （1）求函數(shù)在點(diǎn)x=0的微分 （2）求函數(shù)例2.24 求下列函數(shù)的微分（1）（2）例2.25 求由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例2.26求曲線在點(diǎn)（2，1）處的切線方程.例2.27 設(shè)已經(jīng)測得圓鋼的直徑為43cm，且已知絕對誤差

5、不超過0.1cm，求由此所引起的圓鋼截面積的絕對誤差.例2.28 鐘表原來的周期是1s，冬季擺長縮短了0.01cm，試問這個鐘每天大約快多少？（）例2.29 求的近似值.例2.30 求的近似值.例2.31 例2.35 .例2.36 旋輪線的參數(shù)方程為.例2.37 設(shè)隱函數(shù)方程為，試求二階導(dǎo)數(shù).例2.39 證明對一切x>-1,都有成立.例2.40 如果f（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間a，b上連續(xù)，試證函數(shù)f（x）在a，b上滿足利布希茨條件，即存在常數(shù)L>0，使對一切，都有.例2.41 例2.42 P91例2.43 討論函數(shù)在點(diǎn)x=0處的可導(dǎo)性.例2.44 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.例2.45 討論函

6、數(shù)的單調(diào)性.例2.46 證明例2.47 求的極值點(diǎn)和極值.例2.48 求函數(shù)在區(qū)間-1，2上的最大值和最小值例2.49 有一張長方形不銹鋼薄板，長為a，寬為，將它的四角各截去一個大小相同的小正方形，然后將四邊折起來，做成一個屋改的小方盒，試問截去的小正方形邊長為多少時，盒子的體積最大？并求該最大值.例2.50 如圖2-22所示，鐵路線上AB段的距離為100km，工廠C距A處為20km，AC垂直于AB.為了運(yùn)輸需要,要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路.已知鐵路每公里貨運(yùn)的費(fèi)用與公路上每公里貨運(yùn)的費(fèi)用之比為3:5.為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,試問D點(diǎn)應(yīng)選在何處?例2.51 設(shè)函

7、數(shù)f（x）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b），則，使得.例2.52 由洛必達(dá)法則得 例2.53 由洛必達(dá)法則得例2.54由洛必達(dá)法則得例2.55由洛必達(dá)法則得例2.56 由洛必達(dá)法則得例2.57 由洛必達(dá)法則得例2.58求極限例2.59 求極限例2.60 求極限例2.61 求極限例2.62 求極限例2.63 求極限例2.64求極限例2.65 求極限注意：和不能用洛必達(dá)法則算出。泰勒公式：例2.66 求函數(shù)的麥克勞林公式（帶皮亞諾余項）例2.67 求函數(shù)的麥克勞林公式（帶皮亞諾余項）例2.68 求函數(shù)lnx在點(diǎn)x=2處的泰勒公式（帶皮亞諾余項）例2.69 求函數(shù)tanx的四階麥克勞林公式（

8、帶皮亞諾余項）例2.70 設(shè) ，求.例2.71 求不定式極限 例2.72 求不定式極限例2.73 求不定式極限例2.74 求函數(shù)的極值.例2.76（1）求e的近似值，使其誤差小于（2）證明e是無理數(shù)關(guān)于凹凸函數(shù)：不過補(bǔ)充一下，中國數(shù)學(xué)界關(guān)于函數(shù)凹凸性定義和國外很多定義是反的。國內(nèi)教材中的凹凸，是指曲線，而不是指函數(shù)，圖像的凹凸與直觀感受一致，卻與函數(shù)的凹凸性相反。只要記住“函數(shù)的凹凸性與曲線的凹凸性相反”就不會把概念搞亂了。 另外，國內(nèi)各不同學(xué)科教材、輔導(dǎo)書的關(guān)于凹凸的說法也是相反的。一般來說，可按如下方法準(zhǔn)確說明：1、f(x1+(1-)x2)<=f(x1)+(1-)f(x2) ， 即V

9、型，為“凸向原點(diǎn)”，或“下凸”（也可說上凹），（有的簡稱凸有的簡稱凹）2、f(x1+(1-)x2)>=f(x1)+(1-)f(x2) ， 即A型，為“凹向原點(diǎn)”，或“上凸”（下凹），（同樣有的簡稱凹有的簡稱凸）例2.77 考察函數(shù)的凸性.例2.80 求曲線的漸近線.例2.81 作出例2.80函數(shù)圖像.例2.82 試作出函數(shù)的圖像.例2.83 書本P120例3.1 設(shè)曲線通過點(diǎn)（1,2），且該曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方的3倍，求該函數(shù)的方程.例3.2 試求函數(shù)在區(qū)間上的不定積分.例3.3 例3.4 例3.5 例3.6 例3.7 例3.8 例3.9 例3.10 例3.11

10、 例3.12 例3.13 例3.14 例3.15 例3.16 求不定積分例3.17 求不定積分例3.18 求不定積分例3.19 求不定積分例3.20 求不定積分例3.21 求不定積分例3.22 例3.23 例3.24 例3.25 求不定積分例3.26 求不定積分例3.28 求不定積分.例3.29 求不定積分.例3.30 求不定積分.例3.31 求不定積分.例3.32 求不定積分.例3.33 求不定積分例3.34 求不定積分例3.35 求不定積分例3.36 運(yùn)用配方法和歐拉變換法求不定積分例3.37 按定義計算定積分.例3.38 按定義計算定積分.例3.39 證明狄利克雷函數(shù)D(x)在區(qū)間0,1

11、上不可積.例3.40 應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式計算下列定積分(1) (2) (3) (4)例3.41 求和式極限例3.42 設(shè)為有界數(shù)列，令，則f(x)在0,1上可積.例3.43 證明黎曼函數(shù)R(x)在0,1上可積，且.例3.45 設(shè)例3.46 計算定積分例3.47 計算定積分例3.48 計算定積分例3.49 計算定積分例3.50 計算定積分例3.51 計算定積分例3.52 計算和例3.54 求由拋物線與直線所圍成區(qū)域的面積例3.55 求橢圓的面積例3.56 求心形線所圍成區(qū)域的面積例3.57 求兩圓柱面與所圍成的立體體積例3.58 3.59（旋轉(zhuǎn)體與圓環(huán)體體積）P175例3.60 求曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得到旋轉(zhuǎn)體體積.例3.61 求旋輪線的長例3.62 求懸鏈線的長.例3.63 求拋物線上曲率最大的點(diǎn).例3.64 設(shè)元件內(nèi)表面截線為拋物線，如圖2-35所示，要用砂輪打磨其內(nèi)表面，試問用半徑多大的砂輪才比較合適？例3.65 計算圓在一段弧繞x軸旋轉(zhuǎn)所得球帶面積.例3.66 如圖3-77所示，求星形線繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的面積.例3.673.69 P184例3.72 討論無窮積分的斂散性.例3.72 例3.74 例3.75 計算瑕積分的值.