數(shù)學(xué)建模雨中行走

1、摘要夏天日益臨近，天氣情況也逐漸變幻莫測(cè)。我們常常遇到過(guò)這樣的問(wèn)題，我們走在大街上，突然下起大雨，目的地離我們不遠(yuǎn)，所以我們并不準(zhǔn)備避雨。這是我們就遇到一個(gè)問(wèn)題，是按照正常速度前行，還是大步奔跑地前進(jìn)，以減少身上的淋雨量。按照常理，我們大多數(shù)人都會(huì)奔跑前行。但是，這樣果真能夠減少被淋濕的程度嗎？1. 問(wèn)題重述一個(gè)雨天，你有件急事需要從家中要從家中到學(xué)校去，學(xué)校離家不遠(yuǎn)，僅一公里，況且事情緊急，你來(lái)不及花時(shí)間去翻找雨具，決定碰一下運(yùn)氣，頂著雨去學(xué)校。假設(shè)剛剛出發(fā)雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。一個(gè)似乎很簡(jiǎn)單事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少淋雨時(shí)間。但如果考慮將與方向的

2、變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數(shù)學(xué)模型來(lái)探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。2. 建模準(zhǔn)備建模目標(biāo)：在給定的降雨條件下，設(shè)計(jì)一個(gè)雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最少。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風(fēng)），路程的遠(yuǎn)近，行走的速度。3. 模型假設(shè)即符號(hào)說(shuō)明（1） 把人體視為長(zhǎng)方體，身高h(yuǎn)米，寬度w米，厚度d米。淋浴總量用C升來(lái)記。（2） 降雨大小用降雨強(qiáng)度I（cm/h）來(lái)描述，降雨強(qiáng)度指單位時(shí)間平面上的降下水的厚度。在這里可視為一常量。（3） 風(fēng)速保持不變。（4） 你一定速度v(m/s)跑完全程D米。4. 模型建立與計(jì)算（1） 不考慮雨的方向，此時(shí)你的前后

3、左右和上下都將被淋雨。淋雨面積：S=2wh+2dh+wd（米2）雨中行走的時(shí)間：t=Dv （秒）降雨強(qiáng)度：I（厘米/時(shí)）=0.01I（米/時(shí)）=0.01I3600（米/秒）淋雨量：C=0.01ISt3600（米3）=10DIS3600（升）（模型中D，I，S為參數(shù)，而v為變量）結(jié)論：淋雨量與速度成反比。這也驗(yàn)證了盡可能快跑能減少淋雨量。若取參數(shù)D=1000m, I=2cm/h, h=1.5m, w=0.5m, d=0.2m時(shí)，則有S=2.2m2 .若你在雨中行走的最大速度v=6m/s, 則計(jì)算得你在雨中行走了167秒，即2分47秒。從而可以計(jì)算被淋的雨水總量S=2.041升。經(jīng)仔細(xì)分析，可知你

4、在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大約有4酒瓶的水量。這是不可思議的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合實(shí)際。原因是不考慮降雨的方向的假設(shè)，是問(wèn)題過(guò)于簡(jiǎn)單化。（2） 考慮降雨方向，若記雨滴下速度為r（米/秒），雨滴的密度為，1，l表示在一定時(shí)刻在單位體積的空間內(nèi)，由雨滴所占的空間的比例數(shù)，也稱(chēng)為降雨強(qiáng)度系數(shù)。 d w 雨滴下落的反方向 H,h v 人前進(jìn)的方向所以，I=r因?yàn)榭紤]了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前面。分兩部分計(jì)算淋雨量。頂部的淋雨量 C1 = Dwdr sinvD/v表示在雨中行走的時(shí)間，wd表示頂部面積, r sin表示雨滴垂直下落的速度。前表面淋雨量 C2

5、= Dwh(cos+v)v總淋雨量（基本模型）C=C1+C2= wDv (drsin+h(rcos+v)取參數(shù)r=4m/s, I=3600×2cm/s, =1.39×10-6 ，計(jì)算得C=6.95×10-6v(0.8sin+6cos+1.5v)可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關(guān)。這樣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為給定， 如何選擇v，使得C最小。情形1 =90度 C=6.95×10-4(0.8/v+1.5)結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)林雨量達(dá)到最小。假設(shè)你以6m/s的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得C=11.3×10-4m3=1.13升情形2

6、=60度 C=6.95×10-4(1.5+(43+3)/v)結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量達(dá)到最小。假設(shè)你以6m/s的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得C=1.47升情形3 90<<180度時(shí)此時(shí)，雨滴將從后面向你身上落下。 C=6.95×10-4(0.8sin+6cos)/v+1.5)令=+30度，則0<<90，計(jì)算得C=6.95×10-4(0.8cos-6sin)/v+1.5)當(dāng)從0到90度時(shí)，C可能取負(fù)值，這是不可能的。出現(xiàn)這個(gè)矛盾的原因是我們給出的基本模型是針對(duì)雨從你的前面落到身上的情形。因此這種情況要另行討論。當(dāng)行走

7、速度慢于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度，即rr sin,這時(shí)，雨滴將淋到背上，而淋在背上的雨水量是 Dwh(rsin-v)v淋雨總量為C=Dw(drcos+hrsin-v)v當(dāng)v=sin時(shí)，C取到最小值。 C=Drsin wdrcos再次帶入數(shù)據(jù)，得 C=6.95×10-4(0.8cos)/(4sin)結(jié)果表明：當(dāng)行走的速度等于雨滴下落的水平速度時(shí)，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。若雨滴是以120的角度落下，即雨滴以=30度的角從背后落下，你應(yīng)該以v=4sin30=2m/s的速度行走，此時(shí)淋雨量為 C=6.95×10-4（0.83/2)/2m3=0.24升這就意味著你剛好跟著雨滴前進(jìn)，前后都沒(méi)有淋雨。當(dāng)行走速度快于雨滴的水平速度，即v>rsin ，你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的前胸。被淋得雨量是Dwh(rsin-v)v淋浴總量為C=Dw(drcos+hv-rsin)v =Dw(dcos-rsin)/v+h/r)當(dāng)dcos-rsin>0, v盡可能大，C才可能小。當(dāng)dcos-rsin<0, v盡可能小，C才可能小。而當(dāng)v>rsin, 所以v要趨于rsin，C才可能最小。