九年級(jí)數(shù)學(xué)《一元二次方程》：化歸思想與數(shù)學(xué)建模

1、.九年級(jí)數(shù)學(xué)?一元二次方程?：化歸思想與數(shù)學(xué)建模本章對(duì)一元二次方程解法的推導(dǎo)充分運(yùn)用了化歸思想，并提到了數(shù)學(xué)建模。一、化歸之一：把一元二次方程降次為一元一次方程本章?小結(jié)與復(fù)習(xí)?中說(shuō)：解一元二次方程的根本思路是：降低次數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程。有朋友會(huì)認(rèn)為本章運(yùn)用的根本思路是轉(zhuǎn)化策略，我不贊成：第一，根本思路應(yīng)該就是數(shù)學(xué)根本思想方法，它是戰(zhàn)略性的，策略那么是受戰(zhàn)略指導(dǎo)的、戰(zhàn)役性的方法，解題術(shù)那么是受策略指導(dǎo)的、戰(zhàn)術(shù)性的詳細(xì)技巧，因此轉(zhuǎn)化策略不屬于根本思路即數(shù)學(xué)根本思想方法。第二，轉(zhuǎn)化有二種：一種是等價(jià)兩物的橫向轉(zhuǎn)化，如代數(shù)與幾何各成一體但等價(jià)，用代數(shù)方法解幾何問(wèn)題或反之均屬橫向轉(zhuǎn)化故應(yīng)稱數(shù)形

2、互化另一種是復(fù)雜之物向其簡(jiǎn)單成分的縱向轉(zhuǎn)化，本章所用降次方法是把復(fù)雜的一元二次方程轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的兩個(gè)一元一次方程，屬于縱向轉(zhuǎn)化。第三，橫、縱轉(zhuǎn)化所根據(jù)的根本思想方法不同。橫向轉(zhuǎn)化根據(jù)的是構(gòu)造化根本思想方法：代數(shù)體系與幾何體系雖組成要素不同，但二者的構(gòu)造關(guān)系一樣同構(gòu)，其要素與構(gòu)造關(guān)系可互相翻譯以點(diǎn)與數(shù)的一一對(duì)應(yīng)為根底，故可實(shí)現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題及其解法與幾何問(wèn)題及其解法之間的互相轉(zhuǎn)化。縱向轉(zhuǎn)化根據(jù)的是化歸化根本思想方法：新學(xué)的較復(fù)雜數(shù)學(xué)知識(shí)須能化歸為已學(xué)的較簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)知識(shí)，如復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)有理數(shù)自然數(shù)，復(fù)雜圖形根本圖形，本章那么是一元二次方程一元一次方程，它們都屬于化歸性的縱向轉(zhuǎn)化。綜上可知，本章所運(yùn)用的根本思路

3、根本思想方法是降次這種化歸思想方法其價(jià)值是化新為舊化未知為、化繁為簡(jiǎn)從而化難為易。運(yùn)用這一資源對(duì)學(xué)生進(jìn)展數(shù)學(xué)思想方法教育，讓學(xué)生領(lǐng)悟它的價(jià)值，好處多多。二、化歸之二：公式法配方法因式分解法或直接開(kāi)平方法本章推導(dǎo)一元二次方程多種解法的道路是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜：因式分解法與直接開(kāi)平方法配方法公式法。因式分解法和直接開(kāi)平方法可直接利用舊知，但只適于解axb2=c這種特殊形式的方程;對(duì)一般式ax2+bx+c=0這種較復(fù)雜的方程可用配方法，但很多情況下難以配方;最終推出通用的公式法，且靠此法能推出許多其他一元二次方程的性質(zhì)如本章介紹的判別式及其意義。反過(guò)來(lái)考慮：首先，公式從何而來(lái)對(duì)ax2+bx+c=0配方而來(lái)

4、;然后，配方法又從何而來(lái)變一般式為能因式分解或能直接開(kāi)平方的特殊式而來(lái)。于是可在本章看出化歸之二：公式法配方法因式分解法或直接開(kāi)平方法。為何強(qiáng)調(diào)上述化歸?因?yàn)樗憩F(xiàn)出數(shù)學(xué)方法開(kāi)展的一個(gè)規(guī)律：復(fù)雜方法可化歸為簡(jiǎn)單方法它不過(guò)是簡(jiǎn)單方法的合成。明白了這一點(diǎn)，學(xué)生就會(huì)知道：第一，學(xué)精簡(jiǎn)單方法是結(jié)實(shí)根底;第二，學(xué)復(fù)雜方法時(shí)要自覺(jué)討論它與簡(jiǎn)單方法的聯(lián)絡(luò)，以到達(dá)對(duì)諸方法的整體構(gòu)造的整體理解與把握要重視知識(shí)構(gòu)造、還要重視方法構(gòu)造;第三，不迷信復(fù)雜方法比方對(duì)2x2-8=0，用公式法、配方法、因式分解法都不如用直接開(kāi)平方法快捷。與當(dāng)今“老師一稱最接近的“老師概念，最早也要追溯至宋元時(shí)期。金代元好問(wèn)?示侄孫伯安?詩(shī)

5、云：“伯安入小學(xué)，穎悟非凡貌，屬句有夙性，說(shuō)字驚老師。于是看，宋元時(shí)期小學(xué)老師被稱為“老師有案可稽。清代稱主考官也為“老師，而一般學(xué)堂里的先生那么稱為“老師或“教習(xí)?？梢?jiàn)，“老師一說(shuō)是比較晚的事了。如今體會(huì)，“老師的含義比之“老師一說(shuō)，具有資歷和學(xué)識(shí)程度上較低一些的差異。辛亥革命后，老師與其他官員一樣依法令任命，故又稱“老師為“教員。開(kāi)掘多種解題方法之間的化歸關(guān)系，并讓學(xué)生領(lǐng)略其價(jià)值，這樣的數(shù)學(xué)思想方法教育同樣好處多多。三、關(guān)于數(shù)學(xué)建模模型思想是數(shù)學(xué)的一種重要思想方法我認(rèn)為它源于數(shù)學(xué)構(gòu)造化根本思想方法，但要深化理解它須先理解原型、模型、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模等一系列概念。限于篇幅，本文不作解釋，各

6、位可先讀本文前面的那篇?中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)建模?作為輔助。本章三次提到建模：第一節(jié)以建立一元二次方程模型為題，分析問(wèn)題一時(shí)說(shuō)建立方程的模型來(lái)計(jì)算人行道的寬度，?小結(jié)與復(fù)習(xí)?中說(shuō)建立一元二次方程的模型，求出一元二次方程的解，這是數(shù)學(xué)的根本功之一。能做哪幾件事才算有了數(shù)學(xué)建模的根本功呢?謹(jǐn)以本章第一個(gè)問(wèn)題建草坪為例簡(jiǎn)要說(shuō)明。第一，知道誰(shuí)是模型、是誰(shuí)的模型、屬于哪類模型?該問(wèn)題的實(shí)際數(shù)量關(guān)系某棟建筑所占地是邊長(zhǎng)35m的正方形，四周留出一樣寬的人行道之后，中間的正方形草坪面積是900m2是問(wèn)題的原型，而模擬該實(shí)際數(shù)量關(guān)系的符號(hào)集合35-2x2=900是該原型的模型因?yàn)橛玫氖菙?shù)學(xué)符號(hào)，所以屬于數(shù)學(xué)模

7、型數(shù)學(xué)定義、圖形、表格、公式、函數(shù)式、不等式等等也屬于數(shù)學(xué)模型。單靠“死記還不行,還得“活用,姑且稱之為“先死后活吧。讓學(xué)生把一周看到或聽(tīng)到的新穎事記下來(lái),摒棄那些假話套話空話,寫出自己的真情實(shí)感,篇幅可長(zhǎng)可短,并要求運(yùn)用積累的成語(yǔ)、名言警句等,定期檢查點(diǎn)評(píng),選擇優(yōu)秀篇目在班里朗讀或展出。這樣,即穩(wěn)固了所學(xué)的材料,又鍛煉了學(xué)生的寫作才能,同時(shí)還培養(yǎng)了學(xué)生的觀察才能、思維才能等等,到達(dá)“一石多鳥(niǎo)的效果。第二，會(huì)用建立數(shù)學(xué)模型的根本方法。對(duì)建草坪這個(gè)問(wèn)題而言，建模的根本方法是：第一步數(shù)學(xué)抽象，挑出問(wèn)題中的數(shù)量要素，淘汰無(wú)關(guān)內(nèi)容;第二步找數(shù)量關(guān)系，此題是找出所得各數(shù)量要素之間的等量關(guān)系;第三步找數(shù)學(xué)模型，此題是從學(xué)過(guò)的知識(shí)中找到合用的方程模型，