橢圓的基本性質(zhì)

1、課題：12.4橢圓的基本性質(zhì)（二課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)：1、掌握橢圓的對(duì)稱性，頂點(diǎn)，范圍等幾何性質(zhì).2、能根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)對(duì)橢圓方程進(jìn)行討論，在此基礎(chǔ)上會(huì)畫橢圓的圖形3、學(xué)會(huì)判斷直線與橢圓的位置，能夠解決直線與橢圓相交時(shí)的弦長問題，中點(diǎn)問題等.4、在對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的討論中，注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化，學(xué)會(huì)分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和探究能力的培養(yǎng)；培養(yǎng)探究新事物的欲望，獲得成功的體驗(yàn)，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心. 教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)：直線與橢圓相交時(shí)的弦長問題和中點(diǎn)問題教學(xué)過程：一課前準(zhǔn)備：1、 知識(shí)回憶（1） 橢圓和圓的概念（2） 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2、課前練習(xí)1) 圓的定義：到一定點(diǎn)的

2、距離等于_的圖形的軌跡。橢圓的定義：_的圖形的軌跡。2) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：1。焦點(diǎn)在軸上_（）2。焦點(diǎn)在軸上_（）若，則橢圓的長軸長_短半軸長_，焦點(diǎn)為_，頂點(diǎn)坐標(biāo)為_，焦距為_二教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、引入課題“曲線與方程”是解析幾何中最重要最基本的內(nèi)容其中有兩類基本問題：一是由曲線求方程，二是由方程畫曲線前面由橢圓定義推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程屬于第一類問題，本節(jié)課將研究第二類問題，由橢圓方程畫橢圓圖形，為使列表描點(diǎn)更準(zhǔn)確，避免盲目性，有必要先對(duì)橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)進(jìn)行討論.二、講授新課（一） 對(duì)稱性問題1：觀察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，利用方程研究橢圓曲線的對(duì)稱性？代后方程不變，說明橢圓關(guān)于軸對(duì)稱；代后

3、方程不變，說明橢圓曲線關(guān)于軸對(duì)稱；、代，后方程不變，說明橢圓曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；問題2：從對(duì)稱性的本質(zhì)上入手，如何探究曲線的對(duì)稱性？以把x換成x為例，如圖在曲線的方程中，把x換成x方程不變，相當(dāng)于點(diǎn)P（x，y）在曲線上，點(diǎn)P點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q（x，y）也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對(duì)稱其它同理.相關(guān)概念：在標(biāo)準(zhǔn)方程下，坐標(biāo)軸是對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心.（二） 頂點(diǎn)問題1：觀察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，利用方程求出橢圓曲線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)？在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得，得 頂點(diǎn)概念：橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn).頂點(diǎn)坐標(biāo)；，.相關(guān)概念：線段分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的

4、長分別等于，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長.在橢圓的定義中，表示焦距，這樣，橢圓方程中的就有了明顯的幾何意義.問題2：在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中令能使方程簡單整齊，其幾何意義是什么？表示半焦距，表示短半軸長，因此，聯(lián)結(jié)頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，可以構(gòu)造一個(gè)直角三角形，在直角三角形內(nèi)，即.（三） 范圍問題1：結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，利用方程研究橢圓曲線的范圍？即確定兩個(gè)變量的允許值范圍變形為：這就得到了橢圓在標(biāo)準(zhǔn)方程下的范圍：同理，我們也可以得到的范圍：問題2：思考是否還有其他方法？方法一：可以把看成，利用三角函數(shù)的有界性來考慮的范圍；方法二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為1，那么這兩個(gè)數(shù)都不大于1，

5、所以，同理可以得到的范圍由橢圓方程中的范圍得到橢圓位于直線和所圍成的矩形里.三、例題解析例1 已知橢圓的方程為.（1） 求它的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo);（2） 寫出與橢圓有相同焦點(diǎn)的至少兩個(gè)不同的橢圓方程.解：解答見書本P48說明 這是本節(jié)課重點(diǎn)安排的基礎(chǔ)性例題，是橢圓的幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用.例2（1）求以原點(diǎn)為中心，一個(gè)焦點(diǎn)為且長軸長是短軸長的倍的橢圓方程;（2）過點(diǎn)（2，0），且長軸長是短軸長的2倍的橢圓方程.解：（1）由題意可知：，由，有，;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）或.說明 此題利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的關(guān)系來解題，要注意焦點(diǎn)在軸上或軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.例3已知直線與橢圓，當(dāng)在何范圍

6、取值時(shí)，（1） 直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2） 直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)；（3） 直線與橢圓無公共點(diǎn).解：由可得 ；（1）當(dāng)時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，直線與橢圓無公共點(diǎn).說明 由直線方程與橢圓方程聯(lián)立的方程組解的情況直接說明兩曲線的交點(diǎn)狀況，而方程解的情況由判別式來決定，直線與橢圓有相交、相切、相離三種關(guān)系，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去或得到關(guān)于或的一元二次方程，則（1）直線與橢圓相交（2）直線與橢圓相切（3）直線與橢圓相離，所以判定直線與橢圓的位置關(guān)系，運(yùn)用方程及其判別式是最基本的方法.例4若直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解法一：由可

7、得，即.解法二：直線恒過一定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，短半軸長，要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)則即當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，長半軸長可保證直線與橢圓恒有交點(diǎn)即綜述：解法三：直線恒過一定點(diǎn)要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)，即要保證定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部即說明法一轉(zhuǎn)化為的恒成立問題；法二是根據(jù)兩曲線的特征觀察所至；法三則緊抓定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部這一特征：點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或在橢圓上則.例5 橢圓中心在原點(diǎn)，長軸長為10，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，求經(jīng)過此橢圓內(nèi)的一點(diǎn)，且被點(diǎn)平分的弦所在的直線方程.解：由已知，且焦點(diǎn)在軸上，橢圓方程為.設(shè)過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、.是弦的中點(diǎn)，則，將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，兩式相減整理得：，即.所求的直線方程為，即.說明此

8、題因?yàn)樯婕皺E圓的弦中點(diǎn)問題，除通法外，可以優(yōu)先考慮“點(diǎn)差法”.但需注意兩點(diǎn)：1）斜率是否存在？2）應(yīng)檢驗(yàn)直線和橢圓是否相交？即聯(lián)立直線和橢圓方程，得到關(guān)于x或y的一元二次方程，檢驗(yàn)其根的判別式是否大于0？例6求橢圓中斜率為1的平行弦的中點(diǎn)的軌跡.解：見書本P50說明 此題因?yàn)樯婕皺E圓的弦中點(diǎn)問題，本題也可使用“點(diǎn)差法”.例7 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，若過點(diǎn)P（0，-2）及F1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，求ABF2的面積解法一：由題可知：直線方程為由,可得，,解法二：到直線AB的距離,由可得，又,.說明 在利用弦長公式（k為直線斜率）應(yīng)結(jié)合韋達(dá)定理解決問題.例8 已知直線交橢圓于兩點(diǎn)，

9、求橢圓方程.解：為簡便運(yùn)算，設(shè)橢圓為，整理得： （1），設(shè)、， ，即，有.方程（1）變形為：.，有，得：，橢圓的方程為或.說明 應(yīng)注意兩點(diǎn)設(shè)而不求，善于使用韋達(dá)定理.四、鞏固練習(xí)練習(xí)12.4（1）;練習(xí)12.4（2）五、課堂小結(jié)1橢圓的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（ab0）（ab0）圖形F1F2MyxOyxOF2F1M性質(zhì)范圍axa，bybbxb，aya對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)（a，0）、（a，0）、（0，b）、（0，b）（0，a）、（0，a）、（b，0）、（b，0）焦點(diǎn)F1（c，0）、F2（c，0）F1（0，c）、F2（0，c）兩軸長軸長2a，短軸長2b焦距|F1F2|2c，c2a2b22直線

10、與橢圓位置關(guān)系如何判斷3弦長問題和弦中點(diǎn)問題4有關(guān)弦中點(diǎn)問題，“點(diǎn)差法”的應(yīng)用六、課后作業(yè)練習(xí)冊(cè)、補(bǔ)充作業(yè)：1橢圓與直線交于A、B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為，求 值. 2.橢圓兩點(diǎn)，若的面積為20，求直線方程.3.已知橢圓上一點(diǎn)，為橢圓的焦點(diǎn)，且，求橢圓的方程.4中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0, ±5)的橢圓被直線3x-y-2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求橢圓方程.5.已知橢圓.（1） 過橢圓的左焦點(diǎn)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（2） 求斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程.6為直線上的點(diǎn)，過且以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓，問在何處時(shí)所作橢圓的長軸最短？并求出相應(yīng)橢圓的方程.7已知橢圓C：，經(jīng)過其右焦點(diǎn)F且以為方向向量的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)O為橢圓的中心，射線OM交橢圓C于N點(diǎn)（1）證明：（2）求的值8已知A（2，0）、B（2，0），點(diǎn)C、點(diǎn)D滿足 （1）求點(diǎn)D的軌跡方程；（2）過點(diǎn)A作直線l交以A、B為焦點(diǎn)的橢圓于M、N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為，且直線l與點(diǎn)D的軌跡相切，求該橢圓的方程.9.設(shè)A，B分別是直線和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且，動(dòng)點(diǎn)P滿足記