用組合積分法對幾類積分進(jìn)行求解求積分的捷徑不得不看

1、用組合積分法對幾類積分進(jìn)行求解0 引言及定義積分在微積分中占有極為重要的地位,它與微分比較,難度大,方法靈活,掌握積分的基本方法(如換元法,分部積分法等)是十分必要的,但這是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,還必須掌握一些特殊的積分方法,以便能順利、快速、準(zhǔn)備地計算出函數(shù)的積分來.組合積分法是一種全新的積分方法,它能順利解決用傳統(tǒng)積分法很難求解甚至不能求解的各類函數(shù)有理式的積分問題.華羅庚教授在他的著作高等數(shù)學(xué)引論一書中,舉出了這樣一個求不定積分的例子：求 , .我們可以用代換,分別求出與,但還有更簡單的方法,即由此可得,華教授的解法為什么可以簡化運算呢？在這里,他巧妙地兩個結(jié)構(gòu)相似的積分 組合在一起,成為一個以所

2、求積分為變量的 ,的二元方程組,解此方程組,即得所求不定積分,像這樣用解方程組求解問題的方法稱為組合法,用組合法求積分的方法稱為組合積分法.用組合法求解積分問題的關(guān)鍵,是在式(2)中利用了湊微分公式(-asinx+bcosx)dx=d(acosx+bsinx).下面給出一些定義：定義1 設(shè)函數(shù)與為可導(dǎo)函數(shù),如果,且,( 為任意常數(shù)),那么稱與為互導(dǎo)函數(shù),若, 且,則稱 與為相反互導(dǎo)函數(shù),為互導(dǎo)系數(shù).定義 2 設(shè)函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù),如果( 為任意常數(shù)),那么,稱函數(shù)為自導(dǎo)函數(shù),為自導(dǎo)系數(shù).組合積分法分為兩大類型,即參元組合法與分解組合法.在求一個積分I時,找出另一個與I結(jié)構(gòu)相似的積分J,然后將兩個積

3、分組合起來,通過解I與J的方程組求解積分的方法叫做參元組合法.將一個積分分為兩個結(jié)構(gòu)相似的積分為I與J,將I與J組成一個方程組,解方程組即得積分I與J,最后將I與J聯(lián)合成所要求的積分,這種求積分的方法叫做分解組合法.1 三角函數(shù)有理式的積分 .含有 的積分對于分母含有的三角函數(shù)有理式的積分,可考慮使用組合積分法,先證明兩個遞推公式.定理1 設(shè)則 .證 由 所以有將n-2代替式中的n,得故得遞推公式定理2 設(shè) 則證 用組合積分法來證明.令 則所以有于是有要記住這兩個遞推公式不是一件容易的事情,實際上只需記住遞推公式的證明思路,直接用組合積分法求解即可.含有a+bsinx與c+dcosx的積分例1

4、 求解法1 令 則 所以有 I=解法2 解法3 用代換 所以有 顯然以上解法太繁,不宜采用.事實上,將原積分化為 再對后一積分做代換 則有 所以有 顯然用解法2較簡單,但較復(fù)雜的情形用解法1較好.例2 求 ()解 設(shè) 則 所以有 上述結(jié)果與查表求得的結(jié)果一致,可見用組合積分法能順利地求出積分表中較難的積分公式.此公式如用萬能代換,令 來求出,將是比較困難的.有a+bsinxcosx的積分例3 求 解這里如果用萬能代換,設(shè),則 原積分可變?yōu)?以上有理函數(shù)的積分,要求出開相當(dāng)困難,如果改用組合積分法將能很快地求出.令 則有 所以 還有許多含有asecx+btanx、acscx+bcotx、b+at

5、anx、atanx+bcotx等形式的積分可化為以上類型進(jìn)行積分計算2 指數(shù)函數(shù)有理式的積分指數(shù)函數(shù) 與具有自導(dǎo)性,與、與的代數(shù)和具有互導(dǎo)性,這就為湊微分提供條件,這里主要用到以下的湊微分公式：一般的指數(shù)函數(shù)與也有類似的湊微分公式：這就為使用組合積分法提供了保證.有 積分.對于分母 的指數(shù)函數(shù)有理式的積分,也和三角函數(shù)有理式的積分一樣,可以考慮使用組合積分法求解.證明兩個遞推公式定理1 設(shè), 則 證 因為 所以有 用n-2代替上式中的n,得 故得遞推公式 定理2 設(shè) , 則 證令 則有 所以 于是有 這兩個定理主要是給出用組合積分法求解此類積分問題的解題思路.含有的積分用組合積分法證明下列遞推

6、公式給出解題思路.定理1 設(shè)n為正整數(shù),且,并另,則有遞推公式.證 由 = 所以有 用n-2代替上式中的n,得 故得遞推公式 定理2 設(shè),并令 則有遞推公式 . 證 令 則有 所以有 于是 3 一類無理函數(shù)的積分對一類無理式的積分,可考慮使用組合積分法求解,特別對比較復(fù)雜的情形用組合積分法更為方便,對于這類無理函數(shù)的積分,其求法如下：組合積分 法 無理函數(shù)積分三角函數(shù)的有理式積分三角代換有理式積分或一般換元法例4 求 解 設(shè),則dx=cosxdt,于是原積分可變?yōu)?再令 則有 所以有 又由sint=x, 得 所以 例5 求 解 設(shè),則原積分可變?yōu)?再令 則 解得 , 由 得 ,所以 例6 求

7、解 設(shè),則,于是原積分可變?yōu)?再令 則有 所以有 由, 得 所以 4用積分法求拉普拉斯逆變換求拉普拉斯逆變換是工程數(shù)學(xué)中的難點,用組合求逆法求拉普拉斯逆變換,無須用部分分式法將像函數(shù)F(P)分解為幾個分式,然后查逆變換表再分別求之.在一定程度上,這種求逆變換的方法具有較多的優(yōu)越性,特別是對于比較復(fù)雜的情形更是如此.例7 求的逆變換解法1 令 .則 所以 為所請求的逆變換解法2 用傳統(tǒng)的方法.設(shè) 去分母 ,令P=-5,得 .比較項的系數(shù),得 ,比較常數(shù)項,得 所以有 故有 比較上述兩種解法,不難看出用組合積分法求逆變換比用傳統(tǒng)的方法求逆變換要簡便順利得多.參考文獻(xiàn)1 朱永銀,郭文秀,朱若霞積分法

8、M.武漢:華中科技大學(xué)出版社.2002.10.2 華羅庚.高等代數(shù)引論M.北京:科學(xué)出版社.1963.3 現(xiàn)代數(shù)學(xué)手冊編纂委員會.現(xiàn)代數(shù)學(xué)手冊：經(jīng)典數(shù)學(xué)卷M.武漢:華中科技大學(xué)出版社.2000.4 俄吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集M.北京:人民教育出版社.1959.5 朱永銀,郭文秀.一種積分方法-組合積分法J.數(shù)學(xué)通報,1992(6).32-35.6 數(shù)學(xué)手冊編寫組.數(shù)學(xué)手冊M.北京:人民教育出版社.1979.7 華中科技大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.微積分學(xué)習(xí)題課教程M.武漢:華中科技大學(xué)出版社.2003.9.8 單立波,張主梵.微積分習(xí)題集M.天津:南開大學(xué)出版社.2004.3.9 劉書田.微積分M.北京:高等教育出版社.2004.6.10 Wilfred Kaplan.Advanced Calculus,Fifth EditionM.北京:電子工業(yè)出版社.2004.4.11 Fitzpatrick,P.M.Advanced Calculus:A Cource in Mathematics AnalysisM.北京:機(jī)械工業(yè)出版社.2003.5.12 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社.1980.9.13 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M