鐵軍考研數(shù)學導學班講義

1、萬學海文2013考研數(shù)學導學班輔導講義主講: 鐵軍 教授鐵軍教授簡介：著名考研數(shù)學輔導專家，近幾年在北京、南京、天津、沈陽、武漢、廣州、上海、廈門等各大城市聲名鵲起，成為與王式安、李永樂齊名的考研數(shù)學輔導“三駕馬車”之一。鐵軍教授從事考研數(shù)學輔導工作以來，以其高屋建瓴、大氣磅礴、睿智幽默的風格，對考點、重點、難點全面、深刻、透徹的把握，關愛學生、高度負責的態(tài)度以及對考題的精準預測，令考生受益無窮。特別是鐵軍老師的數(shù)學全程保過班，更是以無與倫比的連續(xù)性、系統(tǒng)性和考生的數(shù)學成績大面積高分而受到廣大莘莘學子的愛戴！ 2013年，考研競爭空前激烈！我們邀請鐵軍老師親臨海文面授，為您考研成功指點迷津，保

2、駕護航。大師風范，品質感人！2013年，我們將與您攜手并肩，您的理想將在您我的共同努力下實現(xiàn)。這是我們的信心，也將是您的信心！因為我們的自信，讓您更加自信！數(shù)學考試根據工學、經濟學、管理學各學科和專業(yè)對碩士研究生入學所應具備的數(shù)學知識和能力的不同要求，將數(shù)學統(tǒng)考試卷分為數(shù)學一、數(shù)學二、數(shù)學三。第一節(jié) 函數(shù)及其特性函數(shù)是微積分的研究對象，極限是微積分的理論基礎，而連續(xù)性是可導性與可積性的重要條件。它們是每年必考的內容之一?！究键c分析】按照考試大綱的要求，函數(shù)部分主要考查：函數(shù)的四個常見性態(tài)奇偶性、單調性、周期性、有界性與函數(shù)的兩種運算復合運算和反函數(shù)運算。在歷年的試題中，既有單純考查函數(shù)有關知識

3、的題目，也有許多把函數(shù)有關知識融匯于其他內容當中的綜合性題目。題型以填空題和選擇題為主。一、函數(shù)的奇偶性設函數(shù)的定義域為，若對于任，都有，稱為偶函數(shù)；若對于任都有，稱為奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖形關于軸對稱，奇函數(shù)的圖形關于坐標原點對稱?！究键c一】判別給定函數(shù)的奇偶性的主要方法是：不管的具體形式是什么，均計算的值。如果，則由定義知為偶函數(shù)；如果，則由定義知為奇函數(shù)?！纠?】判別下列函數(shù)的奇偶性：（1）（2），（3）【考點二】設二階可導，則有：（1） 若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且。簡單地說，可導的奇函數(shù)的導數(shù)為偶函數(shù)。（2） 若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且。簡單地說，可導的偶函數(shù)的導數(shù)為奇

4、函數(shù)?！纠?（1997數(shù)學三、四）】若在內 且，則在內有( C )（A）（B）（C）（D）二、函數(shù)的周期性對函數(shù)，若存在常數(shù)，使得對于定義域的每一個，仍在定義域內，且有，則稱函數(shù)為周期函數(shù)，T稱為的周期。【考點三】判斷函數(shù)是否為周期函數(shù)，主要方法是根據周期函數(shù)的定義，要先找到一個非零常數(shù)，計算是否有等式成立。而對于抽象的周期函數(shù)，其周期一定與已知條件中所給的參數(shù)或常數(shù)有關，是其二倍、三倍?！纠?】設對任何存在常數(shù)。證明是周期函數(shù)?！纠?】設，則在內，（ ）.(A) 是周期函數(shù)，周期為 (B) 是周期函數(shù)，周期為(C) 是周期函數(shù)，周期為 (D) 不是周期函數(shù)【例5】設在上有定義，且恒有關系式成

5、立，其中為正實數(shù)，證明是周期函數(shù)?！究键c四】可導的周期函數(shù)的導函數(shù)是具有相同周期的周期函數(shù)。也就是說，如果函數(shù)f(x)二階可導，且有，則，?！纠?】設函數(shù)具有二階導數(shù)，并滿足且若 則（ ）(A) (B) (C) (D) 三、函數(shù)的有界性設函數(shù)在數(shù)集X上有定義，若存在正數(shù)M，使得對于每一個，都有 成立，稱在X上有界，否則，即這樣的M不存在，稱在X上無界。 【考點五】（1）無界變量與無窮大量的區(qū)別：無窮大量一定是無界變量，但無界變量不一定是無窮大量。（2）非零的有界變量與無窮大量的乘積是無界變量，但不是無窮大量.【評注】(1) 無界變量與有界變量是函數(shù)有界性的正反兩個方面。（2）用無窮大量的定義和

6、無界變量的定義來區(qū)別這兩個概念。是指，在x=x0處的充分小鄰域內，對于所有的都可以任意大，而“無界”不要求“所有的”?！纠?】當時，變量是（ ）（A）無窮小。（B）無窮大。（C）有界的，但不是無窮小量。（D）無界的，但不是無窮大?！纠?】設數(shù)列，則下列斷言正確的是（ ） （A）若發(fā)散，則必發(fā)散 （B）若無界，則必有界（C）若有界，則必為無窮小 （D）若為無窮小，則必為無窮小 四、函數(shù)的單調性設函數(shù)在區(qū)間上有定義，若對于上任意兩點與且時，均有 ，則稱函數(shù)在區(qū)間上單調增加（或單調減少）。如果其中的“”或“”改為“”），稱函數(shù)在上嚴格單調增加（或嚴格單調減少）。設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,

7、b)內可導，若對任一，有在a,b上單調增加（減少）。注意： 若將上面的不等式的點（駐點）只有有限個，則結論仍成立?！究键c六】（1）判斷抽象的函數(shù)的單調性，在考試時采用舉反例排除法，而盡量不用單調性的定義進行證明；（2）導數(shù)大于零的函數(shù)一定單調遞增，但單調遞增的可導函數(shù)的導數(shù)不一定嚴格大于零，其導數(shù)也可能等于零。【例9】設f(x)在內可導，且對任意，當時，都有，則（ ） （A） 對任意 （B）對任意 （C）函數(shù)單調增加 （D）函數(shù)單調增加 .第二節(jié) 數(shù)列的極限【考點分析】數(shù)列極限的考點主要包括：定義的理解，極限運算法則的理解，單調有界準則和夾逼準則求極限，利用定積分的定義求和式的極限等等。一、數(shù)

8、列的極限1數(shù)列的極限無窮多個數(shù)按一定順序排成一列：稱為數(shù)列，記為數(shù)列稱為數(shù)列的一般項或通項。設有數(shù)列和常數(shù)A。若對任意給定的，總存在自然數(shù)，當nN時，恒有 ，則稱常數(shù)A為數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于A，記為。沒有極限的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列。收斂數(shù)列必為有界數(shù)列，其極限存在且唯一。2極限存在準則（1）定理（夾逼定理）設在的某空心鄰域內恒有，且有 ， 則極限 存在，且等于A .注 對其他極限過程及數(shù)列極限，有類似結論. （2）定理：單調有界數(shù)列必有極限. 3重要結論：（1）若，則，其中為任意常數(shù)。 （2）。 （3） ?！究键c七】(1) 單調有界數(shù)列必有極限.(2) 單調遞增且有上界的數(shù)列必有極限，單調遞

9、增且無上界的數(shù)列的極限為.（3）單調遞減且有下界的數(shù)列必有極限，單調遞減且無下界的數(shù)列的極限為.【評注】（1）在應用【考點七】進行證明時，有些題目中關于單調性與有界性的證明有先后次序之分，需要及時進行調整證明次序。（2）判定數(shù)列的單調性主要有三種方法：I 計算 . 若，則單調遞增；若，則單調遞減。II 當時，計算 . 若，則單調遞增；若，則單調遞減。III 令，將n改為x，得到函數(shù)。若可導，則當時，單調遞增；當時，單調遞減?！纠?】(1) (武漢大學，2003年)設，, 證明：收斂，并求其極限。(2) （中國科學院，2002年）設 （n1），則 .【例2】（1）證明：對任意的正整數(shù)n，都有 成

10、立.（2）設，證明數(shù)列收斂.【考點八】（夾逼準則）設有正整數(shù)，當時，且，則.【評注】在使用夾逼準則時，需要對通項進行“縮小”和“放大”，要注意：“縮小”應該是盡可能地大，而“放大”應該是盡可能地小，在這種情況下，如果仍然“夾”不住，那么就說明夾逼準則不適用于這個題目，要改用其他方法?！纠?】求下列極限：【例4】設 （），求 .第三節(jié) 函數(shù)的極限【考點分析】函數(shù)極限的考點主要包括：用洛必達法則求未定式的極限，由已知極限求未知極限，極限中的參數(shù)問題，無窮小量階的比較等等?！究键c九】 也就是說，函數(shù)極限存在且等于A的充分必要條件是，左極限與右極限都存在，并且都等于A。【評注】在求極限時，如果函數(shù)中包

11、含或項，則立即討論左右極限和，再根據【考點九】判斷雙側極限是否存在?！纠?】當時，函數(shù)的極限（ ） （A）等于2. （B）等于0.（C）為（D）不存在但不為【例2】求極限【考點十】使用洛必達（）法則求型未定式的極限之前，一定要將所求極限盡可能地化簡?；喌闹饕椒ǎ?（1）首先用等價無窮小進行代換。注意：等價無窮小代換只能在極限的乘除運算中使用，而不能在極限的加減運算中使用，但在極限的加減運算中高階無窮小可以略去； （2）將極限值不為零的因子先求極限； （3）利用變量代換（通常是作倒代換，令） （4）恒等變形：通過因式分解或根式有理化消去零因子，將分式函數(shù)拆項、合并或通分達到化簡的目的?！居洃?/p>

12、要點】常見的等價無窮小代換：（一）基本情形：當時，我們有：（1）sinxx (2)arcsinxx （3）tanxx (4)arctanxx (5) (6) (7) (8) (9) (10)() （11） （12）（二）差函數(shù)中常用的等價無窮小代換：當時，我們有： （1） （2） （3） （4）（5） （6）【例3】（2003數(shù)學二）若是等價無窮小，則【例4】.【例5】若.【考點十一】（1）求冪指函數(shù)型不定式的極限，常用“換底法”或“用e抬起法”，化為型后再使用洛必達法則，即（2）計算型極限的最簡單方法是使用如下的型極限計算公式：。推導如下（為簡便，略去自變量）：【例6】【例7】求極限.【考點

13、十二】（1）已知 A，則有： 若g(x) 0，則f (x) 0； 若f (x) 0，且A 0，則g(x) 0.（2）已知，若，則.【評注】在已知函數(shù)的極限求未知的參數(shù)問題時，【考點十二】是主要的分析問題與解決問題的方法?！纠?】若，則a =，b =.【例9】已知函數(shù)，設試求的取值范圍【考點十三】在已知條件或欲證結論中涉及到無窮小量階的比較的話，則“不管三七二十一”，先用 無窮小量階的比較的定義處理一下再說?！驹u注】無窮小量階的比較，是一個重要考點。其主要方法是將兩個無窮小量相除取極限，再由定義比較階的高低。設是同一過程下的兩個無窮小，即。若若則稱是比低階的無窮??；若若若則稱與是等價無窮小?！纠?/p>

14、10】當?shù)?（A）低階無窮小。（B）高階無窮小。（C）等價無窮小。（D）同階但非等價無窮小。【例11】設當高階的無窮小，則 （A）。（B）。（C）。（D）?！纠?2】已知當x 0時，與是等價無窮小，則 ( )(A) k=1, c =4 (B ) k=1,c =4(C) k=3,c =4 (D) k=3,c =4第四節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性【考點分析】主要考點包括：函數(shù)連續(xù)的充要條件，間斷點的類型及其判斷，閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質定理及其應用等。一、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點. 函數(shù)連續(xù)性概念定義1 設函數(shù)在點的某鄰域內有定義，若，則稱函數(shù)在點處連續(xù)，并稱為連續(xù)點。定義2 若函數(shù)在點的某個左（右）鄰域內有定義，并

15、且 ，則稱函數(shù)在點處左（右）連續(xù)。顯然，函數(shù)在點處連續(xù)的充要條件是在點既左連續(xù)又右連續(xù)。定義3 函數(shù)在開區(qū)間內連續(xù)，是指在內每點都連續(xù)；在閉區(qū)間上連續(xù)，是指在開區(qū)間內連續(xù)，并且在左端點處右連續(xù)，在右端點處左連續(xù)。使函數(shù)連續(xù)的區(qū)間，稱為的連續(xù)區(qū)間。 . 函數(shù)的間斷點及其分類 定義 函數(shù)不連續(xù)的點稱為函數(shù)的間斷點，即在點處有下列三種情況之一出現(xiàn)：（1）在點附近函數(shù)有定義，但在點無定義；（2）不存在；（3）與都存在，但則稱在點處不連續(xù)，或稱為函數(shù)的間斷點。 間斷點的分類 設為函數(shù)的間斷點，間斷點的分類是以 點的左、右極限來劃分的。 第一類間斷點 若與都存在，則稱為第一類間斷點： （1）若，則稱為跳躍

16、型間斷點，并稱為點的跳躍度； （2）若存在（即=），則稱為可去間斷點。此時，當在無定義時，可以補充定義，則在連續(xù)；當存在，但時，可以改變在的定義，定義極限值為該點函數(shù)值，則在連續(xù)。 第二類間斷點 若與中至少有一個不存在，則稱為第二類間斷點，其中若與中至少有一個為無窮大，則稱為無窮型間斷點；否則稱為擺動型間斷點?！究键c十四】在連續(xù)性的各種題型中，無論是確定函數(shù)（特別是分段函數(shù)）的間斷點及其類型，還是利用連續(xù)性確定函數(shù)中的常數(shù)，解題方法的核心均為先求函數(shù)在一些特殊點（特別是無定義的點和分段函數(shù)的分段點）處的左右極限和，然后再根據間斷點的定義與函數(shù)連續(xù)的充要條件求出相應結果。在由抽象函數(shù)構造的連續(xù)性

17、選擇題中，選擇的次序應從最簡單的函數(shù)開始，最簡單的往往就是正確選項。【例1】設有定義，分別各有唯一的間斷點，則必有間斷點的函數(shù)是（ ）（A）fg(x) (B)f(x)g(x)(C)f(x)+g(x) (D)f(sinx)+g(sinx)【例2】設內有定義，為連續(xù)函數(shù)，且有間斷點，則（A）必有間斷點。（B）必有間斷點。（C）必有間斷點。（D）必有間斷點?！纠?】設函數(shù)處連續(xù)，則.【例4】函數(shù)的無窮間斷點的個數(shù)為( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質定理定理 1.（有界性定理） 閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)必在a,b上有界。定理2. (最大值最小值定理)

18、 閉區(qū)間a,b上的函數(shù)，必在a,b上有最大值和最小值，即在a,b上，至少存在兩點，使得對a,b上的一切x，恒有 .此處與就是在a,b上最小值與最大值。定理 3.(介值定理) 設函數(shù)在閉區(qū)間a,b連續(xù)，m與M分別為在a,b上的最小值與最大值，則對于任一實數(shù)c(mcM)，至少存在一點，使。定理4.（零點定理或根的存在定理） 若在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且，則至少存在一點，使?！究键c十五】設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且對任，均有，則函數(shù)在區(qū)間上必恒正或恒負（即在區(qū)間上必恒大于零或恒小于零）.【證明】反證之。假設在區(qū)間上不恒正且不恒負，則必存在使.又因為函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，所以在區(qū)間或區(qū)間上連續(xù)，且區(qū)間端點的函數(shù)值異號，即，故由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理知，至少存在一點或，使，這與已知條件矛盾。因此，所作的假設是錯誤的，函數(shù)在區(qū)間上必恒正或恒負（即在區(qū)間上必恒大于零或恒小于零）.【例5】設y=f(x)在（0，1）內具有二階連續(xù)導數(shù)，且，求證：（1）對于（0，1）內任一點，存在唯一的成立。（2）令，求當時的極限值。第五節(jié) 羅爾定理中值定理是一元函數(shù)微分學的理論核心，它反映了導數(shù)更深刻的性質，是用導數(shù)與微分研究函數(shù)性質的理論基礎，也是研究生考試的考核重點。羅爾定