圓錐曲線中離心率取值范圍的求解

1、圓錐曲線中離心率取值范圍的求解范圍問題是數(shù)學(xué)中的一大類問題，在高考試題中占有很大的比重，圓錐曲線中離心率取值范圍問題也是高考中解析幾何試題的一個倍受青睞的考查點，其求解策略的關(guān)鍵是建立目標(biāo)的不等式，建立不等式的方法一般有：利用曲線定義，曲線的幾何性質(zhì)，題設(shè)指定條件等策略一：利用曲線的定義例1若雙曲線橫坐標(biāo)為的點到右焦點的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） 【解析】 ，或（舍去），例2雙曲線的右支上存在一點，它到右焦點及左準(zhǔn)線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是（）【解析】 而雙曲線的離心率，故選.【點評】例1、例2均是利用第二定義及焦半徑公式列出方程例1根據(jù)題設(shè)列出

2、不等式；例2是根據(jù)的范圍將等式轉(zhuǎn)化為不等式，從而求解這種利用的范圍將等式轉(zhuǎn)化為不等式求參數(shù)范圍的方法是解析幾何常用的方法策略二：利用曲線的幾何性質(zhì)例已知是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ） 【解析】 由題，的軌跡為以焦距為直徑的圓，由總在橢圓內(nèi)部，知：，又，所以故選.【點評】利用圓的幾何性質(zhì)判定軌跡為圓，再利用橢圓和圓的幾何性質(zhì)解題一般地，時點總在橢圓內(nèi)部；時點有4個在橢圓上；時有2個在橢圓上，就是橢圓短軸的兩個端點例4已知雙曲線的右焦點為，若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ） 【解析】如圖與分別為與雙曲線的

3、漸近線平行的兩條直線，直線為過且傾斜角為的直線，要使與雙曲線的右支有且只有一個交點，則應(yīng)使【點評】此處利用雙曲線幾何性質(zhì)，用所給定直線和漸近線的關(guān)系確定漸近線斜率范圍，從而求出離心率范圍策略三：利用題設(shè)指定條件例5橢圓的焦點為，兩條準(zhǔn)線與軸的交點分別為若 ，則該橢圓離心率的取值范圍是（ ） 【解析】 因為兩準(zhǔn)線距離為，又因為，所以有，即，所以【點評】本題主要考查準(zhǔn)線方程及橢圓離心率的求法，而限制條件即是題目中的，故利用題設(shè)得到與離心率相關(guān)的不等式即可例6設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，若在其右準(zhǔn)線上存在點，使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（ ） 【解析】 設(shè)若為右準(zhǔn)線與軸的交點，可知，即

4、，又在右準(zhǔn)線上可知，所以離心率的取值范圍為【點評】題設(shè)條件為幾何特殊關(guān)系時應(yīng)注意如何轉(zhuǎn)化幾何關(guān)系為代數(shù)關(guān)系，特別是和離心率相關(guān)的關(guān)系例7已知雙曲線的左、右焦點分別為若雙曲線上存在點使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是 【解析】（由正弦定理得），又，由雙曲線性質(zhì)知，即，得，又，得【點評】此處的題設(shè)條件較前兩例復(fù)雜，但注意到正弦之比可以轉(zhuǎn)化為邊之比，故可進而轉(zhuǎn)化為和離心率相關(guān)的不等式策略四：利用三角函數(shù)有界性例8雙曲線的兩個焦點為，若為其上一點，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ） 【解析】設(shè)，當(dāng)點在右頂點處，【點評】根據(jù)第一定義結(jié)合余弦定理將離心率轉(zhuǎn)化為角的函數(shù)，再利用三角函數(shù)求最值策略五：利用三角形三邊關(guān)系例8也可用三角形的三邊關(guān)系求解，但注意取等條件如圖，在中(后者在與重合時取等)，又，則且，【點評】和焦點三角形相關(guān)的問題可以考慮用三角形三邊關(guān)系來建立不等式策略六：利用二次函數(shù)的性質(zhì)例9設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） 【解析】 ，根據(jù)二次函數(shù)值域可得【點評】當(dāng)所求離心率轉(zhuǎn)化為某參數(shù)的二次函數(shù)（或類