高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽試題及答案

1、2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽（四川初賽）（5月15日下午14：3016：30）題 目一二三總成績13141516得 分評卷人復(fù)核人考生注意：1、本試卷共三大題（16個(gè)小題），全卷滿分140分. 2、用黑（藍(lán)）色圓珠筆或鋼筆作答. 3、計(jì)算器、通訊工具不準(zhǔn)帶入考場. 4、解題書寫不要超過密封線.本題共有6小題，每題均給出（A）、（B）、（C）、（D）四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的. 請將正確答案的代表字母填在題后的括號(hào)內(nèi). 每小題選對得5分；不選、選錯(cuò)或選出的代表字母超過一個(gè)（不論是否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得0分.一、選擇題（本題滿分30分，每小題5分）得 分評卷人 1、雙曲線的左、右準(zhǔn)線l1

2、、l2將線段F1F2三等分（其中、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)），則該雙曲線的離心率等于A、 B、 C、 D、 【答】( )2、已知三次函數(shù)，), 命題：是上的單調(diào)函數(shù)；命題：的圖像與軸恰有一個(gè)交點(diǎn)則是的（ ）A、充分但不必要條件 B、必要但不充分條件 C、充要條件 D、既不充分也不必要條件 【答】( ) 3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石頭、布”的游戲每一局甲、乙、丙同時(shí)出“剪刀、石頭、布”中的一種手勢，且是相互獨(dú)立的設(shè)在一局中甲贏的人數(shù)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的值為（ ）A、 B、 C、 D、1 【答】( )4、函數(shù)的最大值為（ ）A、 B、3 C、 D、 【答】( )5、如圖，邊長為2的正方

3、形ABCD和正方形ABEF所在的面成60角，M、N分別是線段AC和BF上的點(diǎn)，且，則線段MN的長的取值范圍是A、 B、 C、 D、 【答】( ) 6、設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列滿足：，若 ，則數(shù)列的公差為（ ）A、 B、1 C、2 D、4 【答】( )二、填空題（本題滿分30分，每小題5分） 得 分本題共有6小題,要求直接將答案寫在橫線上. 評卷人 7、已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是 8、設(shè)平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量與相互垂直，且，則使得向量與互相垂直的所有實(shí)數(shù)之和為 9、記實(shí)數(shù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 10、設(shè)為實(shí)數(shù)，定義為不小于的最小整數(shù)，例如，關(guān)于實(shí)數(shù)的方程的全部實(shí)根之和等于 11、已知，其中為整

4、數(shù)，則 12、已知三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,設(shè)S、A、B、C四點(diǎn)均在以O(shè)為球心的某個(gè)球面上，則點(diǎn)O到平面ABC的距離為 三、解答題（本題滿分80分，每小題20分）得 分評卷人 13、已知，若函數(shù)的最大值為，求的最小值得 分評卷人 14、已知函數(shù)在有最大值5，求實(shí)數(shù)的值得 分評卷人 15、拋物線與過點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)（I）求直線的斜率的取值范圍；(II) 求在線段上滿足條件的點(diǎn)的軌跡方程得 分評卷人 16、已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足：，且對任何的正整數(shù)恒成立求證：當(dāng)取到最大值時(shí)，對任何正整數(shù)都有2011年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川區(qū)初賽試題參

5、考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1、評閱試卷時(shí)，請依據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn).選擇題和填空題只設(shè)5分和0分兩檔；其它各題的評閱，請嚴(yán)格按照評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給分，不要再增加其它中間檔次. 2、如果考生的解答題方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評閱時(shí)可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，5分一個(gè)檔次，不要再增加其它中間檔次.一、選擇題(本大題滿分30分，每小題5分)1、B 2、A 3、C 4、C 5、B 6、D 二、填空題（本大題滿分30分，每小題5分） 7、 8、1 9、150 10、 11、 12、 三、解答題（本大題滿分80分，每小題20分）13、已知，若函數(shù)的最大值為，求的最小值解：令，則， （5分）

6、，當(dāng)時(shí)，有最大值，即 （10分）， （15分）等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，當(dāng)時(shí)，有最小值10 （20分）14、已知函數(shù)在有最大值5，求實(shí)數(shù)的值 解： （5分）令，則，從而 （10分）令，由題意知在有最大值5.當(dāng)時(shí)，在時(shí)有最大值5，故符合條件； （15分）當(dāng)時(shí)，矛盾！當(dāng)時(shí)，矛盾！綜上所述，所求的實(shí)數(shù) （20分）15、拋物線與過點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)（I）求直線的斜率的取值范圍；(II) 求在線段上滿足條件的點(diǎn)的軌跡方程解：（I）直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，消去得，即，由，解得或 （5分）（II）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，則，又、都在直線上，所以有，由得化簡得 （10分）又，點(diǎn)在線段上，所以同號(hào)則因此 ， ，由得代入得,即， （15分）又因?yàn)榛颍缘娜≈捣秶乔?，因此點(diǎn)的軌跡方程是（且） （20分）16、已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足：，且對任何的正整數(shù)恒成立求證：當(dāng)取到最大值時(shí)，對任何正整數(shù)