高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題型分析及解題方法

1、導(dǎo)數(shù)題型分析及解題方法一、考試內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；兩個函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點題型分析題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。1 在區(qū)間上的最大值是 2 2已知函數(shù)處有極大值，則常數(shù)c 6 ；3函數(shù)有極小值 1 ,極大值 3 題型二：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程1曲線在點處的切線方程是 2若曲線在P點處的切線平行于直線，則P點的坐標(biāo)為 （1，0） 3若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為 4求下列直線的方程： （1）曲線在P(-1,1)處的切線； （2）曲線過點P(3,5)的切線；解：（1） 所以切線

2、方程為 （2）顯然點P（3，5）不在曲線上，所以可設(shè)切點為，則又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以過點的切線的斜率為，又切線過、P(3,5)點，所以有，由聯(lián)立方程組得，即切點為（1，1）時，切線斜率為；當(dāng)切點為（5，25）時，切線斜率為；所以所求的切線有兩條，方程分別為題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值 1已知函數(shù)的切線方程為y=3x+1 （）若函數(shù)處有極值，求的表達(dá)式； （）在（）的條件下，求函數(shù)在3，1上的最大值； （）若函數(shù)在區(qū)間2，1上單調(diào)遞增，求實數(shù)b的取值范圍 解：（1）由過的切線方程為： 而過故 由得 a=2，b=4，c=5 （2）當(dāng) 又在3，1上最大值是13。 （3）y=f(x)在2

3、，1上單調(diào)遞增，又由知2a+b=0。 依題意在2，1上恒有0，即 當(dāng)；當(dāng)；當(dāng) 綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是2已知三次函數(shù)在和時取極值，且(1) 求函數(shù)的表達(dá)式；(2) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(3) 若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，試求、應(yīng)滿足的條件解：(1) ，由題意得，是的兩個根，解得，再由可得(2) ，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；在區(qū)間上是減函數(shù)；在區(qū)間上是增函數(shù)函數(shù)的極大值是，極小值是(3) 函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個單位，向上平移4個單位得到的，所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域為（）而，即于是，函數(shù)在區(qū)間上的值域為令得或由的單調(diào)性知，即綜上所述，、應(yīng)滿足的條件是：

4、，且3設(shè)函數(shù)（1）若的圖象與直線相切，切點橫坐標(biāo)為，且在處取極值，求實數(shù) 的值；（2）當(dāng)b=1時，試證明：不論a取何實數(shù)，函數(shù)總有兩個不同的極值點 解：（1） 由題意，代入上式，解之得：a=1，b=1（2）當(dāng)b=1時，因故方程有兩個不同實根不妨設(shè)，由可判斷的符號如下：當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)因此是極大值點，是極小值點，當(dāng)b=1時，不論a取何實數(shù)，函數(shù)總有兩個不同的極值點。題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象1如右圖：是f（x）的導(dǎo)函數(shù)， 的圖象如右圖所示，則f（x）的圖象只可能是（ D ）（A） （B） （C） （D）2函數(shù)( A )xyo4-424-42-2-2xyo4-424-42-2-2xyy4o-424-

5、42-2-26666yx-4-2o42243方程 ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3題型五：利用單調(diào)性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍1設(shè)函數(shù) （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值.（2）若當(dāng)時，恒有，試確定a的取值范圍.解：（1）=，令得 列表如下：x（-，a）a（a，3a）3a（3a，+）-0+0-極小極大 在（a，3a）上單調(diào)遞增，在（-，a）和（3a，+）上單調(diào)遞減時，時， （2），對稱軸，在a+1，a+2上單調(diào)遞減 ，依題， 即解得，又 a的取值范圍是2已知函數(shù)f（x）x3ax2bxc在x與x1時都取得極值（1）求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（2）若對x1，2，不等式f（x）c

6、2恒成立，求c的取值范圍。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb由f（），f（1）32ab0得a，b2f（x）3x2x2（3x2）（x1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：x（，）（，1）1（1，）f（x）00f（x）極大值極小值所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（，）與（1，），遞減區(qū)間是（，1）（2）f（x）x3x22xc，x1，2，當(dāng)x時，f（x）c為極大值，而f（2）2c，則f（2）2c為最大值。要使f（x）f（2）2c，解得c2題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根1已知平面向量=(,1). =(,).（1）若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使=+(t23)，=-k+t，試求函數(shù)關(guān)系式

7、k=f(t) ；(2) 據(jù)(1)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t)k=0的解的情況.解：(1)，=0 即+(t2-3) (-k+t)=0. 整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)=0 =0，=4，=1，上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)(2)討論方程t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)= t(t2-3)與直線y=k的交點個數(shù). 于是f(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1). 令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時，f(t)、f(t)的變化情況如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )f(t)+0-0+F(t)極大

8、值極小值當(dāng)t=1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=.當(dāng)t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=函數(shù)f(t)=t(t2-3)的圖象如圖1321所示，可觀察出：(1)當(dāng)k或k時,方程f(t)k=0有且只有一解；(2)當(dāng)k=或k=時,方程f(t)k=0有兩解；(3) 當(dāng)k時,方程f(t)k=0有三解. 題型七：導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合1設(shè)在上是單調(diào)函數(shù).（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)1，1，且，求證：.解：（1） 若在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須這樣的實數(shù)a不存在.故在上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則，由于.從而0a3.（2）方法1、可知在上只能為單調(diào)增函數(shù). 若1，則 若1矛盾，故只

9、有成立.方法2：設(shè)，兩式相減得 1,u1，2已知為實數(shù)，函數(shù)（1）若函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線，求的取值范圍（2）若，（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（）證明對任意的，不等式恒成立解：，函數(shù)的圖象有與軸平行的切線，有實數(shù)解 ，所以的取值范圍是，由或；由的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間為易知的最大值為，的極小值為，又在上的最大值，最小值對任意，恒有題型八：導(dǎo)數(shù)在實際中的應(yīng)用1請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？解：設(shè)OO1為，則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為：，（單位：）故底面正六邊形的

10、面積為：=，（單位：）帳篷的體積為：（單位：）求導(dǎo)得。令，解得（不合題意，舍去），當(dāng)時，為增函數(shù)；當(dāng)時，為減函數(shù)。當(dāng)時，最大。答：當(dāng)OO1為時，帳篷的體積最大，最大體積為。2統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米。（I）當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（II）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解：（I）當(dāng)時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，要耗沒（升）。（II）當(dāng)速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設(shè)耗油量為升，依題意得令得當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù)。當(dāng)時，取到極小值因為在上只有一個極值，所以它是最小值。答：當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。