高中數(shù)學(xué)論文立足化歸思想實(shí)現(xiàn)有效解題

1、高中數(shù)學(xué)論文立足化歸思想 實(shí)現(xiàn)有效解題任何一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決，都需要進(jìn)行一系列的推理和運(yùn)算，而這些推理和運(yùn)算，本質(zhì)上就是一連串的問題轉(zhuǎn)化與歸結(jié)，即數(shù)學(xué)化歸思想，靈活的轉(zhuǎn)化和巧妙的歸結(jié)是研究和解決數(shù)學(xué)問題的重要策略，又是一種數(shù)學(xué)能力，也是數(shù)學(xué)解題的核心思想，該思想滲透到所有的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和解題過程中，在高考中占有十分重要的地位。下面以含參數(shù)二次型函數(shù)為主體闡述化歸思想在解題中的具體應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生建立合理的解題邏輯，掌握有效常規(guī)的解題方法，實(shí)現(xiàn)優(yōu)質(zhì)高效的解題目的。一、換位思考，將問題簡(jiǎn)單化解決含參數(shù)問題時(shí)，我們習(xí)慣了以為變量思考問題，但有時(shí)候在處理問題時(shí)會(huì)難以入手，難以理清思路，易出錯(cuò)。如果換一個(gè)

2、角度思考，以另一參數(shù)為主元，卻能使問題變得簡(jiǎn)單，容易解決。例1 對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：題設(shè)為已知變量的取值范圍，求變量的取值范圍，可以考慮以為主元，為參數(shù)，把問題歸結(jié)為關(guān)于的一次函數(shù)來處理，避免分類討論，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。解：原不等式等價(jià)于對(duì)任意恒成立，即等價(jià)于，即，解得。變式1 設(shè)，若在上變化時(shí)，恒取正值，求實(shí)數(shù)的范圍。解：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為，在時(shí)恒成立。由，得，解得：，故。變式2 設(shè)是定義在上的增函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由已知得，即對(duì)任意恒成立，等價(jià)于對(duì)任意恒成立，即，得。評(píng)注：上述各題均化歸為一次函數(shù)來解決，使問題轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生最熟悉的類型，化繁為簡(jiǎn)，

3、有利于知識(shí)模塊的建構(gòu)。二、數(shù)形結(jié)合，將問題形象化在數(shù)學(xué)中，數(shù)與形是相互聯(lián)系，相互制約的，在一定條件下又可以相互轉(zhuǎn)化，互為補(bǔ)充，將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來，能使數(shù)學(xué)問題的解決直觀形象又不失嚴(yán)密性。在處理含參數(shù)問題時(shí)，適當(dāng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合能達(dá)到高效解題的效果。例2 設(shè)方程，在上有唯一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：如果根與系數(shù)的關(guān)系分類討論，情況比較多，顯得復(fù)雜，若分離變量，可利用圖像法，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，能直觀形象地解決。解：由已知得，作二次函數(shù)在上的圖像，直線與上述圖像有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，易得。評(píng)注：數(shù)形結(jié)合解題時(shí)，應(yīng)盡量使所得的函數(shù)為基本函數(shù)，便于作圖，本例化為作二次函數(shù)的圖像。變式1 若方程

4、僅有一個(gè)實(shí)根，那么的取值范圍是。解：等價(jià)于，即在上僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根。作直線和函數(shù)在上的圖像，由交點(diǎn)一個(gè)可得：。評(píng)注：這里的基本函數(shù)為“對(duì)勾函數(shù)”，函數(shù)圖像及性質(zhì)是我們比較熟悉的。變式2 關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：轉(zhuǎn)化為，分別作直線和函數(shù)的圖像，當(dāng)四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即。評(píng)注：這里的基本函數(shù)為二次函數(shù)型的分段函數(shù)。變式3 直線與曲線有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是。解：即方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，則進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)不同的解，分別作直線和函數(shù)在上的圖像，由交點(diǎn)兩個(gè)得。評(píng)注：這里的基本函數(shù)也是二次函數(shù)。綜上所述，對(duì)處理含參數(shù)的二次方程有幾個(gè)根的問題時(shí)，利用分離變量，恰當(dāng)轉(zhuǎn)化

5、為宜于作圖的基本函數(shù)是解題的有效方法。三、逆向思考，將問題一般化當(dāng)數(shù)學(xué)問題正面解決困難時(shí)，就可以考慮轉(zhuǎn)化到反面，或者逆向求解，如補(bǔ)集法、反正法等，往往能使問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的，容易解決的道路上來。例3 已知二次函數(shù)，若，試判斷函數(shù)上是否有零點(diǎn)。分析：若正面考慮“是否有零點(diǎn)”，情況相當(dāng)復(fù)雜，不利于準(zhǔn)確解題，容易出錯(cuò)，但是，如果考慮函數(shù)有零點(diǎn)，則問題變得簡(jiǎn)單，容易解決。解：若函數(shù)上有零點(diǎn)，則在有解，得，有，得，解得，這與矛盾，故函數(shù)上無零點(diǎn)。變式1 若二次函數(shù)，在上至少有一個(gè)值，使，求實(shí)數(shù)的范圍。解：?jiǎn)栴}等價(jià)于在有解，假設(shè)在恒成立，則，得，解得。取補(bǔ)集得，這就是原問題的答案。四、理性分析，將問題常

6、規(guī)化在數(shù)學(xué)問題的解答中，我們不妨冷靜的思考、從不同角度作理性的分析，發(fā)掘一些隱含的條件，往往能把問題轉(zhuǎn)化到常規(guī)題來解決，起到四兩撥千斤的效果。例4 已知函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，去實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：本題如果直接分類討論或者分離變量，會(huì)使解答繁瑣。仔細(xì)分析可得：，再結(jié)合圖像，易知在上無零點(diǎn)。解：由于，問題轉(zhuǎn)化為在上無零點(diǎn)，結(jié)合圖像知：，得。評(píng)注：是隱含條件，充分利用這一條件使問題簡(jiǎn)單化，變?yōu)槌Ｒ?guī)題，便于解決。變式1 二次函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)、，使的定義域和值域分別為和？說明理由。分析：直接解答無從入手，思路受阻，找不到方向。如果按求二次函數(shù)值域的一般方法討論，情況也比較復(fù)雜。而由，若結(jié)論成立，則必

7、有，即，從而函數(shù)在上位增函數(shù)，這樣問題就容易解決了。解：由，若結(jié)論成立，則必有，即，從而函數(shù)在上位增函數(shù)，則有，解得，。評(píng)注：發(fā)現(xiàn)這一隱含條件是解題的關(guān)鍵，也是把問題變?yōu)槌Ｒ?guī)題的轉(zhuǎn)化條件。五、函數(shù)思想，將問題和諧化方程和不等式問題可以在函數(shù)的觀點(diǎn)下統(tǒng)一起來，它們是密切相關(guān)，可以相互轉(zhuǎn)化的。函數(shù)可以看成方程，也可以將方程或不等式的兩邊都看成函數(shù)。函數(shù)與方程的和諧統(tǒng)一是相互轉(zhuǎn)化的根本，在解決含參數(shù)的問題中有廣泛的應(yīng)用。例5 方程在中至少有一個(gè)根，求實(shí)數(shù)的范圍。解：等價(jià)于方程在中有解，等價(jià)求函數(shù)在上的值域，易知此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，得，即，故。評(píng)注：本題將方程根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求“對(duì)勾函數(shù)”值域問題。變

8、式1 關(guān)于的方程至少有一個(gè)負(fù)根，求實(shí)數(shù)的范圍。解：顯然，故，令，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程至少有一個(gè)負(fù)根，下面求在的值域，得，所以，即。評(píng)注：本題將方程根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域來解決。變式2 函數(shù)，如果函數(shù)在上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的范圍。解：由，得在上有解，令，則，即在上有解。轉(zhuǎn)化為求在上的值域，而在上的值域?yàn)?，從而得變? 已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的范圍。解：顯然不符合條件。當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為在上有解，令，則，有解。轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域。而由，得，即，故。變式4 關(guān)于的方程在有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的范圍。解：顯然（否則方程無符合條件的實(shí)根），得在有實(shí)根，轉(zhuǎn)化為求得函數(shù)在的值域，此函數(shù)為增函數(shù)，解得