高中數(shù)學復習學教案簡單的線性規(guī)劃及實際應用

1、知識點歸納1二元一次不等式表示平面區(qū)域:在平面直角坐標系中，已知直線Ax+By+C=0，坐標平面內的點P（x0，y0）B0時，Ax0+By0+C0，則點P（x0，y0）在直線的上方；Ax0+By0+C0，則點P（x0，y0）在直線的下方對于任意的二元一次不等式Ax+By+C0（或0），無論B為正值還是負值，我們都可以把y項的系數(shù)變形為正數(shù)當B0時，Ax+By+C0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域；Ax+By+C0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域2線性規(guī)劃:求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的

2、集合叫做可行域（類似函數(shù)的定義域）；使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結為線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：（1）根據(jù)題意，設出變量x、y；（2）找出線性約束條件；（3）確定線性目標函數(shù)z=f（x，y）；（4）畫出可行域（即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域）；（5）利用線性目標函數(shù)作平行直線系f（x，y）=t（t為參數(shù)）；（6）觀察圖形，找到直線f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案題型講解 例1 求不等式x1+y12表示的平面區(qū)域的面積例2 某人上午7時，乘摩托艇以勻速v n mile/h（4v20）從A港

3、出發(fā)到距50 n mile的B港去，然后乘汽車以勻速w km/h（30w100）自B港向距300 km的C市駛去應該在同一天下午4至9點到達C市設乘汽車、摩托艇去所需要的時間分別是x h、y h（1）作圖表示滿足上述條件的x、y范圍；（2）如果已知所需的經(jīng)費p=100+3×（5x）+2×（8y）（元），那么v、w分別是多少時走得最經(jīng)濟?此時需花費多少元?例3 某礦山車隊有4輛載重量為10 t的甲型卡車和7輛載重量為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員此車隊每天至少要運360 t礦石至冶煉廠已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次甲型卡車每輛每天的成本費為252元

4、，乙型卡車每輛每天的成本費為160元問每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊所花成本費最低?例4 設，式中變量滿足條件 求的最大值和最小值例5 某人有樓房一幢，室內面積共180m，擬分隔成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18，可住游客5名，每名游客每天住宿費為40元，小房間每間面積為15，可住游客3名，每名游客每天住宿費為50元，裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元，如果他們只能籌8000元用于裝修，且游客能住滿客房，它應隔出大房間和小房間各多少間，能獲最大利益？ 6畫出以A（3，1）、B（1，1）、C（1，3）為頂點的ABC的區(qū)域（包括各邊），寫出該區(qū)域所表示的二元一

5、次不等式組，并求以該區(qū)域為可行域的目標函數(shù)z=3x2y的最大值和最小值7某校伙食長期以面粉和大米為主食，面食每100 g含蛋白質6個單位，含淀粉4個單位，售價05元，米食每100 g含蛋白質3個單位，含淀粉7個單位，售價04元，學校要求給學生配制盒飯，每盒盒飯至少有8個單位的蛋白質和10個單位的淀粉，問應如何配制盒飯，才既科學又費用最少?8 某公司計劃在今年內同時出售變頻空調機和智能洗衣機，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實際情況（如資金、勞動力）確定產(chǎn)品的月供應量，以使得總利潤達到最大已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調查，得到關于這兩

6、種產(chǎn)品的有關數(shù)據(jù)如下表：資 金單位產(chǎn)品所需資金（百元）月資金供應量（百元）空調機洗衣機成 本3020300勞動力（工資）510110單位利潤68試問：怎樣確定兩種貨物的月供應量，才能使總利潤達到最大，最大利潤是多少?1分析：依據(jù)條件畫出所表達的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的特點求其面積解：x1+y12可化為或或或其平面區(qū)域如圖面積S=×4×4=8點評：畫平面區(qū)域時作圖要盡量準確，要注意邊界分析：由p=100+3×（5x）+2×（8y）可知影響花費的是3x+2y的取值范圍解：（1）依題意得v=，w=，4v20，30w1003x10，y 由于乘汽車、摩托艇所需的時間和x

7、+y應在9至14個小時之間，即9x+y14 因此，滿足的點（x，y）的存在范圍是圖中陰影部分（包括邊界） （2）p=100+3·（5x）+2·（8y），3x+2y=131p設131p=k，那么當k最大時，p最小在通過圖中的陰影部分區(qū)域（包括邊界）且斜率為的直線3x+2y=k中，使k值最大的直線必通過點（10，4），即當x=10，y=4時，p最小此時，v=125，w=30，p的最小值為93元點評：線性規(guī)劃問題首先要根據(jù)實際問題列出表達約束條件的不等式然后分析要求量的幾何意義3分析：弄清題意，明確與運輸成本有關的變量的各型車的輛數(shù)，找出它們的約束條件，列出目標函數(shù)，用圖解法求其

8、整數(shù)最優(yōu)解解：設每天派出甲型車x輛、乙型車y輛，車隊所花成本費為z元，那么z=252x+160y，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖 作出直線l0：252x+160y=0，把直線l向右上方平移，使其經(jīng)過可行域上的整點，且使在y軸上的截距最小觀察圖形，可見當直線252x+160y=t經(jīng)過點（2，5）時，滿足上述要求此時，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5時，zmin=252×2+160×5=1304答：每天派出甲型車2輛，乙型車5輛，車隊所用成本費最低點評：用圖解法解線性規(guī)劃題時，求整數(shù)最優(yōu)解是個難點，對作圖精度要求較高，平行直線系f（x，y）=t的

9、斜率要畫準，可行域內的整點要找準，最好使用“網(wǎng)點法”先作出可行域中的各整點4解：由已知，變量滿足的每個不等式都表示一個平面區(qū)域，因此所表示的區(qū)域為如圖中的四邊形ABCD 當過點C時，取最小值，當過點A時，取最大值即當時，當時，5解：設應隔出大房間間和小房間間，則且，目標函數(shù)為，作出約束條件可行域：根據(jù)目標函數(shù)，作出一組平行線當此線經(jīng)過直線和直線的交點，此直線方程為，由于不是整數(shù)，所以經(jīng)過整點（3，8）時，才是他們的最優(yōu)解，同時經(jīng)過整點(0,12)也是最優(yōu)解即應隔大房間3間，小房間8間，或者隔大房間0間，小房間12間，所獲利益最大如果考慮到不同客人的需要，應隔大房間3間，小房間8間小結：簡單的線

10、性規(guī)劃在實際生產(chǎn)生活中應用非常廣泛，主要解決的問題是：在資源的限制下，如何使用資源來完成最多的生產(chǎn)任務；或是給定一項任務，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的資源來完成如常見的任務安排問題、配料問題、下料問題、布局問題、庫存問題，通常解法是將實際問題轉化為數(shù)學模型，歸結為線性規(guī)劃，使用圖解法解決圖解法解決線性規(guī)劃問題時，根據(jù)約束條件畫出可行域是關鍵的一步一般地，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側開放的非封閉平面區(qū)域第二是畫好線性目標函數(shù)對應的平行直線系，特別是其斜率與可行域邊界直線斜率的大小關系要判斷準確通常最優(yōu)解在可行域的頂點（即邊界線的交點）處取得，但最優(yōu)整數(shù)解不一定是頂點坐標的近似值它應是

11、目標函數(shù)所對應的直線平移進入可行域最先或最后經(jīng)過的那一整點的坐標6分析：本例含三個問題：畫指定區(qū)域；寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達式不等式組；求以所寫不等式組為約束條件的給定目標函數(shù)的最值解：如圖，連結點A、B、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域為所求ABC區(qū)域直線AB的方程為x+2y1=0，BC及CA的直線方程分別為xy+2=0，2x+y5=0在ABC內取一點P（1，1），分別代入x+2y1，xy+2，2x+y5得x+2y1>0，xy+2>0，2x+y5<0因此所求區(qū)域的不等式組為x+2y10，xy+20，2x+y50作平行于直線3x2y=0的直線系3x2y=t（t為參數(shù)），即平移直線y=x，觀察圖形可知：當直線y=xt過A（3，1）時，縱截距t最小此時t最大，tmax=3×32× （1）=11；當直線y=xt經(jīng)過點B（1，1）時，縱截距t最大，此時t有最小值為tmin= 3×（1）2×1=5因此，函數(shù)z=3x2y在約束條件x+2y10，xy+20，2x+y50下的最大值為11，最小值為57解：設每盒盒飯需要面食x（百克），米食y（百克），所需費用為S=05x+04y，且x、y滿足6x+3y8，4x+7y10，x0，y0，由圖可知，直線y=x+S過A（，）時，縱截距S最小，即S最小故每盒盒飯為