江蘇省鎮(zhèn)江市2015屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

1、江蘇省鎮(zhèn)江市 2015 屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、填空題：本大題共一、填空題：本大題共 14 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 70 分分. 不需要寫出解答過程，請把答案不需要寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡的相應(yīng)位置上直接填寫在答題卡的相應(yīng)位置上.1記復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為，已知，則 ibiaz(),(Rbabiaziz 22z .2設(shè)全集，集合，則= .ZU 2 , 1 , 0 , 1, 2,2 , 1PMUPM3某校共有師生 1600 人，其中教師有 1000 人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為 80 的樣本，則抽取學(xué)生的人數(shù)為 .4若雙曲線的

2、一個焦點到一條漸近線的)0, 0( 12222babyax距離等于焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是 .415已知向量，則 .baxbxa),1, 2(),1, 12(x6執(zhí)行如圖流程圖，若輸入，則輸出的值為 21,20baa.7設(shè)為互不重合的平面，是互不重合的直線，給出下列,nm,四個命題：若，則；nnm,/m若，則；/,/,nmnm/若，則；/nm,nm/若，則；mnnm,n其中正確命題的序號為 .8設(shè)分別為連續(xù)兩次投擲骰子得到的點數(shù)，且向量，則向量的夾角為nm,1, 1,bnmaba,銳角的概率是_.9設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若,63, 763SS則 . nannS987aaa10已知直線

3、過點且與圓相交于兩點，的面積為 1，則直線 的l)2 , 1 (P2:22 yxCBA,ABCl方程為 .11若鈍角三角形三個內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊與最小邊長度之比為，則的取值范圍mmba 開始 N Y 結(jié)束 輸出 abaa輸入 ba,是 .12若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，則不等式的解集)(xfR0 xxxxfln)(exf)(為 .13曲線與曲線公切線（切線相同）的條數(shù)為 .)0(1xxyxyln14已知正數(shù)滿足，則的最小值為 .yx,111yx1914yyxx二、解答題：本大題共二、解答題：本大題共 6 6 小題，共小題，共 9090 分分. .請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時

4、應(yīng)寫出必要的文字說明、請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟證明過程或演算步驟. .15 （本小題滿分 14 分）已知的面積為，且.ABCSSACAB2（1）求；Asin（2）若,求.32, 3ACABABBsin16 （本小題滿分 14 分）如圖，在三棱錐中，已知是正三角形，平面，ABCDBCDABBCDaBCAB為的中點，在棱上，且.EBCFACFCAF3（1）求三棱錐的體積；ABCD（2）求證：平面；ACDEF（3）若為中點，在棱上，且MDBNAC,求CACN83證：平面. /MNDEF17 （本小題滿分 15 分）某飛機失聯(lián)，經(jīng)衛(wèi)星偵查，其最后出現(xiàn)在小

5、島附近.現(xiàn)派出四艘搜救船，為方便聯(lián)絡(luò)，ODCBA,船始終在以小島為圓心，100 海里為半徑的圓上，船構(gòu)成正方形編隊展開搜索，小BA,ODCBA,島在正方形編隊外（如圖）.設(shè)小島到的距離為，船到小島的距離為.OOABxDAOB,Od（1）請分別求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；并分別寫出定義域；d, x)(),(fdxgd（2）當(dāng)兩艘船之間的距離是多少時搜救范圍最大（即最大）. BA,d18（本小題滿分 15 分）已知橢圓的右焦點，離心率為，過作兩條互相垂直的弦)0( 12222babyax)0 , 1 (F22F，設(shè)的中點分別為.CDAB,CDAB,NM,（1）求橢圓的方程；（2）證明：直線必過定點，并求出

6、此定點坐標；MN（3）若弦的斜率均存在，求面積的最大CDAB,FMN值. 19 （本小題滿分 16 分）已知函數(shù)，實數(shù)滿足，設(shè).xxxf24)(ts,0)()(tfsftstsba2,22（1）當(dāng)函數(shù)的定義域為時，求的值域；)(xf1 , 1)(xf（2）求函數(shù)關(guān)系式，并求函數(shù)的定義域；)(agb )(ag（3）求的取值范圍.ts88 20 （本小題滿分 16 分）已知數(shù)列中，在之間插入 1 個數(shù)，在之間插入 2 個數(shù)，在之間插入 3 na11a21,aa32,aa43,aa個數(shù)，在之間插入個數(shù)，使得所有插入的數(shù)和原數(shù)列中的所有項按原有位置順序1,nnaan na構(gòu)成一個正項等差數(shù)列. nb（

7、1）若，求的通項公式；194a nb（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為nS，且滿足為常數(shù)） ，求的通項公式. nb,(2nnbS na江蘇省鎮(zhèn)江市高三數(shù)學(xué)期末試題江蘇省鎮(zhèn)江市高三數(shù)學(xué)期末試題 第第卷（理科附加卷）卷（理科附加卷）21.【選做題】本題包括 A,B,C,D 四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.(選修 4-1：幾何證明選講)如圖，圓與圓相交于兩點，點在圓上，圓的弦切圓于點,及其延長線交OPBA,POOBCPBCP圓于兩點，過點作交延長線于點.若，求的長.PED,ECEEF CBF22, 2CBCDEFB.

8、(選修 4-2：矩陣與變換)已知矩陣，試求曲線在矩陣變換下的函數(shù)解析式.10021,2001NMxysinMNC.(選修 4-4：坐標系與參數(shù)方程)已知直線 的極坐標方程為，圓的參數(shù)方程為為參數(shù)）.lsin()63prq-=C10cos(10sinxyqqq=（1）請分別把直線 和圓的方程化為直角坐標方程；lC（2）求直線 被圓截得的弦長.lD.(選修 4-5：不等式選講)已知函數(shù)，若不等式對任意恒成立，求實數(shù)( )12f xxx=-+-( )ababa f x+-, a bR的取值范圍.x【必做題】第 22，23 題，每小題 10 分，計 20 分.請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).22.（本

9、小題滿分 10 分）已知為曲線上的動點，定點，若，求動點的軌跡方程.A2:410Cxy-+ =( 2,0)M -2ATTM= T23.（本小題滿分 10 分）已知四棱錐的底面為直角梯形，底面,且PABCD-/ /,90 ,ABCDDABPA=ABCD是的中點.11,2PAADDCABM=PB（1）證明：平面平面；PAD PCD（2）求與所成角的余弦值；ACPB（3）求平面與平面所成二面角AMCBMC（銳角）的余弦值. MPADBC江蘇省鎮(zhèn)江市高三數(shù)學(xué)期末考試參考答案江蘇省鎮(zhèn)江市高三數(shù)學(xué)期末考試參考答案第第卷卷一、填空題（每小題 5 分）題號答案試題出處知識點能力難度134i?？碱}改編復(fù)數(shù)的運算

10、，共軛復(fù)數(shù)運算易22, 1,0教材改編集合的交集與補集運算易375教材改編分層抽樣運算易433yx 教材改編雙曲線的幾何性質(zhì)運算易51教材改編向量的數(shù)量積運算易6516教材改編算法流程圖識圖易7教材改編立體幾何的判定和性質(zhì)定理空間想象中8512原創(chuàng)概率問題，向量的夾角運算中9448教材改編等比數(shù)列的性質(zhì)，求和運算中10，10 x 3450 xy教材改編直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式運算中11(2,)?？碱}改編正弦定理，角度范圍的確定直覺，圖形分析較難12e(, )原創(chuàng)題函數(shù)的奇偶性，函數(shù)求導(dǎo)，函數(shù)單調(diào)性圖象分析難131?？碱}改編函數(shù)求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)及畫新函數(shù)圖像轉(zhuǎn)化，運算難1425?？碱}

11、改編基本不等式求最值轉(zhuǎn)化難二、解答題15. 解：（1） 的面積為，且，ABCS2AB ACS ， 2 分分1cos2sin2bcAbcA ，3 分分sin2cosAA 為銳角，且， 5 分分A2222213sincossinsinsin122AAAAA 6 分分6sin3A （2）設(shè)中角對邊分別為ABC, ,A B C, ,a b c，7 分分|3ABc |2 3ABACCBa 由正弦定理得：，即 9 分分sinsincaCA32 3sin63C ，又,則銳角，10 分分2sin2C caC ， 11 分分4C 12 分分sinsin()sincoscossin444BAAA= 14 分分62

12、322 3632326【說明說明】本題是由模擬試題改編，考查三角形中的邊角關(guān)系、向量的數(shù)量積運算，考查正弦定理，三本題是由模擬試題改編，考查三角形中的邊角關(guān)系、向量的數(shù)量積運算，考查正弦定理，三角變換；考查學(xué)生的字母符號處理能力、運算能力能力、書寫表達角變換；考查學(xué)生的字母符號處理能力、運算能力能力、書寫表達. .16解：（1）因為 是正三角形，且，所以，2 分分 BCDABBCa234BCDSa因為平面，ABBCDSBCD. 5 分分13D ABCA BCDVVAB21334aa3312a（2）在底面在底面中中， （以下運用的定理不交代在同一平面中，扣（以下運用的定理不交代在同一平面中，扣

13、1 分）分）ABC取的中點，連接，ACHBHABBC,BHAC為的中點，3,AFFCFCH為的中點， EBC 是正三角形,BCDDEBC EF6EFAC 分BH,B BCABBAACBBC面,(98,)DEABCABDECACAC面分分面,),(7BCDBABABDEDCED面分面,ADE EFCEFDEEDEFFE面.10 分分ACDEF面（注意：涉及到立體幾何中的結(jié)論，缺少一個條件，扣（注意：涉及到立體幾何中的結(jié)論，缺少一個條件，扣 1 1 分，扣滿該邏輯段得分為止）分，扣滿該邏輯段得分為止）（3）當(dāng)時，連，設(shè)，連38CNCACMCMDEOOF為的重心,，當(dāng)時,(11 分分) )OBCD2

14、3COCM23CFCNMNOF .14 分分MNDEF面【說明說明】本題是由?？碱}改編，考查錐體體積、垂直的判定、平行的判定；考查空間想象能力和識圖本題是由?？碱}改編，考查錐體體積、垂直的判定、平行的判定；考查空間想象能力和識圖能力，規(guī)范化書寫表達能力能力，規(guī)范化書寫表達能力. .17. 解：設(shè)的單位為百海里 x（1）由，=， 2 分分OAB2cosABOAA2cos A2cosADAB 在中， 3 分分AOD22( )2cos()2ODfOAOBOA OB ；（定義域 1 分） 5 分分214cos4cossin(0,)2 若小島 O 到的距離為， 6 分分ABx222 1ABx 8 分分2

15、2( )()()22ADABODg xx ， （定義域 1 分） 10 分分22212xxx(0,1)x （2）；224cos14cossinOD (0,)21cos2sin241422 2(sin2cos2 )3. 11 分分2 2sin(2)3,(0,)42當(dāng)，則時，即，取得最大值， 12 分分 52(,)4442428OD此時（百海里）. 13 分分1cos42cos22282AB答：當(dāng)間距離海里時，搜救范圍最大. 14 分分 AB100 22【說明說明】本題是原創(chuàng)題，考查余弦定理，三角恒等變換，數(shù)學(xué)建模的能力，選擇合適的模型求最值的本題是原創(chuàng)題，考查余弦定理，三角恒等變換，數(shù)學(xué)建模的能

16、力，選擇合適的模型求最值的問題問題. .,OFDEFEMND F面面18. 解：（1）由題意：，則， （每個（每個 1 分）分）3 分分21,2cca2,1,1abc橢圓的方程為 4 分分2212xy（2）斜率均存在，設(shè)直線方程為：，,AB CDAB(1)yk x，12121122(,), (,),(, (1)22xxxxA x yB xyMk 得，5 分分22(1),220,yk xxy2222(12)4220kxk xk，故， 6 分分212221224122212kxxkkx xk2222(,)1212kkMkk將上式中的換成，則同理可得：， 8 分分k1k222(,)22kNkk如，得

17、，則直線斜率不存在， 22222122kkk1k MN此時直線過點，下證動直線過定點. 9 分（法一）分（法一）若MN2( ,0)3MN2( ,0)3P直線斜率存在，則 ， MN22224222(33)3122222221122MNkkkkkkkkkkkkk直線為，11 分分MN22232()2212kkyxkkk令，得，0y 222222212312232323kkxkkk綜上，直線過定點. 12 分分MN2( ,0)3（法二）（法二）動直線最多過一個定點，由對稱性可知，定點必在軸上，設(shè)與軸交點為MNx23x x，下證動直線過定點.2( ,0)3PMN2( ,0)3P當(dāng)1k 時，PMk，10

18、 分分22223122221123kkkkkk同理將上式中的換成，可得，11 分分k1k221()3312211PMkkkkk則PMPNkk，直線過定點. 12 分分MN2( ,0)3P（3）由第（2）問可知直線過定點，MN2( ,0)3P 故 SFMN=SFPM+SFPN221111|23 223 12kkkk 13 分分2222421|(33)1|(1)6 (2)(12)2252kkkkkkkk ， 221(|)1|2225kkkk令，SFMN 14 分分 1|2,)|tkk21( )22(2)5tf tt21221tt，則在單調(diào)遞減， 15 分分2221 12( )02 (21)tftt

19、( )f t2,)t當(dāng)時取得最大值，此時 SFMN取得最大值，此時. 16 分分2t ( )f t191k 【說明說明】本題原創(chuàng)本題原創(chuàng). . 考查橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質(zhì)；考查函數(shù)最值、定點定值問題題型；考考查橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質(zhì)；考查函數(shù)最值、定點定值問題題型；考查變量代換法、函數(shù)思想、分類討論思想、一般與特殊思想；考查運算能力、演繹論證（分析法證明）查變量代換法、函數(shù)思想、分類討論思想、一般與特殊思想；考查運算能力、演繹論證（分析法證明）能力、直覺思維能力，猜想探究能力能力、直覺思維能力，猜想探究能力. . 本題可以不妨設(shè)本題可以不妨設(shè)，可直接對，可直接對求導(dǎo)，判斷單調(diào)性

20、求導(dǎo)，判斷單調(diào)性. .0k 242(1)252k kkk 19. 解：（1）若，令， 1 分分 1,1x 12 ,22xm 在上為增函數(shù)2 分分2211( )( )()24f xl mmmm1 ,22；，3 分分minmin11( )( )( )24f xl ml maxmax( )( )(2)2f xl ml值域為. 4 分分( )f x1,24（2）實數(shù)滿足，則，, s t( )( )0f sf t42420sstt 則，6 分分2(22 )22(22 )0sts tst 而，故， ， 7 分分22sta 2s tb220aba21( )()2bg aaa 由題意，則，故， 8 分分0,0

21、ba21()02aa1a 又， 22222442()2ststst即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號， 9 分分 22aa 2a st綜上：. 10 分分12a（3）88(22 )(4224 )()ststsstta ab ， 12 分分2321113()2222a aaaaa (1,2a 令， 3213( ),(1,222h aaaa 當(dāng)恒成立， 14 分分( )h a2333(2)022aaa a (1,2a故在單調(diào)遞增，故. 16 分分( )h a(1,2a( )( (1), (2)h ahh88st(1,2【說明說明】本題原創(chuàng)，考查二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查基本不等式、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；考查換

22、元法、本題原創(chuàng)，考查二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查基本不等式、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；考查換元法、劃歸思想；考查運算變形能力劃歸思想；考查運算變形能力. . 20. 解：（1）設(shè)的公差為，由題意：數(shù)列的前幾項為： nbd nb 2 分分1121,bab324563789104,19ba b b ba b b b ba 為的第 10 項，則， 4 分分4a nb1019bbd ，而， 5 分分2d 11b 故數(shù)列的通項公式為. 6 分分 nbnb12(1)21nn （2）由（為常數(shù)） ，2nnSb, 得， 7 分分2222()2nnnnSbbb 當(dāng)?shù)茫海?n 2212 當(dāng)時， 2n 2211122nnnS

23、bb -得， 8 分分221122 ()nnnnnbbbbb則， 9 分分12()2(2)2nnnnbd bbddbdd若，則，代入式，得，不成立； 10 分分0d 11nbb20（法一）（法一）當(dāng)，常數(shù)恒成立，又為正項等差數(shù)列， 2n 2(22 )2nd bdd nb當(dāng)時，不為常數(shù)，則得， 11 分分0d nb2220,20,ddd11,2d代入式，得. 12 分分14（法二）（法二）,，即， 2(2)2nnbdbdd2(22 )2nd bdd21(22 )(1) 2d bnddd則對2 恒成立， 222 (1)2(1)2dd ndddn令，得 解得 11 分分2,3n 22224 (1)2

24、(1)2,6 (1)2(1)2,dddddddddd1,1,2d【或者:常數(shù)，則，得，222 (1)2(1)2dd nddd2 (1)0dd1d 當(dāng)時，代入上式得】1d 1,2代入式，得. 12 分分14（法三）（法三）由12()2(2)nnnbd bbd n，得1122()2(3)nnnbd bbd n，-，得222dd， 代入上式得11 分分1d 1,2代入式，得. 12 分分14所以等差數(shù)列的首項為，公差為，則. 13 分分 nb11b 1d nbn設(shè)中的第項為數(shù)列中的第項，則前面共有的項，又插入了nan nbknana1n 項，則：15 分分(1)123(1)2n nn(1)(1)12n nkn22nn故. 16 分分22nknnabk【說明說明】本題是原創(chuàng)題，考查等差數(shù)列的性質(zhì)、通項、求和、簡單遞推；考查一般與特殊思想、轉(zhuǎn)化本題是原創(chuàng)題，考查等差數(shù)列的性質(zhì)、通項、求和、簡單遞推；考查一般與特殊思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想；考查運算能力；考查分析探究能力與劃歸思想；考查運算能力；考查分析探究能力. .第第卷理科附加卷卷理科附加卷 21.B 解：MN =， 4 分分10021020110202 即在矩陣 MN 變換下，