曲線積分與曲面積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、第十章 曲線積分與曲面積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)一、內(nèi)容提要(一) 對弧長的曲線積分1定義：，其中表示第個(gè)小弧段的弧長。2性質(zhì)：具有與定積分類似的性質(zhì)。如線性性質(zhì)，對積分路徑的可加性等。3計(jì)算：(1) 若曲線的界數(shù)方程為，()且，在上連續(xù)，在上連續(xù)，則。(2) 若曲線的方程為且在連續(xù)，上連續(xù)，則。(3) 若曲線的極坐標(biāo)方程為()，且在上連續(xù)，在上連續(xù)，則。(4) 若空間曲線的方程為，在上連續(xù)在上連續(xù)，則。(二) 對坐標(biāo)的曲線積分1定義：其物理意義是變務(wù)沿有向弧段所作的功，即2性質(zhì)：除了與弧長的曲線積分相同的性質(zhì)外，應(yīng)注意方向性3計(jì)算：(1) 若曲線的參數(shù)方程為，且曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對應(yīng)的的值為和，又，在或上

2、連續(xù)，在上連續(xù)，則(2) 若曲線的直角坐標(biāo)方程為，且曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對應(yīng)的的值為和，又在或上連續(xù)，則(3) 若空間曲線的參數(shù)方程為，且曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對應(yīng)的的值為和，又，在或上連續(xù)，則(三) 格林公式，曲線積分與路徑無關(guān)的條件1格林公式設(shè)和及一階導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，則有其中分段光滑曲線是區(qū)域的正向邊界。2四個(gè)等價(jià)命題若，在單連通區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在內(nèi)下列四個(gè)命題相互等價(jià)：(1) 曲線積分與路徑無關(guān)，其中是中分段光滑曲線；(2) 沿中任一分段光滑閉曲線有。(3) 對內(nèi)的任一點(diǎn)有。(4) 在內(nèi)存在一函數(shù)使，則有3兩種曲線積分之間的關(guān)系其中，是上任一點(diǎn)方向上的切向量的方向余弦。(四) 對

3、面積的曲面積分1定義：，其中()是曲面塊上的第個(gè)塊的面積。物理意義是密度的曲面塊的質(zhì)量當(dāng)時(shí)為面積。2計(jì)算若曲面可用單值函數(shù)表示設(shè)為在平面上的投影區(qū)域，則若曲面的方程為單值函數(shù)若，設(shè)和為在平面和平面上的投影，則曲面積分可類似地化成重積分：或 (五) 對坐標(biāo)的曲面積分1定義：其中表示的第子塊在平面上的投影，含義類似。物理意義：設(shè)流體密度為1，流速為 ，則單位時(shí)間內(nèi)流進(jìn)有向曲面指定一側(cè)的流量為2計(jì)算若曲面的方程為，則(當(dāng)為曲面的上、下側(cè)時(shí)分別取正、負(fù)號(hào))類似地，若曲面的方程為則 (當(dāng)為曲面的前、后側(cè)時(shí)分別取正、負(fù)號(hào))若曲面的方程為則 (當(dāng)為曲面的右、左側(cè)時(shí)分別取正、負(fù)號(hào))3兩類曲面積分的關(guān)系其中，是

4、有向曲面上點(diǎn)處的法向量的方向余弦。(六) 高斯公式設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成，函數(shù)、在上是有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則其中中的整個(gè)邊界的外側(cè)。(七) 斯托克斯公式設(shè)為分段光滑的有向空間閉曲線，為以為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的側(cè)符合右手法則，函數(shù)、在包含曲面在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)是有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有 (八) 通量與散度、環(huán)量與流量設(shè)向量場通量(或流量) ，其中為上點(diǎn)處的單位法向量。散度：對坐標(biāo)的曲面積分與的形狀無關(guān)的充要條件是散度為零。旋度：環(huán)流量：向量場沿有向閉線的環(huán)流量為二、基本要求(一) 理解曲線、曲面積分的定義，掌握曲線、曲面積分的計(jì)算方法；(二) 掌握第二類曲線、曲面積分

5、與路徑、形狀無關(guān)的條件及其判斷方法；(三) 了解通量與環(huán)流量與旋度的概念，并掌握它們的計(jì)算方法；(四) 掌握各類曲線、曲面積分之間的關(guān)系；(五) 掌握曲線、曲面的積分的有關(guān)應(yīng)用(求面積、求曲線段和曲面塊的重心坐標(biāo)等)；(六) 掌握高斯公式和斯托克斯公式及其應(yīng)用。三、注意的幾點(diǎn)(一) 第一類曲線積分的計(jì)算應(yīng)掌握弧長微分的基本公式所有形式的計(jì)算公式均可由此推出，第一類曲面積分也有類的公式。(二) 第二類曲線積分與積分曲線的方向有關(guān)第二類曲面積分與曲面空間有關(guān)(三) 第一類曲面積分的計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意“一投、二代、三換”以及利用積分區(qū)域的對線性和被積函數(shù)的第二類曲面積分的計(jì)算應(yīng)注意“一投、二代、三定號(hào)”。(四) 利用第二類曲線積分求平面圖形面積是格林公式的一個(gè)簡單應(yīng)用可利下面各式計(jì)算面積：。(五) 利用格林公式時(shí)，要注意條件：1曲線是閉曲線，錄不封閉則應(yīng)添加曲線使其封閉；2函數(shù)和在封閉曲線圍成的區(qū)域內(nèi)應(yīng)