極限理論在數(shù)學(xué)分析中的地位與作用及求極限的方法

1、極限理論在數(shù)學(xué)分析中的地位與作用及求極限的方法廣西省融水縣融水鎮(zhèn)第二中學(xué) 龔意會 論文提要：本文主要從極限思想的起源以及導(dǎo)數(shù)、定積分等后續(xù)內(nèi)容離不開極限的事實(shí)來闡述了極限理論在數(shù)學(xué)分析中的地位和作用。關(guān)鍵詞：數(shù)列、極限、導(dǎo)數(shù)、微積分。引 言：數(shù)學(xué)中的微積分問題實(shí)際上是極限問題，學(xué)好了極限理論，微積分問題就迎刃而解了，讀了這篇文章也許對你會有幫助。一.極限思想極限思想起源于圓周的計(jì)算。我國古代杰出的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年創(chuàng)立的“割圓術(shù)”，就是借助于圓的一串內(nèi)接正多邊形的周長數(shù)列的穩(wěn)定變化趨勢定義了圓的周長。劉徽說：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不能割，則與圓合體而無所失矣”。具體的作法

2、是：先作圓的內(nèi)接正六邊形，然后平分每組對邊所對的弧，作出圓的內(nèi)接正十二邊形，再用同樣的方法作圓的內(nèi)接正二十四邊形、四十八邊形、九十六邊形，等等。不論正多邊形的邊數(shù)怎樣多，每個圓的內(nèi)接正多邊形的周長都是可直接度量的，算是已知的。于是，得到一串圓的內(nèi)接正多邊形的周長數(shù)列：這個數(shù)列的通項(xiàng)是，是正邊形的周長。當(dāng)邊數(shù)不斷增大，使之趨于無窮大時，無限地趨于一個常數(shù)C，這個常數(shù)C就是圓周數(shù)列的極限，也是該圓的周長。圓是曲邊形，它的內(nèi)接正多邊形是直邊形，二者有著本質(zhì)的區(qū)別，但這個區(qū)別又不是絕對的，在一定的條件下正多邊形可以轉(zhuǎn)變?yōu)閳A。這個條件就是，在正多邊形的邊數(shù)不斷的增多時，每條邊長卻在不斷的縮短，當(dāng)邊數(shù)無限

3、的增大，乃至趨于無窮大時，每條邊長趨近于零，這時的正邊形就變成了圓。因此，極限方法是人們從有限中認(rèn)識無限，從近似中認(rèn)識精確，從量變中認(rèn)識質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)方法，極限方法是極限思想的體現(xiàn)，也是辨證思想的體現(xiàn)。二.極限的定義在數(shù)學(xué)分析中極限有兩個定義，一個是數(shù)列極限的定義另一個是函數(shù)極限的定義。數(shù)列極限的定義是：設(shè)有數(shù)列，是常數(shù)。若對任意0，總存在正數(shù)N，對任意正數(shù)N，有，則稱數(shù)列的極限是。用邏輯符號可表示如下： 0，N，有。而函數(shù)極限的定義又要分兩種情況：（1）當(dāng)自變量時，函數(shù)極限的定義為：設(shè)函數(shù)在區(qū)間（）有定義，是常數(shù)。若0，A()，有，則稱函數(shù)（當(dāng)時）的極限為。（2）當(dāng)自變量時，函數(shù)極限的定義為

4、：設(shè)函數(shù)在鄰域（）有定義，是常數(shù)若0，0，：0（x（），有 ，則稱函數(shù)當(dāng)時的極限是。數(shù)列極限和函數(shù)極限的定義在形式上似乎沒有什么聯(lián)系，但是根據(jù)海涅定理：對任意數(shù)列， ，且，有.說明這兩者在本質(zhì)上是可以互相轉(zhuǎn)化的。三.極限理論在數(shù)學(xué)分析中的地位和作用 數(shù)學(xué)分析的主要任務(wù)是研究函數(shù)的各種性態(tài)以及函數(shù)值的計(jì)算或近似計(jì)算，主要內(nèi)容是微積分。在微積分中幾乎所有的基本概念都是用極限來定義的?？梢哉f，沒有極限理論就沒有微積分。1. 導(dǎo)數(shù)是特殊的極限物體運(yùn)動的瞬時速度、曲線在某點(diǎn)處的切線斜率、非恒穩(wěn)電流強(qiáng)度以及化學(xué)反應(yīng)速度等等，都可以歸結(jié)為是函數(shù) 的改變量與自變量的改變量的比值當(dāng)時的極限，而導(dǎo)數(shù)就是在這個基礎(chǔ)

5、上下定義的。下面是劉玉璉編著的數(shù)學(xué)分析第四版上冊所給的定義：設(shè)函數(shù)y = 在有定義，在自變數(shù)的改變量是，相應(yīng)函數(shù)的改變量是。若極限存在，稱函數(shù)在處可導(dǎo)，此極限稱為函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)，若此極限不存在則稱函數(shù)在不可導(dǎo)。從定義看出，有了極限才有導(dǎo)數(shù)，沒有極限就沒有導(dǎo)數(shù)。2. 定積分是和的極限為了計(jì)算平面上任意形狀封閉曲線圍成區(qū)域的面積，我們可以將封閉區(qū)域分割成個相等的小矩形，用小矩形的面積之和近似代替封閉區(qū)域的面積。每個小矩形的面積是已知的，當(dāng)不斷增大時，小矩形就會不斷變小，小矩形的面積之和就越來越接近封閉區(qū)域的面積，當(dāng)時，每個小矩形的面積趨于零，所有小矩形的面積之和達(dá)到一個極限，這個極限就是封閉區(qū)域的面

6、積。同樣，要計(jì)算物體非等速直線運(yùn)動從時刻到時刻所經(jīng)過的路程時，可以將這段時間分割成個時間段，物體在各個時間段里的運(yùn)動看成是勻速運(yùn)動，那么物體在段時間里所走的路程之和就可以近似地代替物體從時刻到的路程。越大，這個路程之和就越精確。當(dāng)時，路程之和也達(dá)到一個極限，這個極限就是物體從時刻到時刻所經(jīng)過的路程。這兩個例子雖然實(shí)際意義不同，但從抽象的數(shù)量關(guān)系來看，它們都是函數(shù)在區(qū)間上具有特定結(jié)構(gòu)的和的極限。定積分的概念就是在“和的極限”這個基礎(chǔ)上作出定義的。下面是劉玉璉編著的數(shù)學(xué)分析第四版上冊所給的定積分定義：設(shè)函數(shù)在有定義。任給一個分法T和一組= ，有積分和（T，）=. 若當(dāng)時，積分和（T，）存在極限，設(shè)

7、，且數(shù)與分法T無關(guān)，也與在的取法無關(guān)，即0，0，有 ，則稱函數(shù)在可積，是的定積分。 這個積分可以表示為：.在這里，我們要特別注意的是只有當(dāng)積分和（T，）存在極限時積分才存在，否則函數(shù)在是不可積的。 以上兩例足以說明極限理論是微積分的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)分析的理論依據(jù)。四. 極限的計(jì)算計(jì)算極限是數(shù)學(xué)分析中的重點(diǎn)內(nèi)容，它涉及到很多后繼內(nèi)容的學(xué)習(xí)。那么如何學(xué)好極限的計(jì)算呢？1. 掌握有關(guān)極限的定理這里給出函數(shù)極限 的情形，至于數(shù)列的極限和其它形式的函數(shù)極限也都有類似的結(jié)果。 （1） 唯一性 如果在點(diǎn)有極限，則極限是唯一的。（2） 有界性 如果在點(diǎn)有極限，則存在正數(shù)和M。使當(dāng)0時，有M。（3）保號性 如果存在

8、，并且A0（或A0)，則存在0，使得對一切滿足0的，都有0（0 ）。（4）兩邊夾定理 如果存在0，使當(dāng)0時，并且，則。（5）運(yùn)算法則 設(shè)，則；。在B0時，又有 。 若，在的某個鄰域內(nèi)有界，則 。2. 注意靈活應(yīng)用各種簡便方法（1） 利用極限的四則運(yùn)算例1 求 。解：當(dāng)0時，由極限的四則運(yùn)算可得；當(dāng)= 0時，；當(dāng)0時， ， 。從而。綜上所述，可得（2） 利用初等函數(shù)的連續(xù)性設(shè)是初等函數(shù)。如果有意義，則在處連續(xù)，從而。于是，求函數(shù)在處的極限就歸結(jié)為求函數(shù)值。例2 求 。解：因?yàn)榕c都在點(diǎn)連續(xù)，因此這兩個函數(shù)的和也在連續(xù)。則有注意，如果是初等函數(shù)，并且，則冪指數(shù)也是初等函數(shù)。（3）利用初等數(shù)學(xué)的恒等式

9、將函數(shù)或數(shù)列化為易于求極限的形式后再計(jì)算常用的恒等式有：三角恒等式，等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，某些自然數(shù)集的和的公式，以及根式有理化等。例 3 求 .解：因?yàn)樗运?.例4 . 設(shè)1，求 .解：因?yàn)楫?dāng)，時，而1，故.因此.例5 . 求 解：因 2 ，故 注意：在時，與均沒有極限，因此原極限不能寫成極限的差的形式。（4）利用兩個重要極限求極限弦弧之比的極限： 或 ；確定自然對數(shù)之底的極限： 或 。 對于一些特殊的極限，運(yùn)用恒等變形或進(jìn)行變量替換，使所求極限之變量的結(jié)構(gòu)形式湊成或變換成這兩個重要極限的標(biāo)準(zhǔn)形式，或它們與其他形式的組合，這是利用這兩個重要極限來求極限的主要解題思路。例6. 求解：解法一：主要是“湊”成標(biāo)準(zhǔn)式解法二：作變量替換，令，則。當(dāng)時，。例7. 求 .解：（5）利用“兩邊夾定理”求極限例8. 設(shè)，求.解：因?yàn)?而 根據(jù)兩邊夾定理，得 （6）利用級數(shù)收斂的必要條件求極限例9. 求 解：考慮級數(shù)，由比值法，1.故級數(shù)收斂，從而有.（7）將數(shù)列的極限化為定積分設(shè)函數(shù)在連續(xù) .將分為份：，對于每一個，任取，令，并令，則. 如果將等分：，則，再取，便有即 .特別地，若，便有如果取為小區(qū)間的左端點(diǎn)，則有. 例10. 計(jì)算 解：例11. 計(jì)算 .解：.總之，極