2020屆吉林省高三第二次模擬數(shù)學(文)試題(解析版)

1、第1 1頁共 2222 頁2020 屆吉林省高三第二次模擬數(shù)學(文)試題、單選題1 1.若復數(shù) z z 滿足(1 2i)z 1 i,則zA A2B B.J05【答案】B B【解析】根據復數(shù)的除法、乘法法則，計算【詳解】C.衛(wèi)z z，然后根據復數(shù)模的運算方法，可得結果由(1 2i)z 1 i則z1 i1 i1 2i1 3i 2i21 2i 1 2i12i1 2i由2i1 31,所以zi5 5則zJ1223V 555故選：B B【點睛】本題考查復數(shù)四則運算以及模的運算，關鍵在于計算，屬基礎題2 2.已知集合A x Z x 3,B x|x1或x 2，則 AIAI (GRB)(A A . 0,1,20

2、,1,2B B. 1,0,1C C.0,3D D. 1,0,1,2【答案】D D【解析】根據絕對值不等式的解法，可得集合A，然后依據補集的知識，可得eRB,最后根據交集的概念，可得結果 【詳解】由x 33x3所以A x Z|x 32, 1,0,1,2又B x| x 1或x 2,所以6RBx第2 2頁共 2222 頁第3 3頁共 2222 頁所以 AlAl GB)GB) 1,0,1,21,0,1,2 故選：D D【點睛】本題考查集合的交集和補集的計算，掌握交集、并集、補集的概念，屬基礎題3 3 .已知a log87,b log32,c0.1，則（）A A.a b cB B. a a c c b

3、bC C.b a cD D.cab【答案】C C【解析】根據log87 log97，將b log32 log94，利用對數(shù)函數(shù)的單調性，可得a,b大小關系，然后借助中間值1 1，以及指數(shù)函數(shù)的單調性，可得結果 【詳解】由對數(shù)函數(shù)比較底數(shù)大小口訣：在第一象限，圖像越靠近y軸，則底數(shù)越小所以可知a log87 log97,而b log32 log94又y loggx在定義域單調遞增，所以log97 log94且1 log99 logg7 logg4 log910所以0 b a 1由yx在R上單調遞增，所以0.101所以c 1，故c a b故選：C C【點睛】本題考查指數(shù)式、對數(shù)式比較大小，關鍵在于

4、比較a,b大小，熟練對數(shù)函數(shù)底數(shù)的比較，學會總結，可簡便計算，同時也會借助中間值比較大小，比如：0 0, 1 1，屬中檔題. .4 4.長久以來，人們一直認為黃金分割比例是最美的，人們都不約而同的使用黃金分割，如果一個矩形的寬與長的比例是黃金比例品1（10 618稱為黃金分割比22例），這樣的矩形稱為黃金矩形，黃金矩形有一個特點：如果在黃金矩形中不停分割出正方形，那么余下的部分也依然是黃金矩形，已知下圖中最小正方形的邊長為1,則矩形ABCD的長為（）（結果保留兩位小數(shù)）第4 4頁共 2222 頁A 10.09B B.11.85c c.9.85D D.11.09【答案】D D【解析】根據黃金分割

5、比例的定義，依次計算各小矩形的長，最后可得結果 【詳解】令a亠2如圖HEF1所以矩形ABCD的長BC5a故選：D D【點睛】 本題考查新定義的理解，實質上考查等比數(shù)列的項的計算，審清題意，細心計算，屬基 礎題45 5.函數(shù)f(x) ( x)cosx( x且x 0)的圖象可能為()xfi由EH 1,則EF -，則GH aEF 12a aGH1可知GC3,貝U CDaaCD1所以BC4aaGCa150.61811.09【詳解】第 4 4 頁共 2222 頁【解析】 根據計算f X，判斷函數(shù)的奇偶性，然后代入特殊值，可得結果【詳解】有題可知:f X，可知該函數(shù)為奇函數(shù)4又f cos所以 A A 正確

6、 故選：A A【點睛】本題考查判斷函數(shù)的圖像，對這種題型，可以從這幾個方面進行判斷：（1 1 ）定義域；（2 2）奇偶性；（3 3）單調性；（4 4）值域；（5 5 ）取特殊值，屬基礎題. .6 6 某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取56人做問卷調查，將840人按1，2,3 ,L,840隨機編號，若442號職工被抽到，則下列4名職工中未被抽到的是（）A A 487號職工B B.307號職工C C 607號職工D D 520號職工【答案】D D【解析】利用系統(tǒng)抽樣的概念，可得抽樣距為1515,根據每組抽出號碼成等差數(shù)列，結合442號在第 3030 組，可知第一組抽出的號碼，進一步得

7、到等差數(shù)列的通項公式，簡單 判斷，可得結果 函數(shù)的定義域為關于原點對稱44x cos Xx cosXXX第6 6頁共 2222 頁由題可知：抽樣距為84015,設第一組抽出的號碼為ai,由前 2929 組共有 435435 項，前 3030 組有 450450 項所以可知442號落在第 3030 組所以an7 15 n 115n又nN，所以520號職工不是被抽到的員工故選：D D【點睛】本題考查系統(tǒng)抽樣，還考查等差數(shù)列通項公式，難點在于求出印，屬基礎題. .7 7.tan645（）A A 2.3B B.2 23 3C C 23D D 2.3【答案】B B【解析】 將大角化小角，根據誘導公式可得

8、tan75o,然后根據754530，以及兩角和的正切公式，可得結果【詳解】tan645tan 72075則tan 645tan 75由tan 75tan 4530所以tan 752、3則tan 6452, 3故選：B B又因為每組抽出號碼成等差數(shù)列an，公差為 1515所以日30 115 442ai當an520528n15tan 75 tan 45 tan 301 tan 4 5ta n30第7 7頁共 2222 頁【點睛】本題考查誘導公式，以及特殊角的轉化，還考查兩角和的正切公式，關鍵在于計算，屬第8 8頁共 2222 頁基礎題 r r rr _r r r rr8 8 .若向量a,b滿足|

9、a |丿3,|b | 2#6，且滿足(2 a b) a，則a與b的夾角為23A A .B B.C C.D D.3344【答案】D D【解析】利用向量垂直關系，可得a b，然后根據向量夾角公式，可得結果【詳解】rrrr r r由(2 ab)a，所以(2 a b) a 0則2；2r ab 0，又1 a 1-/3，所以a r b6，由|b| 2、6故選：D D【點睛】 本題考查向量的垂直關系以及向量的夾角公式，掌握公式，細心計算，屬基礎題119 9 .如圖給出的是計算1-L35填入（）12019的值的一個程序框圖，則圖中空白框中應則cos：a,b-2-2rbrb r ar a第9 9頁共 2222

10、頁A A .B B.【答案】【解析】【詳解】2i 32i 1根據該算法的功能以及按步驟依次計算，采用對選項逐一驗證,該程序框圖的功能為計算1的值2019由i 1,S0，A A 錯，若S則第一次執(zhí)行:1廠，1不符合5B B 錯，若Si2i 1則第一次執(zhí)行:13，不符合C C 錯，若S則第一次執(zhí)行:D D 正確，若S則第一次執(zhí)行:1，不符合22i 10 1，然后依次執(zhí)行，符合題意故選：D D【點睛】D D.S S 2i 1可得結果本題考查程序框圖，這種題型，一般依次執(zhí)行，耐心觀察細心計算，屬基礎題第1010頁共 2222 頁2x1010 .已知雙曲線 ra2y孑21（a 0,b 0）的漸近線與圓（

11、x 1）y2sin2130o相切，則該雙曲線的離心率等于 ()1A AB B.1C C 2si n50oD D2cos50oosin 50ocos50【答案】B B【解析】根據雙曲線的方程，可得漸近線方程，然后根據直線與圓的位置關系，利用幾 何法表示，根據平方關系以及a,b,c的關系，結合離心率公式，可得結果. .【詳解】2 2雙曲線篤占1的漸近線為bx ay 0a2b2由漸近線與圓（x 1）2y2sin2130o相切2332 o2 o所以 pcos 130 cos 50，c由e ，所以ea故選：B B【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，還考查了雙曲線的漸近線，關鍵在于利用幾何法得到關系式子，

12、細心計算，注意角度變換，屬基礎題1111.設ABC的內角A,B,C的對邊分別是a,b,c已知2b acosC 0,sin A 3sin( A C)，則bc(a)A A工B B.，14C C2D D .4939【答案】D D【解析】根據正弦定理把角化邊，可得a 3b,進一步得到cosC2然后根據余弦所以可得b.a2b2sin 130o兩邊平方:b2sin2130o，又b2c2a2a2b2222所以ca. 22sin130o，則1冷sin2130o2cc1cos50第1111頁共 2222 頁3第1212頁共 2222 頁定理，可得c ,.6b，最后可得結果【詳解】在ABC中,sinA sinB所

13、以a 3b，又2b acosC 0由可知：cosC2, 22又cosCa b c2ab把代入化簡可得：cbc b、6b則a 3b故選：D D【點睛】2 21212.已知雙曲線C:篤為1(a 0,ba b是(【答案】【詳解】 如圖由sin A 3sin(A C) 3sin B3sin B.6本題考查正弦定理、余弦定理的綜合應用,難點在于將c用b表示，當沒有具體數(shù)據時,可以聯(lián)想到使用一個參數(shù)表示另外兩個參數(shù)，屬中檔題0)的焦點為h( 3,0)，F(xiàn)2(3,0)，過F2作直線I與雙曲線C的右支交于點A，B兩點.BF24 AF2,| AFi|AB|，則C的方程2xA A .32x xB.5 52xD D

14、 . .4【解采用數(shù)形結合，計算cos F1ABAFj2|AF2|2BF1, AF1,F1F22AF1AF2以及利用余弦定理,cos F1AB|AB|2|BRAF2 AF1AB,可得a2，最后根據b2c2a2，可得結果 313第1313頁共 2222 頁JT由|AFi| |AF2|2a，|AFi| |AB|所以|BF2| 2a，又BF24 AF2則AF22，|AFI|5aT，由|BFi|BF22a|BFi| 4acos FjABcosRABcosRABcosRABAF1IAF2I2IF1F22AFIAF225a22旦2c222邑22| AB |BFiAFi2 AFiAB25a225a24a2

15、_5a25a225a22c5a25a2尹I2224a5a2且c 3，計算可得:所以b2a2c2故雙曲線方程為:42x x5 5故選：B B【點睛】本題主要考查雙曲線的定義，關鍵在于計算, 注意知識的交叉應用，考驗分析能力以及第1414頁共 2222 頁計算能力，屬中檔題二、填空題1313 曲線y (3x2x)ex在點(0,0)處的切線方程為_【答案】x y 0【解析】根據函數(shù)的導函數(shù)以及曲線在某點處導數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率根據點斜式，可得結果 【詳解】由y (3x2x)ex，則y(6x 1)ex3x2x ex3x25x 1 exyx o1所以切線方程為：y x，即x y 0故答案為：x

16、y 0【點睛】本題考查曲線在某點處的切線方程,重點在于曲線在某點處導數(shù)的幾何意義,1414已知數(shù)列an是等比數(shù)列，其前n項和為Sn，ai1,6a32ae,則3【答案】313【解析】根據等比數(shù)列的通項公式計算可得公比q，然后根據等比數(shù)列的前然后屬基礎題. .n項和公式，可得結果. .【詳解】設等比數(shù)列an的公比為q由6a3a65ag所以q 6旦，又a1所以ai 1 q51 qt1 25313313第1515頁共 2222 頁故答案為:【點睛】第1616頁共 2222 頁本題考查等比數(shù)列的通項公式以及前n項和公式，重在于對公式的識記，屬基礎題X1515 .函數(shù)f (x) sin(2 x) 8cos

17、的最小值為 _.【答案】 7 7X【解析】 根據誘導公式以及二倍角的余弦公式化簡，可得關于cos的二次函數(shù)形式,2然后使用換元法以及二次函數(shù)的性質，可得結果【詳解】由f (x) sin(q x) 8cos|所以f (x) cosxx8cos2cos2xx1 8cos222即f (x) 2cos2-x8cos1, 由1cosx1222令tx cos,t1,12則y2t28t 1,對稱軸為t 2所以y2t28t1在1,1遞減當t 1，即cos -1時，有fmin(x)72故答案為： 7 7【點睛】本題主要考查二次函數(shù)型的最值問題，掌握二次函數(shù)的性質，熟練二倍角公式，誘導公式的應用，屬基礎題. .1

18、616 如圖，在五面體ABCDEF中，ABDC,BAD $,CD AD 3，四邊形ABFE為平行四邊形，F(xiàn)A平面ABCD,FC 5，則直線AB到平面EFCD距 離為.313第1717頁共 2222 頁【解析】禾U用等價轉化的思想轉化為點到面的距離，作AG FD，利用線面垂直的判定定理證明AG平面EFCD，然后計算AF,DF使用等面積法，可得結果【詳解】作AG FD如圖DC平面EFCD，AB平面EFCD所以AB/平面EFCD所以直線AB到平面EFCD距離等價于點A到平面EFCD距離 又FA平面ABCD，CD平面ABCD所以FA CD，又BAD ,則CD AD2AD, FA平面FAD，AD FA

19、A，所以CD平面FADAG平面FAD，所以CD AG【答3、74E由AB/DC，第1818頁共 2222 頁又CD,FD平面EFCD，CD FD D所以AG平面EFCD所以點A到平面EFCD距離為AG由CDAD 3，所以AC .AD73 2又FC5，所以AF . FC2AC2.7在AFD中，F(xiàn)D . AD2AF24p 113/7又FD AG AD AF AG -224第1919頁共 2222 頁故答案為：LZLZ【點睛】本題考查線面垂直的綜合應用以及等面積法求高,理解能力，分析問題的能力，屬中檔題 三、解答題1717 為了研究每周累計戶外暴露時間是否足夠(單位：小時)與近視發(fā)病率的關系，對某中

20、學一年級100名學生進行不記名問卷調查，得到如下數(shù)據：近視近視不近視不近視足拶的戶外暴露時聞足拶的戶外暴露時聞2035不足勢的戶外暴需時間不足勢的戶外暴需時間3015(1) 用樣本估計總體思想估計該中學一年級學生的近視率；(2)能否認為在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為不足夠的戶外暴露時間與近視 有關系？附:K2_n(adbe)2_(a b)(e d)(a e)(b d)P(K2 k9)0.05C0.0100.0011 &3.8416.6S510.8281【答案】(1 1)-; (2 2)能認為，見解析. .2【解析】(1 1)計算 該中學一年級學生的近視 ”的人數(shù)，利用所求人數(shù)

21、與總數(shù)的比值, 可得結果. .(2(2)計算K2，然后與表格數(shù)據進行對比可得結果【詳解】(1(1)由題可知:該中學一年級學生的近視”的人數(shù)為 5050,總數(shù)為 100100,則利用樣本估計總體思想可知:n 100, a 20,b35,e 30,d15重點在于使用等價轉換的思想,考驗該中學一年級學生的近視率:(2 2)由題可知：501100 2第2020頁共 2222 頁由K2n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)則K2100(20 15 35 30)29.096.635(20 35)(30 15)(2030)(35 15)可以認為在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為不足

22、夠的戶外暴露時間與近視有關系【點睛】 本題主要考查統(tǒng)計量K2的計算，重在于計算，屬基礎題1818已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a23,0.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2(2)求使不等式Snan成立的n的最小值.【答案】(1 1) a an2n2n7；( 2 2)8【解析】(1 1)根據等差數(shù)列的通項公式以及前n項和，可得a1,d，然后利用公式法,可得結果. .(2 2)根據(1 1)的結論，計算Sn,然后可得結果. .【詳解】(1) 設等差數(shù)列an的公差為由a23,S60a-id 3a1所以6 5d6a10 d2所以 a a 2n2n 7 7(2) 由(1 1)可知：a an2n2n

23、7 7a1ann2所以Sn- -n 6n2又Snan，所以n26n 2n即n28n 7 0 n 1或門所以使不等式Snan成立的n的最小值為 8 8第2121頁共 2222 頁【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式，主要是計算，屬基礎題1919 .在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，已知DC D。！3AD 3AB 3,AD DC,AB/DC,E為DC上一點，且DE 1.(1)求證：D1E/平面A BD；(2 2)求點D到平面BED1的距離.【答案】(1 1)見解析；(2 2)3衛(wèi)1010【解析】(1 1)通過證明四邊形ABED為平行四邊形，可得D1E/A1B，然后根據線面 平行

24、的判定可得結果 (2)作DM D1E交D1E于M，根據DM BE,可得DM平面BED1，然后計 算DM，可得結果 【詳解】(1)AB/DC，且3AB DC 3,-AB/DE,AB DE,故四邊形ABED為平行四邊形，二BE/AD/A1D1,BE AD A1D1,-四邊形A1D1EB為平行四邊形，/ AB,D1E平面ABD,A1B平面A1BD,D1E/平面A1BD.(2) 過D作DM D1E交D1E于M,如圖第2222頁共 2222 頁-ABCD AB1GD1為直四棱柱，DD1底面ABCD,DD1BE,由(1 1)得BE/AD,TADDC,BEDC，而DCDD1D,-BE平面DCC1D1,DM平

25、面DCC1D1,二BE DM，又TDM,BE IE,二DM平面BED!,點D到平面BEDi的距離即為DM長， DE1,DDi3, D1E .10,DM匸3遼,怖10-點D到平面BEDi的距離為，衛(wèi)1010【點睛】本題考查線面平行的判定以及點面距離，第(2 2)問中在于找到點D到平面BED1的距離即為DM長，熟練線線、線面、面面之間的關系，考驗觀察能力以及分析能力，屬中檔題 132020 .已知函數(shù)f(x) sinx xcosx - x，f (x)為 f f (x)(x)的導數(shù).6(1) 證明：f (x)在區(qū)間(0,)上不存在零點；213(2) 若f(x) kx xcosx x 1對x (0,)

26、恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.6 2【答案】(1 1)見解析；(2 2)(，-.第2323頁共 2222 頁- t(x).t(x)0在(0,)上恒成立，即24t(x)在(0,)上單減,21【解析】(1 1) )計算f (x)，然后從中提出函數(shù)g(x) sinx qX，根據通過導數(shù)研究g(x)單調性，根據g(x)的值域，可知f(x)0,最后可得結果. .(2 2)化簡式子，然后使用分離參數(shù)的方法，構建新的函數(shù)，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調性，計算新函數(shù)的最值并與k進行比較，可得結果 【詳解】:g(0) 0，g(3)f石0,140，所以g(x)在(0,)上恒大于 0 0 ,2則f(x)0在(0,)上恒成

27、立,2所以f(x)在區(qū)間(0,)上不存在零點.213(2 2)由f (x) kx xcosx x 16，得sinx kx 1,令m(x) xcosx sinx 1,則m(x)xsinx 0恒成立,m(x)m(x)在(0,)上單調遞減,2m(x) m(0)10,(1)f(x)xsinx lx2x(sin x x)，令g(x)sin x1x，則g(x)1cosx2(0,)時，g (x)30，g(x)單增;(亍2)時,g(x)0，g(x)單減,x(ay，故ksin x 1x令t(x)sin xx1，則t(x)xcosx sinx 1第2424頁共 2222 頁二k的取值范圍是(，一.【點睛】本題考查

28、導數(shù)的綜合應用，第(11 1)冋中，難點在于從中分離出函數(shù)g(x) sinx - x來研究，第(2 2)問中，難點在于分離參數(shù)，且兩次使用導數(shù)，考驗分析能力，屬難題2121 .已知0為坐標原點，橢圓2yx21的下焦點為F，過點F且斜率為k的直線與2橢圓相交于A，B兩點. .5(2)存在定點，P o,-4【詳解】(1 1)以AB為直徑的圓與 x x2 2 相切，求該圓的半徑；(2 2)在y軸上是否存在定點P，使得PAPB為定值，若存在，求出點P的坐標；若不存在, 請說明理由【答【解(1(1)設直線l的方程為ykx 1, A Xi,yi, B x2,y2，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元可得 x x1x

29、x22k2kk k22 21 1k k22 2，算出AB，由以AB為直徑的圓與 x x42相(2)2yo1k22P 0, yo，可算出22yo4yo1kk2LUVPA解出_，解出k即可22 2 2uuvyo2 k 2yo4y1PByo即可k22，要為常數(shù)則有切可得2 1 k第2525頁共 2222 頁由題意可設直線I的方程為y kx1,A為，yi,B X2, y2y12y2x2y kx4 k212消去y，得k214k280恒成立,X Xix2X X2，y22kx2k2k廠，x1x2kx11 kx2k k22 2k2第2626頁共 2222 頁(2)設P 0, y0,uuv uuvPA PBxx

30、y1y。y2y。為X2* y2y2y1y2y。12 2k24y。y22y。2 k22y24y1k22k22k2270k222由y0222y04y01，得Y05uiu uuuPA PB712416【點睛】涉及橢圓的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用設而不求”整體帶入”等解法 4m21 m.3(1 m2)21 m標原點0為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程是2 sin( -)4.(1) 寫出曲線C的普通方程和I的直角坐標方程；(2) 求C上的點到I距離的最小值.22_!Z【答案】(1)C: y 1(y-辛3),l: 、3y x 4 0; (2 2)-.432【解析】(1 1)計算平方和(專)2( )2，消參，并注意y的范圍，可得曲線C的普通1 k2解得k、2，3.22圓的半徑為l-l. .y軸上存在定點P0,5uur uuu，使得PA2222 .在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù))，以坐k 2第2727頁共 2222 頁坐標方程. .（2 2）根據（1 1）的條件假設曲線C上任意一點（2cos,、,3sin ），使用點到直線的距【詳解】則C上點到I距離為d,其