利用導數(shù)研究方程的根和函數(shù)的零點(同名4227)

1、無 利用導數(shù)研究方程的根和函數(shù)的零點利用導數(shù)研究方程的根和函數(shù)的零點 5 （本小題滿分 12 分） 已知函數(shù)321( ),3f xxaxbx且( 1)0f （I）試用含a的代數(shù)式表示b； （）求( )f x的單調區(qū)間；w.w.w .k.s. 5. u.c. o.m （）令1a ，設函數(shù)( )f x在1212,()x x xx處取得極值，記點1122( ,( ),(,()M xf xN xf x，證明：線段MN與曲線( )f x存在異于M、N的公共點； 5. 解法一： （I）依題意，得2( )2fxxaxb 由( 1)1 20fab 得21ba （）由（I）得321( )(21)3f xxaxa

2、x（ 故2( )221(1)(21)fxxaxaxxa 令*( )0fx ，則1x 或1 2xa 當1a 時，1 21a 當x變化時，( )fx與( )f x的變化情況如下表： x (,1 2 )a ( 2 , 1)a ( 1) ( )fx + + ( )f x 單調遞增 單調遞減 單調遞增 由此得，函數(shù)( )f x的單調增區(qū)間為(,1 2 )a和( 1,) ，單調減區(qū)間為(1 2 , 1)a 由1a 時，1 21a ，此時，( )0fx 恒成立，且僅在1x 處( )0fx ，故函數(shù)( )f x的單調區(qū)間為 R 當1a 時，1 21a ，同理可得函數(shù)( )f x的單調增區(qū)間為(, 1) 和(1

3、 2 ,)a，單調減區(qū)間為( 1,1 2 )a 綜上： 當1a 時， 函數(shù)( )f x的單調增區(qū)間為(,1 2 )a和( 1,) ， 單調減區(qū)間為(1 2 , 1)a； 當1a 時，函數(shù)( )f x的單調增區(qū)間為 R； 當1a 時，函數(shù)( )f x的單調增區(qū)間為(, 1) 和(1 2 ,)a，單調減區(qū)間為( 1,1 2 )a （）當1a 時，得321( )33f xxxx 由3( )230fxxx，得121,3xx 由（）得( )f x的單調增區(qū)間為(, 1) 和(3,)，單調減區(qū)間為( 1,3) 所以函數(shù)( )f x在121.3xx 處取得極值。 故5( 1, ). (3, 9)3MN 所以

4、直線MN的方程為813yx 無 由22133813yxxxyx 得32330 xxx w. w.w. k.s .5.u.c. o.m 令32( )33F xxxx 易得(0)30,(2)30FF ， 而( )F x的圖像在(0,2)內是一條連續(xù)不斷的曲線， 故( )F x在(0,2)內存在零點0 x，這表明線段MN與曲線( )f x有異于,M N的公共點 解法二： （I）同解法一 （）同解法一。 （）當1a 時，得321( )33f xxxxx，由2( )230fxxx，得121,3xx 由 （） 得( )f x的單調增區(qū)間為(, 1) 和(3,)， 單調減區(qū)間為( 1,3)， 所以函數(shù)( )

5、f x在121,3xx 處取得極值， 故5( 1, ),(3, 9)3MN 所以直線MN的方程為813yx w. w.w. k.s .5.u.c. o.m 由32133813yxxxyx 得32330 xxx 解得1231,1.3xxx 1233121135119,33xxxyyy 所以線段MN與曲線( )f x有異于,M N的公共點11(1,)3 w. w.w .k.s.5.u.c. o.m 14（本小題滿分 12 分） 設函數(shù)329( )62f xxxxa （1）對于任意實數(shù)x，( )fxm恒成立，求m的最大值； （2）若方程( )0f x 有且僅有一個實根，求a的取值范圍 14. 解：(

6、1) 2( )3963(1)(2)fxxxxx, 因為(,)x ,( )fxm, 即 239(6)0 xxm恒成立, 所以 81 12(6)0m , 得34m ，即m的最大值為34 (2) 因為 當1x 時, ( )0fx ;當12x時, ( )0fx ;當2x 時, ( )0fx ; 所以 當1x 時,( )f x取極大值 5(1)2fa; 當2x 時,( )f x取極小值 (2)2fa; 故當(2)0f 或(1)0f時, 方程( )0f x 僅有一個實根. 解得 2a 或無 52a . 23 （本小題滿分 12 分）已知函數(shù)3( )31,0f xxaxa 求( )f x的單調區(qū)間； 若(

7、)f x在1x 處取得極值，直線 y=m與( )yf x的圖象有三個不同的交點，求 m的取值范圍。 23. 解析： （1）22( )333(),fxxaxa 當0a 時，對xR，有( )0,fx 當0a 時，( )f x的單調增區(qū)間為(,) 當0a 時，由( )0fx 解得xa 或xa； 由( )0fx 解得axa， 當0a 時，( )f x的單調增區(qū)間為(,),(,)aa ；( )f x的單調減區(qū)間為(,)aa。 （2）因為( )f x在1x 處取得極大值， 所以2( 1)3 ( 1)30,1.faa 所以32( )31,( )33,f xxxfxx 由( )0fx 解得121,1xx 。

8、由（1）中( )f x的單調性可知，( )f x在1x 處取得極大值( 1)1f ， 在1x 處取得極小值(1)3f 。 因為直線ym與函數(shù)( )yf x的圖象有三個不同的交點，又( 3)193f ，(3)171f， 結合( )f x的單調性可知，m的取值范圍是( 3,1)。 12 （20102010 年高考年高考湖北卷文科湖北卷文科 2121） （本小題滿分 14 分） 設函數(shù)321axxbxc32f（x）=，其中 a0，曲線xyf （ ）在點 P（0，0f （ ）處的切線方程為 y=1 （）確定 b、c 的值 （）設曲線xyf （ ）在點（11xxf，（ ）及（22xxf，（ ）處的切線都

9、過點（0,2）證明：當12xx時，12()()fxfx （）若過點（0,2）可作曲線xyf （ ）的三條不同切線，求 a 的取值范圍。 無 （11 天津文）天津文）19 （本小題滿分 14 分）已知函數(shù)322( )4361,f xxtxt xtxR ，其中tR （）當1t 時，求曲線( )yf x在點(0,(0)f處的切線方程； （）當0t 時，求( )f x的單調區(qū)間； （）證明：對任意的(0,),( )tf x在區(qū)間(0,1)內均存在零點 （19）本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、曲線的切線方程、函數(shù)的零點、解不等式等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法，滿分

10、14 分。 （）解：當1t 時，322( )436 ,(0)0,( )1266f xxxx ffxxx (0)6.f 所以曲線( )yf x在點(0,(0)f處的切線方程為6 .yx （）解：22( )1266fxxtxt，令( )0fx，解得.2txtx 或 因為0t ，以下分兩種情況討論： （1）若0,2tttx 則當變化時，( ),( )fxf x的變化情況如下表： x ,2t ,2tt , t ( )fx + - + 無 ( )f x 所以，( )f x的單調遞增區(qū)間是,;( )2ttf x 的單調遞減區(qū)間是,2tt。 （2）若0,2ttt 則，當x變化時，( ),( )fxf x的變

11、化情況如下表： x ,t ,2tt ,2t ( )fx + - + ( )f x 所以，( )f x的單調遞增區(qū)間是,;( )2ttf x 的單調遞減區(qū)間是,.2tt （）證明：由（）可知，當0t 時，( )f x在0,2t內的單調遞減，在,2t內單調遞增，以下分兩種情況討論： （1）當1,22tt即時，( )f x在（0，1）內單調遞減， 2(0)10,(1)643644230.ftftt 所以對任意2,),( )tf x在區(qū)間（0，1）內均存在零點。 （2）當01,022tt即時，( )f x在0,2t內單調遞減，在,12t內單調遞增，若33177(0,1,10.244tfttt 2(1)

12、643643230.fttttt 所以( ),12tf x在內存在零點。 若3377(1,2),110.244ttfttt (0)10ft 無 所以( )0,2tf x在內存在零點。 所以，對任意(0,2),( )tf x在區(qū)間（0，1）內均存在零點。 綜上，對任意(0,),( )tf x在區(qū)間（0，1）內均存在零點。 10.（1616 分）分）若函數(shù))(xfy 在0 xx 處取得極大值或極小值，則稱0 x為函數(shù))(xfy 的極值點。 已知ab，是實數(shù)，1 和1是函數(shù)32( )f xxaxbx的兩個極值點 （1）求a和b的值； （2）設函數(shù)( )g x的導函數(shù)( )( )2g xf x，求(

13、)g x的極值點； （3）設( )( ( )h xf f xc，其中 22c ，求函數(shù)( )yh x的零點個數(shù) 【答案】【答案】解： （1）由32( )f xxaxbx，得2( )32f xxaxb。 1 和1是函數(shù)32( )f xxaxbx的兩個極值點， (1)32=0fab，( 1)32=0fab，解得=3ab 0，。 （2） 由（1）得，3( )3f xxx ， 23( )( )2=32=12g xf xxxxx，解得123=1=2xxx，。 當2x時，( )0g x ；當21 x， =2x是( )g x的極值點。 當21 x時，( )0g x ， =1x不是( )g x的極值點。 (

14、)g x的極值點是2。 （3）令( )=f xt，則( )( )h xf tc。 先討論關于x 的方程( )=f xd 根的情況：2, 2d 當=2d時，由（2 ）可知，( )=2f x的兩個不同的根為 I 和一 2 ，注意到( )f x是奇函數(shù)，( )=2f x的兩個不同的根為一和 2。 當2d ，(1)= ( 2)=20fd fdd ，于是( )f x是單調增函數(shù)，從而( )(2)=2f x f。 此時( )=f xd在2 ，無實根。 當1 2x ，時( )0f x ，于是( )f x是單調增函數(shù)。 又(1)0fd ，= ( )y f xd的圖象不間斷， ( )=f xd 在（1 , 2

15、）內有唯一實根。 同理，( )=f xd在（一 2 ，一 I ）內有唯一實根。 當1 1x ，時，( )0f x ， (1)0fd ，= ( )y f xd的圖象不間斷， ( )=f xd在（一 1，1 ）內有唯一實根。 因此，當=2d時，( )=f xd有兩個不同的根12xx，滿足12=1 =2xx，；當2d 時 ( )=f xd有三個不同的根315xxx， ，滿足2 =3, 4, 5ix i，。 現(xiàn)考慮函數(shù)( )yh x的零點： ( i ）當=2c時，( )=f tc有兩個根12tt，滿足12=2tt1，。 而1( )=f xt有三個不同的根，2( )=f xt有兩個不同的根，故( )yh

16、 x有 5 個零點。 ( 11 ）當2c 時，( )=f tc有三個不同的根345ttt， ，滿足2 =3, 4, 5it i，。 而 =3,( ) 4, = 5if xti有三個不同的根，故( )yh x有 9 個零點。 綜上所述， 當=2c時， 函數(shù)( )yh x有5 個零點； 當2c 時， 函數(shù)( )yh x有 9 個零點。 【考點】【考點】函數(shù)的概念和性質，導數(shù)的應用。 【解析】【解析】 （1）求出)(xfy 的導數(shù)，根據(jù) 1 和1是函數(shù))(xfy 的兩個極值點代入列方程組求解即可。 （2）由（1）得，3( )3f xxx，求出( )g x，令( )=0g x，求解討論即可。 （3）比

17、較復雜，先分=2d和2d 討論關于x 的方程( )=f xd 根的情況；再考無 慮函數(shù)( )yh x的零點。 13.（本小題滿分 14 分） 已知函數(shù)3( )sin(),2f xaxxaR且在, 0,2上的最大值為32， （1）求函數(shù) f(x)的解析式； (2)判斷函數(shù) f(x)在（0，）內的零點個數(shù)，并加以證明。 考點：考點：導數(shù)，函數(shù)與方程。 難度：難度：難。 分析：分析：本題考查的知識點為導數(shù)的計算，利用函數(shù)與方程的思想解決根個數(shù)的問題。 解答：解答： （I）33( )sin22f xaxx在2, 0上恒成立，且能取到等號 ( )sin2g xxxa在2, 0上恒成立，且能取到等號 ma

18、x( )2g xa ( )sincos0( )g xxxxyg x在2, 0上單調遞增 ()1222gaa3( )sin2f xxx（lfxlby） （II）3( )sin( )( )sincos2f xxxh xfxxxx 當x2, 0時，( )0( )fxyf x在(0,2上單調遞增 33(0) ()0( )222ffyf x 在(0,2上有唯一零點 當x, 2時，( )2cossin0( )h xxxxfx當x, 2上單調遞減 2( ) ()022ff 存在唯一0(, )2x使0()0fx 00( )0,( )02fxxxfxxx 得：( )f x在0,)2x上單調遞增，0(, x上單調

19、遞減 3()0,( )022ff 得：x0,2x時，( )0f x ， x0, x時，0() ( )0f xf，( )yf x在0, x上有唯一零點 無 由得：函數(shù))(xf在), 0(內有兩個零點。 1已知函數(shù)( )e ,xf xxR. () 求f(x)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(1,0)處的切線方程; () 證明: 曲線y = f (x) 與曲線2112yxx有唯一公共點. () 設ab, 比較2abf與( )( )f bf aba的大小, 并說明理由. 【答案】解:() f (x)的反函數(shù)xxgln)(,則 y=g(x)過點(1,0)的切線斜率k=(1)g. 1(1)gx1(x)gk.過點(

20、1,0)的切線方程為:y = x+ 1 () 證明曲線 y=f(x)與曲線1212xxy有唯一公共點,過程如下. 則令, 121121)()(22Rxxxexxxfxhx 0)0( ,0)0( 0)0(, 1)( )( , 1)( hhhexhxhxexhxx，且的導數(shù)此,單調遞增時當單調遞減時當)( 0)( 0;)( 0)( 0 xhyxhxxhyxhx0)(, 0)0( )( xRxhyhxhy個零點上單調遞增，最多有一在所以 所以,曲線 y=f(x)與曲線1212xxy只有唯一公共點(0,1).(證畢) () 設)(2)()2()()2()()(2)()(abbfabafababafbf

21、bfaf aabbaeabeabababeabeab)(2)2()2()(2)2()2( 令xxxexexxgxexxxg) 1(1)21 (1)( , 0,)2(2)(則. ）上單調遞增，在（的導函數(shù)0)( 所以, 0) 11 ()( )( xgexexxgxgxx,且, 0)0(,), 0()(0)( . 0)0( gxgxgg而上單調遞增在，因此 0)(), 0(xg上所以在. 無 ,0)2(2)(0baexxxgxx且時，當 0)(2)2()2(aabeabeabab 所以abafbfbfaf)()(2)()(,b421bbb , (0)1fb , 所以存在1( 2 ,0)xb ,2(

22、0,2 )xb,使得12( )()f xf xb. 由于函數(shù)( )f x在區(qū)間(,0)和(0,)上均單調,所以當1b 時曲線( )yf x與直線yb有且只有兩個不同交點. 無 綜上可知,如果曲線( )yf x與直線yb有且只有兩個不同交點,那么b的取值范圍是(1,). 已知函數(shù)( )1xaf xxe (aR,e為自然對數(shù)的底數(shù)). (1)若曲線( )yf x在點(1,(1)f處的切線平行于x軸,求a的值; (2)求函數(shù)( )f x的極值; (3)當1a 的值時,若直線:1l ykx與曲線( )yf x沒有公共點,求k的最大值. 【答案】解:()由 1xaf xxe ,得 1xafxe . 又曲線 yf x在點 1,1f處的切線平行于x軸, 得 10f ,即10ae,解得ae. () 1xafxe , 當0a 時, 0fx, f x為, 上的增函數(shù),所以函數(shù) f