五空間角和距離

1、空間角和距離知識要點:1兩條異面直線所成的角：經(jīng)過平行移動轉(zhuǎn)化為相交直線，解與相交直線有關(guān)的三角形。2 直線與平面所成的角：斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角。3二面角的求法：(1 )定義法：(2)三垂線法：(3)射影面積法點面距離 u線面距離 =面面距離5 思想方法：(I)平面幾何意識：中線、中位線意識；平行四邊形或矩形的對角線意識；重心、垂心 意識。(II)幾何體的割補意識題例1.已知二面角二-I -】的大小為60,m、n為異面直線，且m_：- , n_ :，則m n1234A.-B CD 55553若條直線與個正四棱柱各個面所成的角都為:-,則 COS：與ADi所成角的余弦值為()4 .如圖

2、，A、B、C是表面積為 48 n的球面上三點， AB=2 , BC=4，/ ABC=60 , O為球心，則直線 OA與截面ABC所成的角是()所成的角為(A) 30(B) 60(C) 90( D) 1202.如圖，正四棱柱ABCD-ABQQ中，AA( =2AB ,則異面直線A(B5設M N是直角梯形 ABC兩腰的中點,DEL AB于 E(如圖)現(xiàn)將 ADE沿 DE折起，使二面角A- DIB為45此時點A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點 B,則M N的連線與AE所成角的大小等于(A)( B)( C)蘭(D) 、34247正三棱錐P - ABC高為2，側(cè)棱與底面所成角為45；，則點A到側(cè)面PBC的距離

3、是.&已知平面a /平面3，直線 ma，直線n B ,點A m,點B n,記點A、B之間的距 離為a,點A到直線n的距離為b,直線m和n的距離為c,則A. b a cB.a cbC. c a bD. c b ,(II12.irf所以 cos v - cos ： n , BO-i = n BO1 門| |BO； |: 即二面角O ACO的大小是arccos .4解法二（I ）證明 由題設知 OAL OO, OBL OO, 所以/ AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OAL OB.從而AOL平面 OBCQOC是 AC在面OBCC內(nèi)的射影因為 tan . OOiB,34匹=3 tan. QOCOO

4、iOO，/ OOC=30，從而 Od BO AC丄 BO.所以/ OOB=60由三垂線定理得）解 由（I ） Ad BO, OCX BO,知 BO丄平面 AOC.設O6 OB=E，過點E作EF丄AC于F,連結(jié) OF （如圖4）,貝U EF是OF在平面 AOC 內(nèi)的射影，由三垂線定理得 OF丄AC.所以/ OFE是二面角 O AC O的平面角.由題設知 OA=3 OO=J3 , OC=1,所以 OiA= .OA2 OOi2 =2.3, AC從而 OiOiA OiC 2 3AC又 OE=OO sin30二.OiA2 OiC2 二、13 ,.13 ,3,所以 sin OiFE2O1E13OiF4即二

5、面角O ACO的大小是arcsin.4在三棱錐 SABC中， ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC丄平面ABC , SA=SC=2 , 3 , M、N分別為（I）證明：AC丄SB ;（n）求二面角 N CM B的大小；（川）求點B到平面CMN的距離.本小題主要考查直線與直線，直線與平面，二面角，點到平面的距離等基礎知識，考查 空間想象能力和邏輯推理能力 解法一：（I）取AC中點D，連結(jié)SD、DB./ SA=SC , AB=BC , AC 丄 SD 且 AC 丄 BD , AC 丄平面 SDB，又 SB 二平面 SDB , AC 丄 SB.（n）v AC 丄平面 SDB , AC 平面 ABC

6、 ,平面SDB丄平面ABC.過N作NE丄BD于E, NE丄平面 ABC ,過E作EF丄CM于F,連結(jié) NF，貝U NF丄CM./ NFE為二面角 N CM B的平面角.平面SAC丄平面 ABC , SD丄AC , SD丄平面 ABC. 又 NE 丄平面 ABC , NE / SD.解: SN=NB, NE=SD= 1 - SA - AD2 =丄 12-4= 2,且 ED=EB.2 2 211在正 ABC中，由平幾知識可求得 EF= MB= ,42在 Rt NEF 中，tan/ NFE=ENEF=2 i 2，二二面角N CM B 的大小是 arctan2 . 2 .(川)在 Rt NEF 中，N

7、F=2 c13廠1廠Sa CMN =3 , SaBM CM=2 . 3 .22 2設點B到平面CMN的距離為h,-V b-cmn =VN-CMB , NE 丄平面.1 1CMB，一SaCMN h= SaCMB NE , 33442的距離為 一3. h=SCMB NE = 2 .即點Scmn 3解法二：(I)取AC中點O ,連結(jié)OS、/ SA=SC , AB=BC , AC 丄 SO 且 AC 丄 BO.平面SAC丄平面 ABC ,平面 SAC門平面 ABC=AC SO丄面 ABC , SO 丄 BO.如圖所示建立空間直角坐標系B到平面CMNOB.則 A (2 , 0 , 0), B ( 0 ,

8、 2、.3, 0)S ( 0 , 0 , 2 2 ) , M(1 ,3 , 0), AC = ( 4 , 0 , 0), AC SB= (-4, 0, 0) (0, AC 丄 SB.SB= (0 , 2 3 , 2 ,2 ),2 3, 2 .2 ) =0 ,()由(I)得 CM = (3, 3 , 0), MN = ( J, 0, 平面CMN的一個法向量，.設 n=（x，y, z）為O xyz.,C ( 2, 0, 0),N(0 , &3 , V2 ).CM n=3x+ 3 y=0 ,則取 z=1,則 x= J2 , y=- J6 ,V MN n= x+ V2 z=0 , n=( *2 , -

9、 J6 , 1),又OS=(0 , 0 , 2.、2)為平面ABC的一個法向量, cos(n,OS)=n OS 1|n | |OS| 31二面角 N CM B的大小為arccos-3(川)由(I)(n)得 MB= ( 1,3, 0), n= ( . 2 , . 6 ,1）為平面CMN的一個法向量，點B到平面CMN的距離d= ! n MB |=4-2|n|313如圖，在長方體ABCDAB1C1D1中，E、F分別是棱BC , CC1 才門上的點，CF =AB=2CE , AB:AD: AA =1：2: 4(1) 求異面直線EF與AD所成角的余弦值;(2) 證明AF丄平面 AED(3) 求二面角 A

10、 - ED _ F的正弦值。解：本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識， 考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理 論證能力。方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點，設 AB=1,依題意得D(0,2,0),f 3)F(1,2,1), A(0,0,4), E .1,-,0 I(1) 解：易得eF，AD = (0,2, -4)是 cos： EF, ADAEF A1DEF A1DI 2丿所以異面直線EF與AD所成角的余弦值為(2)證明：已知芽=(121),吐(31 .-1,一，4,ED=-1- ,0I2丿1 2丿是 AF EA=0

11、, AF ED=0.因此，AF 丄 EA, AF 丄 ED ,又 EA c ED = E1c2丄1_x 一 y = 02所以AF丄平面AED(3)解：設平面EFD的法向量t(x,y,z)，則 云。,即；uED = 0TT不妨令X=1,可得u =(1,2-1)。由(2)可知，AF為平面A1ED的一個法向量。于是 cos： u，AF；=匸斫=|，從而 sin： u,AF: = fU|AF| 3、/ 3所以二面角A1-ED-F的正弦值為三31方法二：（1）解：設 AB=1,可得 AD=2,AA=4,CF=1.CE= 2鏈接BiC,BCi，設BiC與BG交于點 M,易知CE CF 1AD/ BQ,由匚

12、= =_,可知 EF/ BC.故CBCC1 4-BMC是異面直線EF與AD所成ABM=CM= BQ二、52BM 2 +CM -BC 2 3c NBMC =s-：2BM LCM2,所以異面直線5FE3與AD所成角的余弦值為357/ 1(2)證明：連接AC,設AC與 DE交點N因為EC -AB所以 Rt DCE L Rt CBA，從而 CDECDBC-ZBCA ,1?2又由于.CDE . CED =90 ,所以EBCA CED =90，故 ACL DE,又因為 CC丄 DE且 CG AC = C ,所以 DE丄平面 ACF,從而AFL DE.連接BF,同理可證 BQ丄平面ABF,從而AFL BQ,

13、所以AFL AD因為DE AD = D所以AF丄平面AED解：連接 AN.FN,由(2)可知DE!平面ACF,又NF 平面ACF, A1N 平面 ACF,所以DE丄NF,DELA1N,故 NANF 為二面角 A-ED-F的平面角易知 Rt，C N_E . Rt C B所 以空BC匚c_盂,又 AC-5所以CN二4. 305Rt NCF 中,NF 二 一 CF2 CN2 工30 在 Rl_ A1AN 中 NA = A, A2 AN 25連接 AQ,A1F 在 RMA1C1F中，RF hjAC/ +GF2 = J142AN FN在 Rt ANF 中，cos ANF 二型 用。所以 sin. ANF

14、 533所以二面角A-DE-F正弦值為空314如圖，在三棱錐 P- ABC中, AB丄BC AB= BC= kPA 點 O D 分別是AC PC的中點，OPL底面ABC(I )求證：OD平面PAB ;1(II) 當k=時，求直線PA與平面PBC所成角的大??；2(III) 當k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為 PBC的重心? 本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運算等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力+解：方法一：(I ) TO、D 分別為 AC、PC 中點，.OD/ PA 又PA 平面PAB ,. OD /平面PABrE B(n )： AB _ BC, OA =OC,OA

15、=OB=OC,又 T OP _平面 ABC , . PA=PB=PC.取BC中點E,連結(jié)PE,則BC _平面POE作OF _PE于F，連結(jié)DF，貝U OF _平面PBC -ZODF是OD與平面PBC所成的角.又 OD / PA , PA與平面PBC所成的角的大小等于 ODF ,在 Rt ODF 中,sin. ODF 二匹 ODJ210PA與平面PBC所成的角為arcsin .30(川)由(n )知，OF _平面PBC , F是O在平面PBC內(nèi)的射影./ D是PC的中點，若點F是 PBC的重心，則B, F, D三點共線，直線OB在平面PBC內(nèi)的射影為直線 BD ,Tob_pc, pc_bd, P

16、B 二 PC，即 k=1.反之，當k =1時，三棱錐O -PBC為正三棱錐， O在平面PBC內(nèi)的射影為APBC的重心、方法二：Top _平面ABC , OA=OC,AB 二 BC ,OA _OB,OA _OP,OB _OP.以O為原點，射線 OP為非負z軸，建立空間直角坐標系設 AB=a,則 A a,0,012,B,0,0AICBppXA設 OP 二 h，則 P 0,0,h(I )TD為PC的中點，T f 1 二 OD = a,0, h :I 42丿OD / 平面 PABT (暑，又 PA= i a,0, h , I 2 丿TOD丄 PA, OD / PA ,2(口 )；丄，即 PA=2a,Z

17、UN2V2i 2*J7設PA與平面PBC所成的角為二，貝U可求得平面PBC的法向量n =、:2i0,，跡昆匸冊n|30210 sin v cos PA, n | =30rjia7i6 6lt占,OG _ 平面 PBC, OG _ PB ,T 72、 T T又 PB=O,二a,，”；OG，PB=aI 2-(川):PBC的重心G6 . 63,1 Oh2. h，a ,632PA OA h a，即k 1,反之，當k = 1時，三棱錐O - PBC為正三棱錐，O在平面PBC內(nèi)的射影為.IPBC的重心*15.如圖，在長方體 ABCD AiBiCiDi，中，AD=AA i=1, AB=2，點E在棱AD上移動

18、.(1)(2)證明：DiE丄AiD;當E為AB的中點時，求點 E到面ACDi的距離；(3)(2)設點 E 到面 ACDi 的距離為 在厶 ACDi 中，AC=CD i= .、5 , ADi=2 ,AE等于何值時，二面角 Di EC D的大小為一.4故 S.adq113 古11-2 . 5,而S ace AE BC .2 224Sadic h,21-3 S AEC DD 11 31二-匯 1 =漢 h,.h =.2 23(3)過 D 作 DH 丄 CE 于 H,連 DiH、DE，貝U DiH 丄CE , / DHD i為二面角 Di EC D的平面角.設 AE=x，貝U BE=2 x-V D1 -AEC,AD1C兀,DH -1.4在 Rt ADE 中,DE = 1 x2,在 Rt DHE 中,EH =x,在Rt DDH 中,DHDi在Rt. ：DHC 中CH = .3,在Rt. CBE中 CE 二.x4x 5.x , 3 = x2 - 4x 5 二 x = 2 -