汽車有限元課件第一章

1、有限元分析有限元分析主講：胡習之主講：胡習之第一章第一章 彈性力學簡介彈性力學簡介1-1 材料力學與彈性力學材料力學與彈性力學1-2 應力的概念應力的概念1-3 位移及應變，幾何方程，剛體位移位移及應變，幾何方程，剛體位移1-4 應力應變關系，物理方程應力應變關系，物理方程1-5 虛功原理及虛功方程虛功原理及虛功方程1-6 兩種平面問題兩種平面問題1-1 材料力學與彈性力學材料力學與彈性力學 有限單元法有限單元法 本課程中所指的是有限單元法在彈本課程中所指的是有限單元法在彈性力學問題中的應用。因此要用到彈性力性力學問題中的應用。因此要用到彈性力學的某些基本概念和基本方程。本章將簡學的某些基本概

2、念和基本方程。本章將簡單介紹這些概念和方程，作為彈性力學有單介紹這些概念和方程，作為彈性力學有限單元法的預備知識。限單元法的預備知識。彈性力學彈性力學 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 材料力學材料力學 1、研究的內(nèi)容：研究的內(nèi)容：基本上沒有什么區(qū)別?；旧蠜]有什么區(qū)別。 彈性力學也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運彈性力學也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運動，以及由此產(chǎn)生的應力和變形。動，以及由此產(chǎn)生的應力和變形。2、研究的對象：研究的對象：有相同也有區(qū)別。有相同也有區(qū)別。 材料力學基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構件，材料力學基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構件，即長度遠大于寬度和厚度的構件。彈性力

3、學雖然也研究即長度遠大于寬度和厚度的構件。彈性力學雖然也研究桿狀構件，但還研究材料力學無法研究的板與殼及其它桿狀構件，但還研究材料力學無法研究的板與殼及其它實體結構，即兩個尺寸遠大于第三個尺寸，或三個尺寸實體結構，即兩個尺寸遠大于第三個尺寸，或三個尺寸相當?shù)臉嫾?。相當?shù)臉嫾?。彈性力學彈性力學 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 材料力學材料力學 3、研究的方法：研究的方法：有較大的區(qū)別。有較大的區(qū)別。 雖然都從靜力學、幾何學與物理學三方面進行研究，雖然都從靜力學、幾何學與物理學三方面進行研究，但是在建立這三方面條件時，采用了不同的分析方法。但是在建立這三方面條件時，采用了不同的分析方法。材料力學是對構件的整

4、個截面來建立這些條件的，因而材料力學是對構件的整個截面來建立這些條件的，因而要常常引用一些截面的變形狀況或應力情況的假設。這要常常引用一些截面的變形狀況或應力情況的假設。這樣雖然大大簡化了數(shù)學推演，但是得出的結果往往是近樣雖然大大簡化了數(shù)學推演，但是得出的結果往往是近似的，而不是精確的。而彈性力學是對構件的無限小單似的，而不是精確的。而彈性力學是對構件的無限小單元體來建立這些條件的，因而無須引用那些假設，分析元體來建立這些條件的，因而無須引用那些假設，分析的方法比較嚴密，得出的結論也比較精確。所以，我們的方法比較嚴密，得出的結論也比較精確。所以，我們可以用彈性力學的解答來估計材料力學解答的精確

5、程度，可以用彈性力學的解答來估計材料力學解答的精確程度，并確定它們的適用范圍。并確定它們的適用范圍。材料力學材料力學 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 彈性力學彈性力學x xq qy yx圖 1-1ax xq qy yx0 0圖 1-1b材料力學材料力學 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 彈性力學彈性力學x xq qy yx圖 1-2ayx xq qy yy圖 1-2bqyxxq圖 1-2c材料力學材料力學 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 彈性力學彈性力學圖 1-3a圖 1-3b彈性力學彈性力學 區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別與聯(lián)系 材料力學材料力學 總之，彈性力學與材料力學既有聯(lián)系又有區(qū)別。總之，彈性力學與材料力學既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同

6、屬于固體力學領域，但彈性力學比材料力學，它們都同屬于固體力學領域，但彈性力學比材料力學，研究的對象更普遍，分析的方法更嚴密，研究的結果研究的對象更普遍，分析的方法更嚴密，研究的結果更精確，因而應用的范圍更廣泛更精確，因而應用的范圍更廣泛。 但是，彈性力學也有其固有的弱點。由于研究對但是，彈性力學也有其固有的弱點。由于研究對象的變形狀態(tài)較復雜，處理的方法又較嚴謹，因而解象的變形狀態(tài)較復雜，處理的方法又較嚴謹，因而解算問題時，往往需要冗長的數(shù)學運算。但為了簡化計算問題時，往往需要冗長的數(shù)學運算。但為了簡化計算，便于數(shù)學處理，它仍然保留了材料力學中關于材算，便于數(shù)學處理，它仍然保留了材料力學中關于材

7、料性質(zhì)的假定：料性質(zhì)的假定：彈性力學中關于材料性質(zhì)的假定彈性力學中關于材料性質(zhì)的假定 (1) 物體是連續(xù)的，物體是連續(xù)的，亦即物體整個體積內(nèi)部被組成這種物體亦即物體整個體積內(nèi)部被組成這種物體的介質(zhì)填滿，不留任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如的介質(zhì)填滿，不留任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如應力、應變、位移等等才可以用座標的連續(xù)函數(shù)來表示。應力、應變、位移等等才可以用座標的連續(xù)函數(shù)來表示。(2) 物體是完全彈性的，物體是完全彈性的，亦即當使物體產(chǎn)生變形的外力被除亦即當使物體產(chǎn)生變形的外力被除去以后，物體能夠完全恢復原形，而不留任何殘余變形。這樣，去以后，物體能夠完全恢復原形，而不留任何殘

8、余變形。這樣，當溫度不變時，物體在任一瞬時的形狀完全決定于它在這一瞬當溫度不變時，物體在任一瞬時的形狀完全決定于它在這一瞬時所受的外力，與它過去的受力情況無關。時所受的外力，與它過去的受力情況無關。(3) 物體是均勻的，物體是均勻的，也就是說整個物體是由同一種材料組成也就是說整個物體是由同一種材料組成的。這樣，整個物體的所有各部分才具有相同的物理性質(zhì)，因的。這樣，整個物體的所有各部分才具有相同的物理性質(zhì)，因而物體的彈性常數(shù)而物體的彈性常數(shù)(彈性模量和波桑系數(shù)彈性模量和波桑系數(shù))才不隨位置座標而變。才不隨位置座標而變。彈性力學中關于材料性質(zhì)的假定彈性力學中關于材料性質(zhì)的假定(4) 物體是各向同性

9、的，物體是各向同性的，也就是說物體內(nèi)每一點各個不同方也就是說物體內(nèi)每一點各個不同方向的物理性質(zhì)和機械性質(zhì)都是相同的。向的物理性質(zhì)和機械性質(zhì)都是相同的。 (5) 物體的變形是微小的，物體的變形是微小的，亦即當物體受力以后，整個物亦即當物體受力以后，整個物體所有各點的位移都遠小于物體的原有尺寸，因而應變和轉(zhuǎn)角體所有各點的位移都遠小于物體的原有尺寸，因而應變和轉(zhuǎn)角都遠小于都遠小于1，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時，可以，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時，可以用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致有顯著的誤差；用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時，

10、應變和轉(zhuǎn)角的平方項或乘積項都并且，在考慮物體的變形時，應變和轉(zhuǎn)角的平方項或乘積項都可以略去不計，這就使得彈性力學中的微分方程都成為線性方可以略去不計，這就使得彈性力學中的微分方程都成為線性方程。程。1-2 應力的概念應力的概念 作用于彈性體的外力作用于彈性體的外力(或稱荷載或稱荷載)可能有兩種：可能有兩種： 表面力，表面力，是分布于物體表面的力，如靜水是分布于物體表面的力，如靜水壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。單位壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。單位面積上的表面力通常分解為平行于座標軸的三個成面積上的表面力通常分解為平行于座標軸的三個成分，用記號分，用記號 來表示。來表示。 體

11、力，體力，是分布于物體體積內(nèi)的外力，如重力、是分布于物體體積內(nèi)的外力，如重力、磁力、慣性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三磁力、慣性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三個成分，用記號個成分，用記號X、Y、Z表示。表示。彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應力。彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應力。、1-2 應力的概念應力的概念彈性體內(nèi)微小的平行六面體彈性體內(nèi)微小的平行六面體PABC，稱為體素稱為體素PA=dx,PB=dy,PC=dz正應力正應力剪應力剪應力圖 1-4每一個面上的應力每一個面上的應力分解為一個正應力分解為一個正應力和兩個剪應力，分和兩個剪應力，分別與三個坐標軸平別與三個坐標軸平行行1-2

12、應力的概念應力的概念為了表明這個正應力的作用面和作用方向，加上一為了表明這個正應力的作用面和作用方向，加上一個角碼，例如，正應力個角碼，例如，正應力 是作用在垂直于是作用在垂直于x軸的面軸的面上同時也沿著上同時也沿著X軸方向作用的。軸方向作用的。x正應力正應力xy加上兩個角碼，前一個角碼表明作用面垂直于哪一加上兩個角碼，前一個角碼表明作用面垂直于哪一個坐標軸，后一個角碼表明作用方向沿著哪一個坐個坐標軸，后一個角碼表明作用方向沿著哪一個坐標軸。例如，剪應力標軸。例如，剪應力 是作用在垂直于是作用在垂直于X軸的面軸的面上而沿著上而沿著y軸方向作用的。軸方向作用的。剪應力剪應力1-2 應力的概念應力

13、的概念應力的正負應力的正負 如果某一個面上的外法線是沿著坐標軸的正方如果某一個面上的外法線是沿著坐標軸的正方向，這個面上的應力就以沿坐標軸正方向為正，沿向，這個面上的應力就以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。坐標軸負方向為負。 相反，如果某一個面上的外法線是沿著坐標軸相反，如果某一個面上的外法線是沿著坐標軸的負方向，這個面上的應力就以沿坐標軸的負方向的負方向，這個面上的應力就以沿坐標軸的負方向為正，沿坐標軸正方向為負。為正，沿坐標軸正方向為負。1-2 應力的概念應力的概念剪應力互等定律剪應力互等定律 作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪

14、應力是互等的。交線的剪應力是互等的。(大小相等，正負號也相大小相等，正負號也相同同)。因此剪應力記號的兩個角碼可以對調(diào)。因此剪應力記號的兩個角碼可以對調(diào)。由力矩平衡得出由力矩平衡得出02222dZdXdydydXdZzyyz簡化得簡化得zyyz1)-(1 xzzxzyyzyxxy，剪應力互等剪應力互等應力分量應力分量 可以證明：如果可以證明：如果 這六個量這六個量在在P點是已知的，就可以求得經(jīng)過該點的任何面上的正應力點是已知的，就可以求得經(jīng)過該點的任何面上的正應力和剪應力，因此，這六個量可以完全確定該點的應力狀態(tài)，和剪應力，因此，這六個量可以完全確定該點的應力狀態(tài)，它們就稱為在該點的它們就稱為

15、在該點的應力分量應力分量。 一般說來，彈性體內(nèi)各點的應力狀態(tài)都不相同，因此，一般說來，彈性體內(nèi)各點的應力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應力狀態(tài)的上述六個應力分量并不是常量，描述彈性體內(nèi)應力狀態(tài)的上述六個應力分量并不是常量，而是坐標而是坐標x、y、z的函數(shù)。的函數(shù)。六個應力分量的總體，可以用一個列矩陣六個應力分量的總體，可以用一個列矩陣 來表示：來表示：zxyzxyzyx、 2)-(1 Tzxyzxyzyxzxyzxyzyx1-3 位移及應變、幾何方程、剛體位移位移及應變、幾何方程、剛體位移 彈性體在受外力以后，還將發(fā)生彈性體在受外力以后，還將發(fā)生變形變形。物體的變。物體的變形狀態(tài)，一般有兩種

16、方式來描述：形狀態(tài)，一般有兩種方式來描述： 1、給出、給出各點的位移各點的位移；2、給出、給出各體素的變形各體素的變形。 彈性體內(nèi)任一點的彈性體內(nèi)任一點的位移位移，用此位移在，用此位移在x、y、z三三個坐標軸上的投影個坐標軸上的投影u、v、w來表示。以沿坐標軸正方來表示。以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。這三個投影稱為向為正，沿坐標軸負方向為負。這三個投影稱為位移位移分量分量。一般情況下，彈性體受力以后，各點的位移并。一般情況下，彈性體受力以后，各點的位移并不是定值，而是坐標的函數(shù)。不是定值，而是坐標的函數(shù)。應應 變變 體素的變形可以分為兩類：體素的變形可以分為兩類： 一類是長度的變化

17、，一類是角度的變化。一類是長度的變化，一類是角度的變化。 任一線素的長度的變化與原有長度的比值稱為任一線素的長度的變化與原有長度的比值稱為線應變線應變(或稱或稱正應變正應變)，用符號，用符號 來表示。沿坐標軸的線應變，則加上相應來表示。沿坐標軸的線應變，則加上相應的角碼，分別用的角碼，分別用 來表示。當線素伸長時，其線應變?yōu)閬肀硎尽．斁€素伸長時，其線應變?yōu)檎７粗?，線素縮短時，其線應變?yōu)樨摗＿@與正應力的正負號正。反之，線素縮短時，其線應變?yōu)樨摗＿@與正應力的正負號規(guī)定相對應。規(guī)定相對應。 任意兩個原來彼此正交的線素，在變形后其夾角的變化值稱任意兩個原來彼此正交的線素，在變形后其夾角的變化值稱為為

18、角應變或剪應變角應變或剪應變，用符號，用符號 來表示。兩坐標軸之間的角應變，來表示。兩坐標軸之間的角應變，則加上相應的角碼，分別用則加上相應的角碼，分別用 來表示。規(guī)定當夾角變來表示。規(guī)定當夾角變小時為正，變大時為負，與剪應力的正負號規(guī)定相對應小時為正，變大時為負，與剪應力的正負號規(guī)定相對應(正的正的 引起正的引起正的 ，等等，等等)。zyx、zxyzxy、xyxyvudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0圖 1-5應變分量與位移分量的關系應變分量與位移分量的關系A點在點在X方向的位移分量方向的位移分量為為u；B點在點在X方向的

19、位移：方向的位移：ABCD-ABCD求線素求線素AB、AD的正應變的正應變 ，用位移分量來表示：，用位移分量來表示：yx、dxxuuuu線素線素AB的正應變?yōu)椋旱恼龖優(yōu)椋簒udxudxxuux)(同理，同理，AD的正應變?yōu)椋旱恼龖優(yōu)椋簓vdyvdyyvvy)(vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0圖 1-5應變分量與位移分量的關系應變分量與位移分量的關系X向線素向線素AB的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 Y向線素向線素AD的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角求剪應變求剪應變 ，也就是線素，也就是線素AB與與AD之間的直角的改變之間的直角的改變線素線素AB的轉(zhuǎn)角為：

20、的轉(zhuǎn)角為：xyA點在點在Y方向的位移分量方向的位移分量為為v；B點在點在Y方向的位移分量：方向的位移分量：dxxvvBABBtg xuxvdxxudxvdxxvv1)(vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0圖 1-5應變分量與位移分量的關系應變分量與位移分量的關系X向線素向線素AB的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 Y向線素向線素AD的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角求剪應變求剪應變 ，也就是線素，也就是線素AB與與AD之間的直角的改變之間的直角的改變同理，同理，Y向線素向線素AD的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角xy由于變形是微小的，所由于變形是微小的，所以上式可將比單位值小以上式可將比

21、單位值小得多的得多的 略去，得略去，得xuxvyu因此，剪應變?yōu)椋阂虼?，剪應變?yōu)椋簓uxvxy應變分量與位移分量的關系應變分量與位移分量的關系以上是考察了體素在以上是考察了體素在XOY一個平面內(nèi)的變形情況，一個平面內(nèi)的變形情況，yuxvxyxuxyvy同樣方法來考察體素在同樣方法來考察體素在XOZ和和YOZ平面內(nèi)的變形平面內(nèi)的變形情況，可得：情況，可得：zuxwywzvzwzxyzz，聯(lián)立得到聯(lián)立得到幾何方程幾何方程，表明應變分量與位移分量之間，表明應變分量與位移分量之間的關系。的關系。1)-3-(1 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx，應變分量矩陣應變分量矩陣 可以證明，

22、如果彈性體內(nèi)任一點，已知這三個垂直方可以證明，如果彈性體內(nèi)任一點，已知這三個垂直方向的正應變及其相應的三個剪應變，則該點任意方向的正向的正應變及其相應的三個剪應變，則該點任意方向的正應變和任意二垂直線間的剪應變均可求出，當然也可求出應變和任意二垂直線間的剪應變均可求出，當然也可求出它的最大和最小正應變。因此，這六個量可以完全確定該它的最大和最小正應變。因此，這六個量可以完全確定該點的應變分量，它們就稱為該點的點的應變分量，它們就稱為該點的應變分量應變分量。 六個應變分量的總體，可以用一個列矩陣六個應變分量的總體，可以用一個列矩陣 來表示：來表示： 2)-3-(1 Tzxyzxyzyxzxyzx

23、yzyx剛體位移剛體位移 由幾何方程由幾何方程(1-3)可見，當彈性體的位移分量完全確定可見，當彈性體的位移分量完全確定時，應變分量是完全確定的。反過來，當應變分量完全確時，應變分量是完全確定的。反過來，當應變分量完全確定時，位移分量卻不完全確定；這是因為，具有確定形狀定時，位移分量卻不完全確定；這是因為，具有確定形狀的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。為了說明這一點，試的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。為了說明這一點，試在在(1-3)中命：中命：有：有：積分后，得積分后，得式中的式中的 是積分常數(shù)是積分常數(shù)0zxyzxyzyx000000yuxwxwzvzvyuzwyvxu，4)-(1 000 x

24、ywwzxvvyzuuyxxzzy、zyxwvu000積分常數(shù)的幾何意義積分常數(shù)的幾何意義r rx xy yo oz zx xy yP Pxzyz圖 1-64)-(1 000 xywwzxvvyzuuyxxzzy 代表彈性體沿代表彈性體沿x方向的剛方向的剛體移動。體移動。 及及 分別代表分別代表彈性體沿彈性體沿y方向及方向及Z方向的方向的剛體移動。剛體移動。0u0v0w 代表彈性體繞代表彈性體繞Z軸的剛軸的剛體轉(zhuǎn)動。同樣，體轉(zhuǎn)動。同樣， 及及 分分別代表彈性體繞別代表彈性體繞x軸及軸及y軸軸的剛體位移。的剛體位移。zxy為了完全確定彈性體的位移，必須有六個適當?shù)募s束條件為了完全確定彈性體的位移

25、，必須有六個適當?shù)募s束條件來確定來確定 這六個剛體位移。這六個剛體位移。zyxwvu、0001-4 應力應變關系，物理方程應力應變關系，物理方程當沿當沿X軸方向的兩個對面受有均勻軸方向的兩個對面受有均勻分布的正應力時，在滿足先前假定分布的正應力時，在滿足先前假定的材料性質(zhì)條件下，正應力不會引的材料性質(zhì)條件下，正應力不會引起角度的任何改變，而其在起角度的任何改變，而其在X方向方向的單位伸長則可表以方程的單位伸長則可表以方程 式中式中E為彈性模量。為彈性模量。彈性體在彈性體在X方向的伸長還伴隨有側(cè)方向的伸長還伴隨有側(cè)向收縮，即在向收縮，即在y和和Z方向的單位縮短方向的單位縮短可表示為：可表示為：式

26、中式中 為波桑系數(shù)。方程為波桑系數(shù)。方程(1-5)和和(1-6)既可用于簡單拉伸，也可用于簡單既可用于簡單拉伸，也可用于簡單壓縮，且在彈性極限之內(nèi)，兩種情壓縮，且在彈性極限之內(nèi)，兩種情況下的彈性模量和波桑系數(shù)相同。況下的彈性模量和波桑系數(shù)相同。 z zy yx x0 0 xxyyzz圖 1-7應力分量與應變分量之間的關系應力分量與應變分量之間的關系-虎克定律虎克定律5)-(1 Exx6)-(1 EExzxy，1-4 應力應變關系，物理方程應力應變關系，物理方程設圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布設圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布的正應力，則合成應變的分量可用的正應力，則合成應變的分量可用(1

27、-5)和和(1-6)式求得。實驗證明，只須將三個應力式求得。實驗證明，只須將三個應力中的每一應力所引起的應變分量疊加，就中的每一應力所引起的應變分量疊加，就得到合成應變的分量。得到合成應變的分量。單位伸長與應力之間的關系完全由兩個物單位伸長與應力之間的關系完全由兩個物理常數(shù)理常數(shù)E及及 所確定。兩個常數(shù)也可用來所確定。兩個常數(shù)也可用來確定剪應力與剪應變之間的關系。確定剪應力與剪應變之間的關系。z zy yx x0 0 xxyyzz圖 1-77)-(1 )(1)(1)(1yxzzzxyyzyxxEEE1-4 應力應變關系，物理方程應力應變關系，物理方程如果彈性體的各面有剪應力作用，如圖如果彈性體

28、的各面有剪應力作用，如圖1-4所示，任何兩坐標軸的夾角的改變僅與平所示，任何兩坐標軸的夾角的改變僅與平行于這兩軸的剪應力分量有關，即得到：行于這兩軸的剪應力分量有關，即得到：式中式中G稱為剪切模量，它與彈性模量稱為剪切模量，它與彈性模量E，波桑系數(shù)波桑系數(shù) 存在如下的關系：存在如下的關系：方程方程(1-7)中的正應變與方程中的正應變與方程(1-8)中的剪應中的剪應變是各自獨立的。因此，由三個正應力分變是各自獨立的。因此，由三個正應力分量與三個剪應力分量引起的一般情形的應量與三個剪應力分量引起的一般情形的應變，可用疊加法求得；即將變，可用疊加法求得；即將(1-7)和和(1-8)的的六個關系式寫在

29、一起，得式六個關系式寫在一起，得式(1-10)，稱為，稱為彈性方程或物理方程，這種空間狀態(tài)的應彈性方程或物理方程，這種空間狀態(tài)的應力應變關系稱為廣義虎克定律。力應變關系稱為廣義虎克定律。圖 1-48)-(1 111zxzxyzyzxyxyGGG，9)-(1 )1(2EGzxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGEEE111)(1)(1)(11-4 應力應變關系，物理方程應力應變關系，物理方程將應變分量表為應力分量的函數(shù)，可稱為物理方程的第一種形式。若將將應變分量表為應力分量的函數(shù)，可稱為物理方程的第一種形式。若將式式(1-10)改寫成應力分量表為應變分量的函數(shù)的形式，并將式改寫成應

30、力分量表為應變分量的函數(shù)的形式，并將式(1-9)代入，代入，可得物理方程的第二種形式：可得物理方程的第二種形式：11)-(1 )1 (2)1 (2)1 (2)11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 ()1 (zxzxyzyzxyxyzyxzzyxyzyxxEEEEEE式式(1-11)可用矩陣的形式表示如下：可用矩陣的形式表示如下：12)-(1 )1 ( 221000000)1 ( 221000000)1 ( 221000000111000111000111)21)(1 ()1 (zxyzxyzyxzxyzxyzyxE式式(1-12)可簡寫為：可簡寫為

31、： 13)-(1 DD稱為稱為彈性矩陣彈性矩陣，它完全決定于彈性常數(shù)，它完全決定于彈性常數(shù)E和和 14)-(1 )1 ( 22100000)1 ( 2210000)1 ( 221000111111)21)(1 ()1 (稱對ED1-5 虛功原理及虛功方程虛功原理及虛功方程圖圖1-8a示一平衡的杠桿，對示一平衡的杠桿，對C點點寫力矩平衡方程：寫力矩平衡方程：圖圖1-8b表示杠桿繞支點表示杠桿繞支點C轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動時的剛體位移圖：的剛體位移圖：綜合可得：綜合可得：即：即：式式(1-15)是以功的形式表述的。是以功的形式表述的。表明：圖表明：圖a的平衡力系在圖的平衡力系在圖b的的位移上作功時，功的總和必

32、須位移上作功時，功的總和必須等于零。這就叫做等于零。這就叫做虛功原理虛功原理。abACB(a)(b)BPAPcRBACBA B A圖 1-8abPPBAabABABBAabPP15)-(1 0BBAAPP虛功原理虛功原理 進一步分析。當杠桿處于平衡狀態(tài)時，進一步分析。當杠桿處于平衡狀態(tài)時， 和和 這兩個位移這兩個位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足斜，一定滿足(1-15)式的關系。式的關系。 將這個客觀存在的關系抽象成一個普遍的原理，去指導分將這個客觀存在的關系抽象成一個普遍的原理，去指導分析和計算結構。析和計

33、算結構。 對于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它對于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，由于是假想，故稱為虛位移故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個虛位移上的總，那么，物體上所有的力在這個虛位移上的總功必定等于零。功必定等于零。這就叫做這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。虛位移原理，也稱虛功原理。在圖在圖1-8a中的中的 和和 所作的功就不是發(fā)生在它本身所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)狀態(tài)a)的位移的位移上，上，(因為它本身是平衡的，不存在位移因為它本身是平衡的，不存在位移)

34、，而是在狀態(tài)，而是在狀態(tài)(b)的的位移上作的功?？梢姡@個位移對于狀態(tài)位移上作的功?？梢?，這個位移對于狀態(tài)(a)來說就是虛位移，來說就是虛位移，亦即是狀態(tài)亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。假象的位移。ABAPBP虛功原理虛功原理 必須指出，虛功原理的應用范圍是有條件的，它所涉及到必須指出，虛功原理的應用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個方面，的兩個方面，力和位移并不是隨意的。力和位移并不是隨意的。對于力來講，對于力來講，它必須它必須是在位移過程中處于平衡的力系；是在位移過程中處于平衡的力系；對于位移來講，對于位移來講，雖然是虛雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符位移，但并不是可

35、以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。合的微小的剛體位移。 還要注意，還要注意，當位移是在某個約束條件下發(fā)生時，則在該約當位移是在某個約束條件下發(fā)生時，則在該約束力方向的位移應為零，因而該約束力所作的虛功也應為零。束力方向的位移應為零，因而該約束力所作的虛功也應為零。這時該約束力叫做這時該約束力叫做被動力被動力。(如圖如圖1-8中的反力中的反力 ，由于支點，由于支點C沒有位移，故沒有位移，故 所作的虛功對于零所作的虛功對于零)。反之，如圖。反之，如圖1-8中的中的 和和 是在位移過程中作功的力，稱為是在位移過程中作功的力，稱為主動力主動力。因此，在平。因此，在平衡力系中應當分

36、清楚哪些是主動力，哪些是被動力，而在寫衡力系中應當分清楚哪些是主動力，哪些是被動力，而在寫虛功方程時，只有主動力作虛功，而被動力是不作虛功的。虛功方程時，只有主動力作虛功，而被動力是不作虛功的。cRcRAPBP虛功原理與虛功方程虛功原理與虛功方程虛功原理虛功原理表述如下：表述如下： 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當發(fā)生與約在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時，體系上所束條件相符合的任意微小的剛體位移時，體系上所有的主動力在位移上所作的總功有的主動力在位移上所作的總功(各力所作的功的代各力所作的功的代數(shù)和數(shù)和)恒對于零。恒對于零。虛功原理用公式表示為：虛

37、功原理用公式表示為：這就是這就是虛功方程虛功方程，其中，其中P和和 相應的代表力和虛位移。相應的代表力和虛位移。16)-(1 0PW虛功原理虛功原理-用于彈性體的情況用于彈性體的情況 虛功方程虛功方程(1-16)是按剛體的情況得出的，即假設圖是按剛體的情況得出的，即假設圖1-8的杠的杠桿是絕對剛性，沒有任何的變形，因而在方程桿是絕對剛性，沒有任何的變形，因而在方程(1-15)或或(1-16)中沒有內(nèi)功項出現(xiàn)，而只有外功項。中沒有內(nèi)功項出現(xiàn)，而只有外功項。 將虛功原理用于彈性變形時，總功將虛功原理用于彈性變形時，總功W要要包括外力功包括外力功(T)和內(nèi)和內(nèi)力功力功(U)兩部分，即：兩部分，即：

38、W = T - - U ；內(nèi)力功；內(nèi)力功(- -U)前面有一負前面有一負號，是由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，號，是由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負值。所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負值。 根據(jù)虛功原理，總功等于零得：根據(jù)虛功原理，總功等于零得： T - - U = 0 外力虛功外力虛功 T = 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功 U 彈性力學中的虛功原理可表達為：在外力作用下處于平衡彈性力學中的虛功原理可表達為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位

39、移，那么所有的外力在虛位移上的虛功移上的虛功(外力功外力功)等于整個彈性體內(nèi)應力在虛應變上的虛功等于整個彈性體內(nèi)應力在虛應變上的虛功(內(nèi)力功內(nèi)力功)。虛功原理虛功原理-用于彈性體的情況用于彈性體的情況i點外力分量點外力分量j點外力分量點外力分量外力分量用外力分量用 表示；表示；引起的應力分量用引起的應力分量用 表示表示y yZ ZX X0 0iViUiWiiwiviujUjujWjwjVjvj圖1 -9iiiWVU、jjjWVU、 F zxyzxyzyxjjjiiiWVUWVUF，虛功原理虛功原理-用于彈性體的情況用于彈性體的情況假設發(fā)生了虛位移假設發(fā)生了虛位移虛位移分量為虛位移分量為用用 表

40、示；引起的虛表示；引起的虛應變分量用應變分量用 表示表示y yZ ZX X0 0iViUiWiiwiviujUjujWjwjVjvj圖1 -9*jjjiiiwvuwvu、 * * *zxyzxyzyxjjjiiiwvuwvu，虛功原理虛功原理-用于彈性體的情況用于彈性體的情況 在虛位移發(fā)生時，外力在虛位移上的虛功是：在虛位移發(fā)生時，外力在虛位移上的虛功是：式中式中 是是 的轉(zhuǎn)置矩陣。的轉(zhuǎn)置矩陣。 同樣，在虛位移發(fā)生時，在彈性體單位體積內(nèi)，應力在虛同樣，在虛位移發(fā)生時，在彈性體單位體積內(nèi)，應力在虛應變上的虛功是：應變上的虛功是：因此，在整個彈性體內(nèi)，應力在虛應變上的虛功是：因此，在整個彈性體內(nèi)，

41、應力在虛應變上的虛功是：根據(jù)虛功原理得到：根據(jù)虛功原理得到： 這就是彈性變形體的虛功方程，它通過虛位移和虛應變表這就是彈性變形體的虛功方程，它通過虛位移和虛應變表明外力與應力之間的關系。明外力與應力之間的關系。 FwWvVuUwWvVuUTjjjjjjiiiiii* T* * Tzxzxyzyzxyxyzzyyxx* dxdydzT* 17)-(1 *dxdydzFTT虛功原理虛功原理-用于彈性體的情況用于彈性體的情況 應該指出，在虛位移發(fā)生時，約束力應該指出，在虛位移發(fā)生時，約束力(支座反力支座反力)是不做功是不做功的，因為約束力在其所約束的方向是沒有位移的。但是如果的，因為約束力在其所約束

42、的方向是沒有位移的。但是如果解除了某一個約束，而代之以約束力，那么，在虛位移發(fā)生解除了某一個約束，而代之以約束力，那么，在虛位移發(fā)生時，這個約束力就要在相應的虛位移上做虛功，而這個約束時，這個約束力就要在相應的虛位移上做虛功，而這個約束力的分量及其相應的虛位移分量就應當作為列矩陣力的分量及其相應的虛位移分量就應當作為列矩陣 及及 中的元素進入虛功方程中的元素進入虛功方程(1-17)。 * F1-6 兩種平面問題兩種平面問題 彈性力學可分為空間問題和平面問題，嚴格地說，任何彈性力學可分為空間問題和平面問題，嚴格地說，任何一個彈性體都是空間物體，一般的外力都是空間力系，因而一個彈性體都是空間物體，

43、一般的外力都是空間力系，因而任何實際問題都是空間問題，都必須考慮所有的位移分量、任何實際問題都是空間問題，都必須考慮所有的位移分量、應變分量和應力分量。但是，如果所考慮的彈性體具有特殊應變分量和應力分量。但是，如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空間問題簡化的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空間問題簡化為近似的平面問題，只考慮部分的位移分量、應變分量和應為近似的平面問題，只考慮部分的位移分量、應變分量和應力分量即可。力分量即可。平面應力問題平面應力問題平面應變問題平面應變問題平面平面應力應力問題問題 厚度為厚度為t的很薄的均勻木板。只在邊緣上受到平行于板面且

44、不沿厚度變化的的很薄的均勻木板。只在邊緣上受到平行于板面且不沿厚度變化的面力，同時，體力也平行于板面且不沿厚度變化。面力，同時，體力也平行于板面且不沿厚度變化。 以薄板的中面為以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任一直線為面，以垂直于中面的任一直線為Z軸。由于薄板兩表面軸。由于薄板兩表面上沒有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各點均有：上沒有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各點均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度變化，可認為在整個薄板內(nèi)各點均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度變化，可認為在整個薄板內(nèi)各點均有：于是，在六個應力分量中，只需要研究剩下的平行于于是，在六個應力分量中，只需要研究

45、剩下的平行于XOY平面的三個應力分平面的三個應力分量，即量，即 ，所以稱為，所以稱為平面應力問題平面應力問題。x xy y0 0t/2t/2z zy y圖 1-10yxxyyx、000yzzyxzzxz，0)(0)(0)(222tzzytzzxtzz，平面應力問題平面應力問題應力矩陣應力矩陣(1-2)可以簡化為：可以簡化為： 2)-(1 Tzxyzxyzyxzxyzxyzyx 18)-(1 xyyx平面應力問題平面應力問題物理方程物理方程(1-10)中后兩式可見，這時的中后兩式可見，這時的剪應變：剪應變：由物理方程由物理方程(1-10)中的第三式可見：中的第三式可見：一般一般 ， 并不一定等于

46、零，但并不一定等于零，但可由可由 及及 求得，在分析問題時不求得，在分析問題時不必考慮。于是只需要考慮必考慮。于是只需要考慮 三個應變分量即可，于是應變矩陣三個應變分量即可，于是應變矩陣(1-3-2)簡化為：簡化為：zxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGEEE111)(1)(1)(100zxyz，)(yxzE0zzxyxyyx、 19)-(1 xyyx平面應力問題平面應力問題物理方程物理方程(1-10)簡化為：簡化為：轉(zhuǎn)化成應力分量用應變分量表示的形式：轉(zhuǎn)化成應力分量用應變分量表示的形式：20)-(1 )1 (2111xyxyxyxyyyxxEGEE21)-(1 211)1 (

47、211222xyxyxyyxyyxxEEEE平面應力問題平面應力問題將將(1-21)式用矩陣方程表示：式用矩陣方程表示：它仍然可以簡寫為：它仍然可以簡寫為：彈性矩陣彈性矩陣D則簡化為：則簡化為：22)-(1 2100010112xyyxxyyxE D 23)-(1 2100010112ED平面應力問題平面應力問題只有只有 三個應變分量需要考慮，所以幾何方程三個應變分量需要考慮，所以幾何方程(1-3)簡化為：簡化為：1)-3-(1 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx， 24)-(1 xvyuyvxuxyyxxyyx、平面應力問題平面應力問題彈性體的虛功方程彈性體的虛功方程(1

48、-17)簡化為簡化為 17)-(1 *dxdydzFTT 25)-(1 *dxdytFTT平面應變問題平面應變問題 一縱向一縱向(即即Z向向)很長，且沿橫截很長，且沿橫截面不變的物體，受有平行于橫截面面不變的物體，受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力和體力，而且不沿長度變化的面力和體力，如圖如圖1-11所示。所示。 由于物體的縱向很長由于物體的縱向很長(在力學上在力學上可近似地作為無限長考慮可近似地作為無限長考慮)，截面尺，截面尺寸與外力又不沿長度變化；當以任寸與外力又不沿長度變化；當以任一橫截面為一橫截面為xy面，任一縱線為面，任一縱線為Z軸時，軸時，則所有一切應力分量、應變分量和則所有一

49、切應力分量、應變分量和位移分量都不沿位移分量都不沿Z方向變化，它們都方向變化，它們都只是只是x和和y的函數(shù)。此外，在這一情的函數(shù)。此外，在這一情況下，由于對稱況下，由于對稱(任一橫截面都可以任一橫截面都可以看作對稱面看作對稱面)，所有各點都只會有，所有各點都只會有x和和y方向的位移而不會有方向的位移而不會有Z方向的位方向的位移，即移，即 w = 0 因此，這種問題稱為平面位移問因此，這種問題稱為平面位移問題，但習慣上常稱為題，但習慣上常稱為平面應變問題平面應變問題。0 0y yx x圖 1-11平面應變問題平面應變問題既然既然w = 0，而且，而且u及及v又只是又只是x和和y的函數(shù)，由幾何方程

50、的函數(shù)，由幾何方程(1-3-1)可見可見 。于是只剩下三個應變分量。于是只剩下三個應變分量 ，幾何方程仍然簡化為方程幾何方程仍然簡化為方程(1-24)。1)-3-(1 zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx， 24)-(1 xvyuyvxuxyyxxyyx、0zxyzz平面應變問題平面應變問題因為因為由物理方程由物理方程(1-11)中后兩式可見中后兩式可見又由物理方程又由物理方程(1-11)中的第三式可見：中的第三式可見：在平面應變問題中，雖然在平面應變問題中，雖然 ，但但 一般并不等于零，不過它可以由一般并不等于零，不過它可以由 及及 求得，在分析問題時不必考求得，在分析問題時不必考慮，于是也就只有三個應力分量慮，于是也就只有三個應力分量 需要考慮。需要