卡爾曼濾波器算法C寫的+很好

1、卡爾曼濾波器 Kalman Filter1.什么是卡爾曼濾波器(What is the Kalman Filter?在學(xué)習(xí)卡爾曼濾波器之前,首先看看為什么叫“卡爾曼”。跟其他著名的理論(例如傅立葉變換,泰勒級(jí)數(shù)等等一樣,卡爾曼也是一個(gè)人的名字,而跟他們不同的是,他是個(gè)現(xiàn)代人!簡單來說,卡爾曼濾波器是一個(gè)“optimal recursive data processing algor IT hm(最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法”。對于解決很大部分的問題,他是最優(yōu),效率最高甚至是最有用的。他的廣泛應(yīng)用已經(jīng)超過30年,包括機(jī)器人導(dǎo)航,控制,傳感器數(shù)據(jù)融合甚至在軍事方面的雷達(dá)系統(tǒng)以及導(dǎo)彈追蹤等等。近年來更被

2、應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖像處理,例如頭臉識(shí)別,圖像分割,圖像邊緣檢測等等。2.卡爾曼濾波器的介紹(Introduction to the Kalman Filter為了可以更加容易的理解卡爾曼濾波器,這里會(huì)應(yīng)用形象的描述方法來講解,而不是像大多數(shù)參考書那樣羅列一大堆的數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)符號(hào)。但是,他的5條公式是其核心內(nèi)容。結(jié)合現(xiàn)代的計(jì)算機(jī),其實(shí)卡爾曼的程序相當(dāng)?shù)暮唵?只要你理解了他的那5條公式。在介紹他的5條公式之前,先讓我們來根據(jù)下面的例子一步一步的探索。假設(shè)我們要研究的對象是一個(gè)房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)判斷,這個(gè)房間的溫度是恒定的,也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度(假設(shè)我們用一分鐘來做時(shí)間單位

3、。假設(shè)你對你的經(jīng)驗(yàn)不是100%的相信,可能會(huì)有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲(Wh IT e Gaussian Noise,也就是這些偏差跟前后時(shí)間是沒有關(guān)系的而且符合高斯分配(Gaussian Distribution。另外,我們在房間里放一個(gè)溫度計(jì),但是這個(gè)溫度計(jì)也不準(zhǔn)確的,測量值會(huì)比實(shí)際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。好了,現(xiàn)在對于某一分鐘我們有兩個(gè)有關(guān)于該房間的溫度值:你根據(jù)經(jīng)驗(yàn)的預(yù)測值(系統(tǒng)的預(yù)測值和溫度計(jì)的值(測量值。下面我們要用這兩個(gè)值結(jié)合他們各自的噪聲來估算出房間的實(shí)際溫度值。假如我們要估算k時(shí)刻的是實(shí)際溫度值。首先你要根據(jù)k-1時(shí)刻的溫度值,來預(yù)測k時(shí)

4、刻的溫度。因?yàn)槟阆嘈艤囟仁呛愣ǖ?所以你會(huì)得到k時(shí)刻的溫度預(yù)測值是跟k-1時(shí)刻一樣的,假設(shè)是23度,同時(shí)該值的高斯噪聲的偏差是5度(5是這樣得到的:如果k-1時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3,你對自己預(yù)測的不確定度是4度,他們平方相加再開方,就是5。然后,你從溫度計(jì)那里得到了k時(shí)刻的溫度值,假設(shè)是25度,同時(shí)該值的偏差是4度。由于我們用于估算k時(shí)刻的實(shí)際溫度有兩個(gè)溫度值,分別是23度和25度。究竟實(shí)際溫度是多少呢?相信自己還是相信溫度計(jì)呢?究竟相信誰多一點(diǎn),我們可以用他們的covariance來判斷。因?yàn)镵g2=52/(52+42,所以Kg=0.78,我們可以估算出k時(shí)刻的實(shí)際溫度值是:23+

5、0.78*(25-23=24.56度。可以看出,因?yàn)闇囟扔?jì)的covariance 比較小(比較相信溫度計(jì),所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計(jì)的值?，F(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時(shí)刻的最優(yōu)溫度值了,下一步就是要進(jìn)入k+1時(shí)刻,進(jìn)行新的最優(yōu)估算。到現(xiàn)在為止,好像還沒看到什么自回歸的東西出現(xiàn)。對了,在進(jìn)入k+1時(shí)刻之前,我們還要算出k時(shí)刻那個(gè)最優(yōu)值(24.56度的偏差。算法如下:(1-Kg*520.5=2.35。這里的5就是上面的k時(shí)刻你預(yù)測的那個(gè)23度溫度值的偏差,得出的2.35就是進(jìn)入k+1時(shí)刻以后k時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差(對應(yīng)于上面的3。就是這樣,卡爾曼濾波器就不斷的把covariance遞歸,從而估

6、算出最優(yōu)的溫度值。他運(yùn)行的很快,而且它只保留了上一時(shí)刻的covariance。上面的Kg,就是卡爾曼增益(Kalman Gain。他可以隨不同的時(shí)刻而改變他自己的值,是不是很神奇!下面就要言歸正傳,討論真正工程系統(tǒng)上的卡爾曼。3.卡爾曼濾波器算法(The Kalman Filter Algor IT hm在這一部分,我們就來描述源于Dr Kalman 的卡爾曼濾波器。下面的描述,會(huì)涉及一些基本的概念知識(shí),包括概率(Probabil IT y,隨即變量(Random Variable,高斯或正態(tài)分配(Gaussian Distribution還有State-space Model 等等。但對于卡

7、爾曼濾波器的詳細(xì)證明,這里不能一一描述。首先,我們先要引入一個(gè)離散控制過程的系統(tǒng)。該系統(tǒng)可用一個(gè)線性隨機(jī)微分方程(Linear Stochastic Difference equation來描述:X(k=A X(k-1+B U(k+W(k再加上系統(tǒng)的測量值:Z(k=H X(k+V(k上兩式子中,X(k是k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài),U(k是k時(shí)刻對系統(tǒng)的控制量。A和B是系統(tǒng)參數(shù),對于多模型系統(tǒng),他們?yōu)榫仃?。Z(k是k時(shí)刻的測量值,H是測量系統(tǒng)的參數(shù),對于多測量系統(tǒng),H為矩陣。W(k和V(k分別表示過程和測量的噪聲。他們被假設(shè)成高斯白噪聲(Wh IT e Gaussian Noise,他們的covarian

8、ce 分別是Q,R(這里我們假設(shè)他們不隨系統(tǒng)狀態(tài)變化而變化。對于滿足上面的條件(線性隨機(jī)微分系統(tǒng),過程和測量都是高斯白噪聲,卡爾曼濾波器是最優(yōu)的信息處理器。下面我們來用他們結(jié)合他們的covariances 來估算系統(tǒng)的最優(yōu)化輸出(類似上一節(jié)那個(gè)溫度的例子。首先我們要利用系統(tǒng)的過程模型,來預(yù)測下一狀態(tài)的系統(tǒng)。假設(shè)現(xiàn)在的系統(tǒng)狀態(tài)是k,根據(jù)系統(tǒng)的模型,可以基于系統(tǒng)的上一狀態(tài)而預(yù)測出現(xiàn)在狀態(tài):X(k|k-1=A X(k-1|k-1+B U(k (1式(1中,X(k|k-1是利用上一狀態(tài)預(yù)測的結(jié)果,X(k-1|k-1是上一狀態(tài)最優(yōu)的結(jié)果,U(k為現(xiàn)在狀態(tài)的控制量,如果沒有控制量,它可以為0。到現(xiàn)在為止,

9、我們的系統(tǒng)結(jié)果已經(jīng)更新了,可是,對應(yīng)于X(k|k-1的covariance還沒更新。我們用P表示covariance: P(k|k-1=A P(k-1|k-1 A+Q (2式(2中,P(k|k-1是X(k|k-1對應(yīng)的covariance,P(k-1|k-1是X(k-1|k-1對應(yīng)的covariance,A表示A的轉(zhuǎn)置矩陣,Q是系統(tǒng)過程的covariance。式子1,2就是卡爾曼濾波器5個(gè)公式當(dāng)中的前兩個(gè),也就是對系統(tǒng)的預(yù)測?，F(xiàn)在我們有了現(xiàn)在狀態(tài)的預(yù)測結(jié)果,然后我們再收集現(xiàn)在狀態(tài)的測量值。結(jié)合預(yù)測值和測量值,我們可以得到現(xiàn)在狀態(tài)(k的最優(yōu)化估算值X(k|k:X(k|k= X(k|k-1+Kg(

10、k (Z(k-H X(k|k-1 (3其中Kg為卡爾曼增益(Kalman Gain:Kg(k= P(k|k-1 H / (H P(k|k-1 H + R (4到現(xiàn)在為止,我們已經(jīng)得到了k狀態(tài)下最優(yōu)的估算值X(k|k。但是為了要另卡爾曼濾波器不斷的運(yùn)行下去直到系統(tǒng)過程結(jié)束,我們還要更新k狀態(tài)下X(k|k的covariance:P(k|k=(I-Kg(k HP(k|k-1 (5其中I 為1的矩陣,對于單模型單測量,I=1。當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入k+1狀態(tài)時(shí),P(k|k就是式子(2的P(k-1|k-1。這樣,算法就可以自回歸的運(yùn)算下去?？柭鼮V波器的原理基本描述了,式子1,2,3,4和5就是他的5 個(gè)基本公式。

11、根據(jù)這5個(gè)公式,可以很容易的實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)的程序。下面,我會(huì)用程序舉一個(gè)實(shí)際運(yùn)行的例子。4.簡單例子(A Simple Example這里我們結(jié)合第二第三節(jié),舉一個(gè)非常簡單的例子來說明卡爾曼濾波器的工作過程。所舉的例子是進(jìn)一步描述第二節(jié)的例子,而且還會(huì)配以程序模擬結(jié)果。根據(jù)第二節(jié)的描述,把房間看成一個(gè)系統(tǒng),然后對這個(gè)系統(tǒng)建模。當(dāng)然,我們見的模型不需要非常地精確。我們所知道的這個(gè)房間的溫度是跟前一時(shí)刻的溫度相同的,所以A=1。沒有控制量,所以U(k=0。因此得出:X(k|k-1=X(k-1|k-1 (6式子(2可以改成:P(k|k-1=P(k-1|k-1 +Q (7因?yàn)闇y量的值是溫度計(jì)的,跟溫度直接對應(yīng),所以H=1。式子3,4,5可以改成以下:X(k|k= X(k|k-1+Kg(k (Z(k-X(k|k-1 (8Kg(k= P(k|k-1 / (P(k|k-1 + R (9P(k|k=(1-Kg(kP(k|k-1 (10現(xiàn)在我們模擬一組測量值作為輸入。假設(shè)房間的真實(shí)溫度為25度,我模擬了200個(gè)測量值,這些測量值的平均值為25度,但是加入了標(biāo)準(zhǔn)偏差為幾度的高斯白噪聲(在圖中為藍(lán)線。為了令卡爾曼濾波器開始工作,我們需要告訴卡爾曼兩個(gè)零時(shí)刻的初始值,是X(0|0