高等數(shù)學(xué)：7-5 平面及其方程

1、1第五節(jié)第五節(jié) 平面平面及其方程及其方程平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程平面的一般方程平面的一般方程兩平面的夾角兩平面的夾角小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)(plane)點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離第七章第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù)2 在空間內(nèi)在空間內(nèi), ,確定一個(gè)平面的幾何條件確定一個(gè)平面的幾何條件是多種多樣的是多種多樣的. . 如如: :點(diǎn)法確定、點(diǎn)法確定、相交兩直線確定等相交兩直線確定等. .不共線的三點(diǎn)確定、不共線的三點(diǎn)確定、平面及其方程平面及其方程3xyzOn 如果一非零向量垂直于如果一非零向量垂直于法線向量的法線向量的特征：特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于

2、平面內(nèi)的任一向量.已知已知),(CBAn ),(0000zyxM設(shè)平面上的任一點(diǎn)為設(shè)平面上的任一點(diǎn)為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的點(diǎn)法式方程一、平面的點(diǎn)法式方程一塊平面可以有許多法向量一塊平面可以有許多法向量.0M M 一平面一平面, 這向量就叫做該平面這向量就叫做該平面的的法線向量法線向量(法向量法向量).平面及其方程平面及其方程4xyzO MM0平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程平面稱(chēng)為方程的圖形平面稱(chēng)為方程的圖形. CBAn, 法向量法向量0)()()(000 zzCyyBxxAn0MM平面上的點(diǎn)都滿(mǎn)足上方程平面上的點(diǎn)都滿(mǎn)足上方程,不在平面上的不在平面上的點(diǎn)都不滿(mǎn)足

3、上方程點(diǎn)都不滿(mǎn)足上方程, 上方程稱(chēng)為平面的方程上方程稱(chēng)為平面的方程,00 nMM),(0000zyxM已知點(diǎn)已知點(diǎn)),(zyxM平面上任一點(diǎn)平面上任一點(diǎn)平面及其方程平面及其方程),(000zzyyxx 5解解 21PP取取 n平面方程為平面方程為, 0)1(4)1()1( zyx化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得. 024 zyx),4, 1, 1( 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程122011 kjin例例 的的及及求經(jīng)過(guò)點(diǎn)求經(jīng)過(guò)點(diǎn))0 , 1, 1()1 , 0 , 2(),1 , 1 , 1(321 PPP平面方程平面方程.)0 , 1, 1( )1, 2, 2( 31

4、PP3121PPPP 1P2P 3P 4, 1 , 1, CBA法一法一平面及其方程平面及其方程6的的及及求經(jīng)過(guò)點(diǎn)求經(jīng)過(guò)點(diǎn))0 , 1, 1()1 , 0 , 2(),1 , 1 , 1(321 PPP平面方程平面方程.解解所求方程的三點(diǎn)式為所求方程的三點(diǎn)式為0122011111 zyx平面方程為平面方程為. 024 zyx 1P2P 3P ),(zyxP 法二法二平面及其方程平面及其方程7平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzCyyBxxACzByAx D 0 DCzByAx 平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量 CBAn, 二、平面的一般方程二、平面的一般方程 任意

5、一個(gè)形如上式任意一個(gè)形如上式0)(000 CzByAxABC的的x、y、z的三元一次的三元一次方程都是平面方程方程都是平面方程.平面及其方程平面及其方程8, 0)1( D平面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；, 0)2( A , 0D平面通過(guò)平面通過(guò) 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于xOy 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；類(lèi)似地可討論類(lèi)似地可討論0, 0 CBCA0, 0 CB類(lèi)似地可討論類(lèi)似地可討論y軸軸軸軸zxOz面面 yOz面面(由柱面可知由柱面可知)0 DCzByAx 平面的一般方程平面的一般方程平面及其方程平面及其方程, 0 D9設(shè)平面為設(shè)平面為, 0

6、DCzByAx將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解平面及其方程平面及其方程例例 設(shè)平面與設(shè)平面與x, y, z 三軸分別交于三軸分別交于求此平面方程求此平面方程.),0 , 0(),0 , 0 ,(bQaP),0, 0, 0( cba其中其中), 0 , 0(cR1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程10 x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距 今后今后,由截距式方程作平面的圖形特別方便由截距式方程作平面的圖形特別方便! 當(dāng)平面不與任何坐標(biāo)面平行當(dāng)平面不與任何坐標(biāo)面平行,且不過(guò)原點(diǎn)且不過(guò)原點(diǎn)時(shí)時(shí),才有

7、截距式方程才有截距式方程.并作圖并作圖.012243 zyx將將化為化為截距式方程截距式方程,平面及其方程平面及其方程1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程11設(shè)平面過(guò)點(diǎn)設(shè)平面過(guò)點(diǎn) 及及x軸軸,求其方程求其方程.用平面的點(diǎn)法式方程用平面的點(diǎn)法式方程. 由點(diǎn)法式方程得平面方程由點(diǎn)法式方程得平面方程: 求法向量求法向量解解 法一法一kjkji 22130010)2( 1)1(2 zy即即)2, 1 , 3(0 M02 zy平面及其方程平面及其方程0OMin xyzOn 0M12用待定常數(shù)法用待定常數(shù)法. 設(shè)平面過(guò)點(diǎn)設(shè)平面過(guò)點(diǎn) 及及x軸軸, 求其方程求其方程. 即即 法二法二0 DCzBy

8、Ax設(shè)平面方程是設(shè)平面方程是0 CzBy從而從而平面方程是平面方程是02 CB 即即從而平面方程是從而平面方程是.2CB . 02 CzCy. 02 zy得得平面及其方程平面及其方程點(diǎn)點(diǎn)(0,0,0)及及(1,0,0)在平面上在平面上, , 0 D A)2, 1 , 3(0 M13 易知平面上三點(diǎn)易知平面上三點(diǎn) O(0,0,0), P(1,0,0), 設(shè)設(shè)M(x,y,z)為平面上的任意一點(diǎn)為平面上的任意一點(diǎn), 可得其方程可得其方程 想一想想一想 還有別的方法嗎還有別的方法嗎?答答 :有有! 法三法三)2, 1 , 3(0 M平面及其方程平面及其方程 設(shè)平面過(guò)點(diǎn)設(shè)平面過(guò)點(diǎn) 及及x軸軸, 求其方程

9、求其方程.)2, 1 , 3(0 M根據(jù)三向量根據(jù)三向量 OM, 共面的充要條件共面的充要條件,有有 OM0, OP 0001213 zyx02 zy00 OPOMOM即即 14 求平面方程常用兩種方法求平面方程常用兩種方法: 利用條件定出其中的待定的常數(shù)利用條件定出其中的待定的常數(shù), 此方此方法也稱(chēng)待定常數(shù)法法也稱(chēng)待定常數(shù)法. 主要是利用條件用向量代數(shù)的方法找出主要是利用條件用向量代數(shù)的方法找出平面的一個(gè)法向量平面的一個(gè)法向量.(1) 用平面的點(diǎn)法式方程用平面的點(diǎn)法式方程.(2) 用平面的一般方程用平面的一般方程.平面及其方程平面及其方程151 2 定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）兩平面

10、法向量的夾角稱(chēng)為兩平面法向量的夾角稱(chēng)為三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角平面及其方程平面及其方程兩平面的夾角兩平面的夾角. . 0:11111 DzCyBxA 0:22222 DzCyBxA 1n2n),(1111CBAn ),(2222CBAn 16按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有| |cos2121nnnn 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( 0212121 CCBBAA21)2( /212121CCBBAA 兩平面垂直、平行的充要條件兩平面垂直、平行的充要條件平面及其方程平面及其方程222222212121212121|CBACB

11、ACCBBAA 取銳角取銳角),(1111CBAn ),(2222CBAn 17例例 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系:013, 012)1( zyzyx解解 cos601cos 兩平面相交兩平面相交,.601arccos 夾角夾角222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 平面及其方程平面及其方程,31)1(2)1(|311201|22222 18,)0 , 1 , 1(1 M兩平面平行兩平面平行但不重合但不重合.,212142 ,)0 , 1 , 1(1 M兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合02224, 012)3( zyxzyx

12、解解01224, 012)2( zyxzyx解解),1 , 1, 2(1 n)2, 2, 4(2 n,212142 兩平面平行兩平面平行2)0 , 1 , 1( M2)0 , 1 , 1( M平面及其方程平面及其方程19例例 解解),()0 ,(),0 , 0 , 0(21aaaMaaMO和和平面通過(guò)點(diǎn)平面通過(guò)點(diǎn) ).0( axOy面的交角面的交角求該平面與求該平面與所求方程的三點(diǎn)式為所求方程的三點(diǎn)式為00 aaaaazyx21,MMO故過(guò)故過(guò)三點(diǎn)的平面方程為三點(diǎn)的平面方程為02 zyx的方程為的方程為平面平面xOy. 0 z設(shè)兩平面的交角為設(shè)兩平面的交角為, 則則 cos2222222121

13、21212121|cosCBACBACCBBAA 36 .36arccos 平面及其方程平面及其方程222222100)2(11|1)2(0101| 20設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx, 0 D0236 CBA)2 , 1, 4( n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解平面及其方程平面及其方程例例 1996考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)(一一), 3分分 與平面與平面 824 zyx 垂直且過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)垂直且過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn) )2, 3, 6( 的平面方程為的平面方程為( ). nxyzO ( , ,)A B C21平面及其方程平面及其方程 與平面與平面 824

14、zyx 垂直且過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)垂直且過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn) )2, 3, 6( 的平面方程為的平面方程為( ). 解解)2, 1, 4()2, 3, 6( n)6, 4, 4( )3, 2, 2( 平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程0322 zyx nxyzO 1996考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)(一一), 3分分 22設(shè)所求平面為設(shè)所求平面為1 czbyax1 V12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得(向量平行的充要條件向量平行的充要條件)解解平面及其方程平面及其方程例例 所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程.0566 zyx 求平行于平面求平行于平面

15、而與三個(gè)坐標(biāo)面而與三個(gè)坐標(biāo)面cba61161 t xyzOabc611161cba 23,61ta ,1tb tc61 ttt61161611 代入體積式代入體積式61 t1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為12131 abc平面及其方程平面及其方程cba61161 t 所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程.0566 zyx 求平行于平面求平行于平面而與三個(gè)坐標(biāo)面而與三個(gè)坐標(biāo)面24),1 , 1, 1(1 n)12, 2, 3(2 n取法向量取法向量21nnn )5,15,10( 0)1( 1)1(3)1(2 zyx化簡(jiǎn)得

16、化簡(jiǎn)得. 0632 zyx平面方程為平面方程為解解)1 , 3, 2(.平面及其方程平面及其方程例例 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)(1,1,1)且與平面且與平面7 zyx和平面和平面051223 zyx都垂直的平面方程都垂直的平面方程.25點(diǎn)到平面的垂直距離點(diǎn)到平面的垂直距離0:),(0000 DCzByAxzyxP 是平面是平面設(shè)設(shè)外一點(diǎn)外一點(diǎn),.0的距離的距離到平面到平面求求 P平面及其方程平面及其方程四、點(diǎn)到平面的距離四、點(diǎn)到平面的距離 ,),(1111 zyxPn0P ),(CBAn 1Pd并作向量并作向量.01PP的距離的距離到平面到平面 0P d|cos| |01 PP),(01之夾角之夾角的法向

17、量的法向量與與是是nPP 即即 d|01PP|n|cos| |n|01nnPP 由于由于nPP 01),(111000CzByAxCzByAx D 1P26平面及其方程平面及其方程222000|CBADCzByAxd d),(CBAn |01nnPP nPP 01DCzByAx 0000:),(0000 DCzByAxzyxP 到平面到平面點(diǎn)點(diǎn)的距離公式為的距離公式為27222000|CBADCzByAxd 點(diǎn)到平面距離公式點(diǎn)到平面距離公式313 填空填空的的到平面到平面點(diǎn)點(diǎn)01022)1 , 1 , 1(0 zyxM).(距離為距離為解解222)1(22|101)1(1212| d313 平

18、面及其方程平面及其方程28解解例例平行且平行且一平面與平面一平面與平面075420 zyx,6個(gè)單位個(gè)單位相距相距求這平面方程求這平面方程.設(shè)所求平面為設(shè)所求平面為05420 zyxD 在已知平面在已知平面075420 zyx上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)).0,47, 0(222000|CBADCzByAxd , 62516400|7| D.126|7| D133 D119 D或或故所求平面為故所求平面為01335420 zyx或或01195420 zyx平面及其方程平面及其方程29 1 . 兩平行平面兩平行平面 與與 間距離為間距離為( ),其其 的方程分別為的方程分別為:(A) 1(B)21(C)

19、 2(D) 21A 選擇題選擇題, 0218419 zyx0428419 zyx2 1 ,1 2 222000|cBADCzByAxd 提示提示,21 ).821, 0, 0(1 上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)可可在在 平面及其方程平面及其方程30 2.已知平面通過(guò)點(diǎn)已知平面通過(guò)點(diǎn)(k, k, 0)與與(2k, 2k, 0),其中其中k0,且垂直于且垂直于xOy平面平面,則該平面的一般式方程則該平面的一般式方程Ax + By + Cz + D = 0的系數(shù)必滿(mǎn)足的系數(shù)必滿(mǎn)足( ).a; 0,)( DCBAa; 0,)( DACBb; 0,)( DBACc. 0,)( DBACd解答解答代入代入與與將將)0 ,2 ,2()0 ,(kkkk,0中中 DCzByAx分別得分別得0 DBkAk022 DBkAk, 0 D. 0 C,BA 平面及其方程平面及其方