正弦定理、余弦定理及解三角形

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 正弦定理、余弦定理及解三角形1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容a2b2c22bccos A；b2a2c22accos_B；c2a2b22abcos_C變形形式a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；(其中R是ABC的外接圓半徑)abcsin Asin Bsin C；cos A；cos B；cos C.解決的問題已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角2三角形常用面積公式(1)Sa·ha(ha表示

2、邊a上的高)(2)Sabsin Cbcsin Acasin B.(3)Sr(abc)(r為內(nèi)切圓半徑)3判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)在ABC中，若sin Asin B，則AB.()(2)在ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素(×)(3)在ABC中，有sin Asin(BC)()(4)在ABC中，.()(5)在ABC中，若a2b2c2，則ABC為鈍角三角形()(6)公式Sabsin C適合求任意三角形的面積()(7)在三角形中已知兩邊和一角就能求三角形的面積()(8)在ABC中，若A60°，a4，b4，則B45°或B

3、135°.(×)(9)在ABC中，若sin 2Asin 2B，則AB.(×)(10)在ABC中，tan Atan Btan Ctan A·tan B·tan C(A、B、C)()考點(diǎn)一利用正、余弦定理求邊和角命題點(diǎn)1.用正弦定理解三角形2.用余弦定理解三角形3.用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化解三角形例1(1)(2016·高考全國丙卷)在ABC中，B，BC邊上的高等于BC，則sin A()A. B. C. D.解析：設(shè)BC邊上的高為AD，則BC3AD，DC2AD，所以ACAD.由正弦定理，知，即，解得sin A，故選D.答案：D(2)(20

4、16·高考全國乙卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a，c2，cos A，則b()A. B. C2 D3解析：由余弦定理，得4b22×2bcos A5，整理得3b28b30，解得b3或b(舍去)，故選D.答案：D(3)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，則A()A30° B60° C120° D150°解析：由正弦定理可知c2b，則cos A，所以A30°.答案：A方法引航(1)解三角形時，若式子中含有角的余弦或邊的二次式，則要考慮用余弦定理；若式子中含

5、有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；若以上特征都不明顯，則要考慮兩個定理都有可能用到.(2)三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷.1在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知A，a1，b，則B_.解析：依題意得，由正弦定理知：，sin B，又0B，可得B或. 答案：或2在ABC中，a1，b2，cos C，則c_；sin A_.解析：c2a2b22abcos C1414，c2；cos C，則sin C，由正弦定理，得，得sin A.答案：2；3設(shè)AB

6、C的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，則角C_.解析：由已知條件和正弦定理得：3a5b，且bc2a，則a，c2abcos C，又0C，因此角C.答案：考點(diǎn)二三角形形狀的判定命題點(diǎn)1.利用角的關(guān)系判定三角形形狀2.利用邊的關(guān)系判定三角形形狀例2(1)已知ABC的內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，則ABC為()A直角三角形 B等邊三角形 C鈍角三角形 D等腰直角三角形解析：內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，AC2B.又ABC.B，由余弦定理得b2a2c22ac·cos Ba2c2ac.又b2ac，a

7、2c2acac，即(ac)20，ac，又B，ABC為等邊三角形答案：B(2)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.求角A的大?。蝗魋in Bsin C1，試判斷ABC的形狀解：由正弦定理，及2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，a2b2c22bccos A，bc2bccos A，cos A.又0A，A.由知sin2Asin2Bsin2Csin BsinC，sin2A(sin Bsin C)2sin Bsin C.又sin Bsin C1，且s

8、in A，sin Bsin C，因此sin Bsin C.又B，C，故BC.所以ABC是等腰的鈍角三角形方法引航1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁2無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式；要移項(xiàng)提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數(shù)值的影響1若ABC的三個內(nèi)角滿足sin Asin Bsin C51113，則ABC()A一定是銳角三角形B一定是直角三角形C一定是鈍角三角形D可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形解析：選C.在ABC中，sin Asin

9、 Bsin C51113，abc51113，故令a5k，b11k，c13k(k0)，由余弦定理可得cos C0，又C(0，)，C，ABC為鈍角三角形2若本例(1)中，a、b、c成等比數(shù)列改為a2c，其它條件不變，判斷三角形的形狀解：b2a2c22accos B4c2c22c23c2，bc，此時滿足a2b2c2，說明ABC是直角三角形考點(diǎn)三三角形的面積問題命題點(diǎn)1.求三角形的面積2.利用面積求邊和角 例3(1)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2(ab)26，C，則ABC的面積是()A3 B. C. D3解析：c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abc

10、osa2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C×6×.答案：C(2)(2016·高考浙江卷)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bc2acos B.(1)證明：A2B；(2)若ABC的面積S，求角A的大小解：(1)證明：由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以，B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由S得absin C，故有sin

11、 Bsin Csin 2Bsin Bcos B，因?yàn)閟in B0，所以sin Ccos B.又B，C(0，)，所以C±B.當(dāng)BC時，A；當(dāng)CB時，A.綜上，A或A.方法引航在解決三角形問題中，面積公式Sabsin Cbc·sin Aacsin B最常用，因?yàn)楣街屑扔羞呉灿薪?，容易和正弦定理、余弦定理?lián)系起來.1已知ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，若A，b2acos B，c1，則ABC的面積等于()A. B. C. D.解析：選B.由正弦定理得sin B2sin Acos B，故tan B2sin A2sin.又B(0，)，所以B.又AB，則ABC是正三角

12、形，所以SABCbcsin A×1×1×.2設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且b3，c1，ABC的面積為，求cos A與a的值解：由三角形面積公式，得×3×1·sin A，故sin A.因?yàn)閟in2Acos2A1，所以cos A±± ±.當(dāng)cos A時，由余弦定理得a2b2c22bccos A32122×1×3×8，所以a2.當(dāng)cos A時，由余弦定理得a2b2c22bccos A32122×1×3×12，所以a2.綜上，co

13、s A，a2或cos A，a2.規(guī)范答題解三角形的規(guī)范答題典例(本小題滿分12分)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，B，tan.(1)求角C；(2)若bc，求ABC的面積解(1)B，0A，A.tan，A，A.C.(2)sin B，sin C，bc.bc，b，c.sin Asin(BC).SABCbcsin A×××.規(guī)范建議(1)先利用切函數(shù)求出角A；(2)求出sin B及sin C的值；(3)再求b及c的值；(4)求sin A，直接利用sin；(5)求SABC時，要有代入過程高考真題體驗(yàn)1(2016·高考全國丙卷)在ABC中，B，BC邊上的

14、高等于BC，則cos A()A. B. C D解析：選C.設(shè)ABC中角A，B，C的對邊分別是a，b，c，由題意可得acsinc，則ac.在ABC中，由余弦定理可得b2a2c2acc2c23c2c2，則bc.由余弦定理，可得cos A，故選C.2(2014·高考課標(biāo)卷)鈍角三角形ABC的面積是，AB1，BC，則AC()A5 B. C2 D1解析：選B.SABCAB·BCsin B×1×sin B，sin B，B45°或135°.若B45°，則由余弦定理得AC1，ABC為直角三角形，不符合題意，因此B135°，由余弦定

15、理得AC2AB2BC22AB·BCcos B122×1××5，AC.故選B.3(2014·高考課標(biāo)卷)已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，則ABC面積的最大值為_解析：因?yàn)閍2，所以(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化為(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理可得(ab)·(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，由余弦定理可得cos A，又0A，故A.因?yàn)閏os A，所以bc4，當(dāng)且僅當(dāng)bc時取等號由三角形面積公式知SA

16、BCbcsin Abc·bc，故ABC面積的最大值為.答案：4(2016·高考全國甲卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A，cos C，a1，則b_.解析：法一：因?yàn)閏os A，cos C，所以sin A，sin C，從而sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C××.由正弦定理，得b.法二：因?yàn)閏os A，cos C，所以sin A，sin C，從而cos Bcos(AC)cos Acos Csin Asin C××.由正弦定理，得c.由余弦定理b2a2c22accos B，得b.答案：

17、5(2016·高考全國乙卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長解：(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，2cos Csin(AB)sin C.故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C.(2)由已知，得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7.故a2b213，從而(ab)225.所以ABC的周長為5.課時規(guī)范訓(xùn)練A組基礎(chǔ)演練1在銳角ABC中，角A，B所對的邊長分

18、別為a，b，若2asin Bb，則角A等于()A. B. C. D.解析：選D.在ABC中，利用正弦定理得2sin Asin Bsin B，sin A.又A為銳角，A.2(2016·高考天津卷)在ABC中，若AB，BC3C120°，則AC()A1 B2C3 D4解析：選A.在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則a3，c，C120°，由余弦定理得139b23b，解得b1，即AC1.3在ABC，已知A45°，AB，BC2，則C等于()A30° B60° C120° D30°或150°解析：選A.在

19、ABC中，sin C，又ABBC，CA，故C30°.4(2016·高考山東卷)ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c.已知bc，a22b2(1sin A)，則A()A. B. C. D.解析：選C.由余弦定理得a2b2c22bccos A2b22b2cos A，所以2b2(1sin A)2b2(1cos A)，所以sin Acos A，即tan A1，又0A，所以A.5在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b2asin B，則A()A30° B45° C60° D75°解析：選A.因?yàn)樵阡J角ABC中，b2asin

20、 B，由正弦定理得，sin B2sin Asin B，所以sin A，又0A，所以A30°，故選A.6(2016·高考北京卷)在ABC中，A，ac，則_.解析：ac，sin Asin C，A，sin A，sin C，又C必為銳角，C，ABC，B，BC，bc，1.答案：17設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，則c_.解析：3sin A2sin B，3a2b.又a2，b3.由余弦定理可知c2a2b22abcos C，c222322×2×3×16，c4.答案：48在ABC中，A60°

21、，AC2，BC，則AB等于_解析：由余弦定理知，BC2AB2AC22AB·AC·cos 60°，即()2AB2222AB×2×cos 60°，解得AB1.答案：19已知a，b，c分別為ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos B；(2)設(shè)B90°，且a，求ABC的面積解：(1)由題設(shè)及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)知b22ac.因?yàn)锽90°，由勾股定理得a2c2b2.故a2c22ac，得ca.所以ABC的面積為

22、1.10ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AD平分BAC，BD2DC.(1)求；(2)若BAC60°，求B.解：(1)由正弦定理得，.因?yàn)锳D平分BAC，BD2DC，所以.(2)因?yàn)镃180°(BACB)，BAC60°，所以sinCsin(BACB)cosBsinB.由(1)知2sinBsinC，所以tanB，即B30°.B組能力突破1ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若cos A，則ABC為()A鈍角三角形 B直角三角形 C銳角三角形 D等邊三角形解析：選A.依題意得cos A，sin Csin Bcos A，所以sin(AB)sin Bcos A，即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0，所以cos Bsin A0.又sin A0，于是有cos B0，B為鈍角，ABC是鈍角三角形2在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若3a2b，則的值為()A