全向輪運動平臺分析

1、全輪轉(zhuǎn)向式小車一、坐標系與位置表示圖1 地理坐標系與體坐標系定義如圖所示的坐標系，地理坐標系XI，YI,體坐標系XR，YR，坐標之間夾角為，P點位置描述為I=xy由地理坐標轉(zhuǎn)為體坐標的映射由正交旋轉(zhuǎn)矩陣完成R=RI=cossin0-sincos0001xy反方向變換矩陣如下R-1=cos-sin0sincos0001二、運動學(xué)模型與控制律2.1全向輪直角坐標運動學(xué)方程圖2 軌跡跟蹤示意圖坐標系參照圖2，對于地理坐標中的位置指令pI=(xr yr r)和速度指令qI=(vr r)將對應(yīng)的誤差在體坐標系中表示出來pR=xeyee=cossin0-sincos0001xr-xyr-yr-對上式求導(dǎo)的

2、到1: xe=xr-xcos-xr-xsin+yr-ysin+(yr-y)cos =ye-xcos+ysin+vrcosrcos+vrsinrsin =ye-vx+vrcosr- =ye-vx+vrcose ye=-xr-xsin-xr-xcos+yr-ycos-(yr-y)sin=-xe+xsin-ycos-vrcosrsin+vrsinrcos=-xe-vy+vrsine將上式合并寫出得到位置誤差微分方程pR=xeyee=ye-vx+vrcose-xe-vy+vrsiner-2.1.1全向輪直角坐標下控制律設(shè)計設(shè)李雅普諾夫函數(shù)為V1=12xe2+ye2+e2求其導(dǎo)數(shù)如下，當漸進穩(wěn)定時導(dǎo)數(shù)小

3、于0；V1=xexe+yeye+eexe=-kxxe,ye=-kyye,e=-ke上式系數(shù)為正時，李雅普諾夫函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于零，系統(tǒng)漸進穩(wěn)定代入微分方程得到控制律如下：vx=ye+vrcose+kxxevy=-xe+vrsine+kyye=r+ke2.2差動輪直角坐標運動學(xué)方程差動輪與全向輪的區(qū)別是，全向輪小車速度方向與四個輪子的共同朝向相同可為任意方向，而差動輪小車的切向速度方向與X軸重合，故方程中vy=0,微分方程如下：pR=xeyee=ye-v+vrcose-xe+vrsiner-2.2.1差動輪直角坐標下控制律設(shè)計選擇Lyapunov函數(shù)如下：V2=12xe2+ye2+1k(1-cose

4、)對上式沿求導(dǎo)： V2=xexe+yeye+1kesine=xeye-v+vrcose+ye-xe+vrsine+1kr-sine =-xev+xevrcose+yevrsine+1krsine-1ksine=-xev+xevrcose+yevrsine+1krsine-1ksine選擇如下速度控制輸入：v=vrcose+kxxe =r+vr(kye+ksine)將上式代入Lyapunov函數(shù)導(dǎo)數(shù)得到：V2=-kxxe2-kkvrsin2e當上式系數(shù)為正時，V20，故以上Lyapunov函數(shù)選擇正確。由此得到基于運動學(xué)模型的軌跡跟蹤速度控制律為2：v=vrcose+kxxer+vr(kye+k

5、sine)其中，k，kx，k為控制器參數(shù)。2.2.2控制器參數(shù)選取將控制律代入微分方程得下式：pR=xeyee=ye(r+vr(kye+ksine)-kxxe-xe(r+vr(kye+ksine)+vrsine-vr(kye+ksine)上式在零點附近線性化，忽略高次項得pR=ApRA=-kxr0-r0vr0-vrky-vrk系數(shù)值與角速度和速度指令值共同決定系統(tǒng)根，當系數(shù)為正是所有根為負數(shù)。2.3對比仿真與結(jié)果仿真系統(tǒng)結(jié)果圖如下：圖3 軌跡跟蹤結(jié)構(gòu)圖圖中q=(v )T，v、分別為移動機器人的線速度和角速度，I=(x y ) T,對于差動機器人運動學(xué)方程可表示為：I=xy=cos0sin001

6、v=Jqc圖中J=cos0sin001；pR=xeyee；qc=q；對于全向輪機器人運動學(xué)方程可表示為：xy=cos-sin0sincos0001vxvy=R-1vxvy對角速度為0.2和線速度為5的圓形軌跡進行跟蹤，仿真結(jié)果如下圖：圖4 圓形軌跡跟蹤仿真圖圖中×點線為差動輪跟蹤軌跡，點線為全向輪跟蹤軌跡。三、全向輪平臺的設(shè)計對全向輪采用如下圖所示的結(jié)構(gòu)時，進行系統(tǒng)分析與設(shè)計 圖5 互補型全向輪(omni wheels)3.1運動學(xué)模型圖6 全向輪式移動機器人運動學(xué)模型移動坐標Xe-Ye固定在機器人重心上，而質(zhì)心正好位于幾何中心上。機器人 P 點在全局坐標系的位置坐標為：(x ,y,

7、)，三個全向輪以 3號輪中心轉(zhuǎn)動軸反方向所為機器人的X軸。假設(shè)三個全向輪完全相同，三個全向輪中心到車體中心位置的距離L。在移動坐標Xe-Ye的速度用vxevye表示。由文獻3可得三個全向輪的速度與其在移動坐標和全局坐標系下的速度分量之間的關(guān)系分別為以下二式：V1V2V3=sin(60)cos(60)L-sin(60)cos(60)L0-1Lvxevye=3212L-3212L0-1Lvxevye=Ta33vxevyeV1V2V3=sin(60-)cos(60-)L-sin(60+)cos(60+)Lsin-cosLxy3.2動力學(xué)模型在移動坐標Xe-Ye中，設(shè)機器人在沿軸Xe和Ye方向上收到的

8、力分別為FXe和FYe第1、2、3號驅(qū)動輪提供給機器人的驅(qū)動力分別為f1、f2、f3，機器人慣性轉(zhuǎn)矩為M，根據(jù)牛頓第二定律可得到如下的動力學(xué)方程：mxemyeI=FXeFYeM=cos30-cos300sin30sin30-1LLLf1f2f3=32-3201212-1LLLf1f2f3=Tb33f1f2f3在地理坐標系XY下的方程如下：mxmyI=FXFYM=cos(30+)-cos(30-)sinsin(30+)sin(30-)-cosLLLf1f2f33.3基于動力學(xué)模型的控制器設(shè)計如上式所示，基于機器人動力學(xué)模型的控制方案，直接根據(jù)機器人的動力學(xué)模型設(shè)計運動控制器，控制器的輸出為機器人

9、上驅(qū)動電機的驅(qū)動電壓?；趧恿W(xué)模型的控制方案，不需對驅(qū)動電機進行底層的速度控制，消除了底層速度控制帶來的延時。由動力學(xué)方程：mxemyeI=FXFYM=32-3201212-1LLLf1f2f3可知在體坐標系中各個方向上的控制輸入輸出是獨立的并且相互之間無耦合；于是可在體坐標中對各個控制量分別進行控制。當以各個電機電壓作為控制量U時，對控制量U進行矩陣變換Tb33U后可得到各個方向控制量Fu=Tb33U。先對系統(tǒng)參數(shù)mI進行辨識，得到由控制量Fu到速度V的傳遞函數(shù)；然后設(shè)計Fu的控制器，進過變換Ta33Fu后得到各個電機的控制量U=Ta33Fu 。速度控制指令vxevye 由第2節(jié)控制律求得

10、。3.4基于編碼器的位姿推算圓弧模型在文獻4中介紹機器人里程計圓弧模型是把移動機器人在運動過程中的實際軌跡通過圓弧去逼近。圖7平臺樣品示意圖5圖8 采樣期間的圓弧運動軌跡圖中Axn,yn,n和Bxn+1,yn+1,n+1分別為在采樣時間間隔內(nèi)起始點與終點的位姿坐標，AB為采樣期間的圓弧軌跡，利用圖中幾何關(guān)系可以得到運動軌跡為圓弧時的推算公式如下：xn+1=xn+LSR+SL2SR-SLsinn+SR-SLL-sinnyn+1=yn-LSR+SL2SR-SLcosn+SR-SLL-cosnn+1=n+SR-SLL 當SR-SL較小時可采用直線模型xn+1=xn+SR+SL2cosn+SR-SLL

11、yn+1=yn+SR+SL2sinn+SR-SLLn+1=n+SR-SLL 隨著移動距離的增加，誤差逐漸加大，其誤差的來源主要包括系統(tǒng)誤差和非系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差跟實際采用的器件的精度和測量上的誤差等方面產(chǎn)生的；非系統(tǒng)誤差是在移動過程中隨機發(fā)生的誤差，主要包括：測位輪子的打滑、路況等。由于非系統(tǒng)誤差不容易消除，因此，這里將通過實驗的方法來校準機構(gòu)的安裝精度，減小因系統(tǒng)誤差對定位精度產(chǎn)生較大影響。影響測量誤差的主要參數(shù)是編碼器輸出一個脈沖對應(yīng)輪子運動的距離r和兩個定位輪之間的距離L，r和L精度校正的具體方法和實現(xiàn)步驟如下：編碼器一個脈沖代表定位輪運行的距離r校正方法：使兩個定位輪在室內(nèi)平面上沿著一

12、條 5 米長度的直線運行，編寫軟件程序，對與定位輪同軸相連的兩個自由編碼器的輸出脈沖進行計數(shù)，將該數(shù)值記錄左右自由編碼器輸出脈沖個數(shù)NL和NR，根據(jù)公式r=5000(NL+NR)/2mm求出每次測量計算得到r的值，再取平均值即可。經(jīng)過多次測試實驗結(jié)果列表。定位輪之間的距離L校正方法：在平地上，使測位裝置從某一起始位置出發(fā)，順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)n周后再回到該出發(fā)位置，記下在該過程與左右定位輪相連的編碼器輸出的脈沖數(shù)分別為NL，NR，根據(jù)公式L=NL-NR*r2n求出每次測量計算得到 L的值，再取平均值即可。經(jīng)過多次測試兩定位輪之間距離 L校正實驗列表。四、Mecanum輪平臺的設(shè)計Mecanum輪

13、采用滾輪與軸線成45。夾角的結(jié)構(gòu)，如下圖所示： 圖9麥克納姆輪(Mecanum wheels)假設(shè)圖中小輥子可沿徑向自由滾動，而沿軸向與地面無滑動。4.1運動學(xué)模型圖10 麥克納姆輪移動機器人運動學(xué)原理圖由文獻6可得四個輪的速度與其在移動坐標系下的速度分量之間的關(guān)系為以下式，其中W為車半寬，L為車半長：V1V2V3V4=11L+W1-1-L-W111-1-L-WL+Wvxevye=Ta43vxevye其逆變換如下：vxevye=1411111-11-11L+W-1L+W-1L+W1L+WV1V2V3V4= Tb34V1V2V3V4Tb34Ta43=I4.2動力學(xué)模型在移動坐標Xe-Ye中，設(shè)機

14、器人在沿軸Xe和Ye方向上收到的力分別為FXe和FYe第1、2、3和4號驅(qū)動輪提供給機器人的驅(qū)動力分別為f1、f2、f3和f4，機器人慣性轉(zhuǎn)矩為M，根據(jù)牛頓第二定律可得到如下的動力學(xué)方程：mxemyeI=FXeFYeM=1411111-11-11L+W-1L+W-1L+W1L+Wf1f2f3f4=Tb34f1f2f3f4上式驅(qū)動力逆變換為f1f2f3f4=11L+W1-1-L-W111-1-L-WL+WFXeFYeM=Ta43FXeFYeM4.3基于動力學(xué)模型的控制器設(shè)計如上式所示，基于機器人動力學(xué)模型的控制方案，直接根據(jù)機器人的動力學(xué)模型設(shè)計運動控制器，控制器的輸出為機器人上驅(qū)動電機的驅(qū)動電

15、壓。基于動力學(xué)模型的控制方案，不需對驅(qū)動電機進行底層的速度控制，消除了底層速度控制帶來的延時。由動力學(xué)方程：mxemyeI=FXeFYeM=1411111-11-11L+W-1L+W-1L+W1L+Wf1f2f3f4可知在體坐標系中各個方向上的控制輸入輸出是獨立的并且相互之間無耦合；于是可在體坐標中對各個控制量分別進行控制。當以各個電機電壓作為控制量U時，對控制量U進行矩陣變換Tb34U后可得到在體坐標系中的各個方向控制量Fu=Tb34U。先對系統(tǒng)參數(shù)mI進行辨識，得到由控制量Fu到體坐標速度V的傳遞函數(shù)；然后設(shè)計Fu的控制器，進過變換Ta43Fu后得到各個電機的控制量U=Ta43Fu 。速度

16、控制指令vxevye 由第2節(jié)控制律求得。4.4基于三全向輪編碼器的位姿推算圓弧模型在文獻5中介紹機器人里程計圓弧模型是把移動機器人在運動過程中的實際軌跡通過圓弧去逼近。圖7平臺樣品示意圖6圖8 采樣期間的圓弧運動軌跡由于三輪全向機器人具有完整約束動力學(xué)特性23-25，因此采用三個編碼器才可以得到機器人平面運動的三自由度信息，即機器人的坐標信息PcOccycA)。圖中Axn,yn,n和Bxn+1,yn+1,n+1分別為在采樣時間間隔內(nèi)起始點與終點的位姿坐標，AB為采樣期間的圓弧軌跡，利用圖中幾何關(guān)系可以得到運動軌跡為圓弧時的推算公式如下：xn+1=xn+LSR+SL2SR-SLsinn+SR-

17、SLL-sinnyn+1=yn-LSR+SL2SR-SLcosn+SR-SLL-cosnn+1=n+SR-SLL 當SR-SL較小時可采用直線模型xn+1=xn+SR+SL2cosn+SR-SLLyn+1=yn+SR+SL2sinn+SR-SLLn+1=n+SR-SLL 隨著移動距離的增加，誤差逐漸加大，其誤差的來源主要包括系統(tǒng)誤差和非系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差跟實際采用的器件的精度和測量上的誤差等方面產(chǎn)生的；非系統(tǒng)誤差是在移動過程中隨機發(fā)生的誤差，主要包括：測位輪子的打滑、路況等。由于非系統(tǒng)誤差不容易消除，因此，這里將通過實驗的方法來校準機構(gòu)的安裝精度，減小因系統(tǒng)誤差對定位精度產(chǎn)生較大影響。影響測量

18、誤差的主要參數(shù)是編碼器輸出一個脈沖對應(yīng)輪子運動的距離r和兩個定位輪之間的距離L，r和L精度校正的具體方法和實現(xiàn)步驟如下：編碼器一個脈沖代表定位輪運行的距離r校正方法：使兩個定位輪在室內(nèi)平面上沿著一條 5 米長度的直線運行，編寫軟件程序，對與定位輪同軸相連的兩個自由編碼器的輸出脈沖進行計數(shù)，將該數(shù)值記錄左右自由編碼器輸出脈沖個數(shù)NL和NR，根據(jù)公式r=5000(NL+NR)/2mm求出每次測量計算得到r的值，再取平均值即可。經(jīng)過多次測試實驗結(jié)果列表。定位輪之間的距離L校正方法：在平地上，使測位裝置從某一起始位置出發(fā)，順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)n周后再回到該出發(fā)位置，記下在該過程與左右定位輪相連的編碼器輸出的脈沖數(shù)分別為NL，NR，根據(jù)公式L=NL-NR*r2n求出每次測量計算得到 L的值，再取平均值即可。經(jīng)過多次測試兩定位輪之間距離 L校正實驗列表。參考文獻：1劉金琨.滑模變結(jié)構(gòu)控制MATLAB仿真M.北京：清華大學(xué)出版社，2005.2 Y. Kanayama, Y. Kimura, F. Miyazaki, T. Noguchi. A stable tracking control method for anautonomous