北方工業(yè)大學(xué)考研信號(hào)與系統(tǒng)第五章

1、第五章 傅里葉變換應(yīng)用于通信系統(tǒng)濾波、調(diào)制與抽樣 本章介紹應(yīng)用傅里葉變換分析系統(tǒng)的方法。本章介紹應(yīng)用傅里葉變換分析系統(tǒng)的方法。傅里葉變換形式的系統(tǒng)函數(shù)傅里葉變換形式的系統(tǒng)函數(shù)。 te tr E R th H)()()( HER )()()( ERH 一. 傅里葉變換形式的系統(tǒng)函數(shù)設(shè)設(shè))()(),()(),()( RtrHthEter(t) = e(t) h(t)傅里葉形式的系統(tǒng)函數(shù)傅里葉形式的系統(tǒng)函數(shù)頻域系統(tǒng)函數(shù)頻域系統(tǒng)函數(shù) jjjj ssHERH)()()()(H() 與 H(s) 的關(guān)系)()(),()(thsHthHL LF F 對(duì)于一般的因果穩(wěn)定系統(tǒng)，對(duì)于一般的因果穩(wěn)定系統(tǒng)，H(s)的

2、極點(diǎn)都位于的極點(diǎn)都位于 s 平平面的左半平面，其收斂域包含虛軸面的左半平面，其收斂域包含虛軸)()()( jjHsHHs 對(duì)于一般的因果穩(wěn)定系統(tǒng)，沖激響應(yīng)對(duì)于一般的因果穩(wěn)定系統(tǒng)，沖激響應(yīng)h(t)的拉氏變的拉氏變換換 H(s)為復(fù)頻域系統(tǒng)函數(shù)，傅氏變換為復(fù)頻域系統(tǒng)函數(shù)，傅氏變換H( )為頻域系統(tǒng)為頻域系統(tǒng)函數(shù)，且函數(shù)，且 。)()()( jjHsHHs )(je)(j)(j HH 二、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性：系統(tǒng)的幅頻特性：系統(tǒng)的幅頻特性 )(jH )(：相頻特性：相頻特性 可以根據(jù)可以根據(jù)H(j )的表達(dá)式用的表達(dá)式用解析法解析法求解；求解； 也可以在也可以在 s 平面用平面用幾何方法幾何方法求解

3、。求解。 niimjjspzKsHH11jjjj niimjjijeMeNK1j1j )()()(tethtr 三、系統(tǒng)函數(shù)的物理意義 d)()(j th0e d)(jj 00eehttH0j0e)(j tte0e j)( 分析：激勵(lì)為虛指數(shù)信號(hào)分析：激勵(lì)為虛指數(shù)信號(hào) 時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)等于激勵(lì)等于激勵(lì)e(t)乘以加權(quán)函數(shù)乘以加權(quán)函數(shù) H(j 0) . d)(jteEte j21任意激勵(lì)任意激勵(lì) 的零狀態(tài)響應(yīng)為的零狀態(tài)響應(yīng)為 d)()(jteHEjj21 d)(jteR j21= r(t) 系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的處理過(guò)程就是利用系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的處理過(guò)程就是利用系統(tǒng)函數(shù) H(j ) 對(duì)不同頻

4、率分量加權(quán)以后再疊加的過(guò)程對(duì)不同頻率分量加權(quán)以后再疊加的過(guò)程。 三、系統(tǒng)函數(shù)的物理意義)(j)(j)(j ee EE)(je)(j)(j h HH)(j)(j)(j HER )()()(her )(je)(j)(j r RR)(j)(j)(j HER 設(shè)設(shè)E(j )的幅度由的幅度由|H(j )|加權(quán)加權(quán)則則E(j )的相位由的相位由 h( ) 修正修正總結(jié)系統(tǒng)可以看作是一個(gè)信號(hào)處理器：系統(tǒng)可以看作是一個(gè)信號(hào)處理器： ， 是是一一個(gè)個(gè)加加權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)， jH加權(quán)。加權(quán)。對(duì)信號(hào)各頻率分量進(jìn)行對(duì)信號(hào)各頻率分量進(jìn)行 )(j 加權(quán)，加權(quán)，信號(hào)的幅度由信號(hào)的幅度由 H 修修正正。信信號(hào)號(hào)的的相相位位由由

5、對(duì)于不同的頻率對(duì)于不同的頻率 ，有不同的加權(quán)作用，這也是信，有不同的加權(quán)作用，這也是信號(hào)分解，求響應(yīng)再疊加的過(guò)程。號(hào)分解，求響應(yīng)再疊加的過(guò)程。 5.2 利用系統(tǒng)函數(shù)求響應(yīng)正弦信號(hào)激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)正弦信號(hào)激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)非周期信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)非周期信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)正弦信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) )(sin)(000j tEHm)(j)()( ejj HH 系統(tǒng)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為為設(shè)激勵(lì)信號(hào)為設(shè)激勵(lì)信號(hào)為 Emsin( 0t)，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為正弦信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng))(j)()( ejj HH 設(shè)激勵(lì)信號(hào)為設(shè)激勵(lì)信號(hào)為 Emsin( 0t)，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為，

6、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 ttmmeeEtE00210 jjj)sin( ttmHHEtr00002 jje )j(e )j (j)( )(sin)j (000 tHEmtttteHeeHe000000 jjjj)j(,)j ( ttmHHE0000j)(j0j)(j0ee)j(ee)j (j2 )(j)(jee)j (jttmHE000002 偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)正弦信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) )(sin)(000j tEHm)(j)()( ejj HH 系統(tǒng)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為為設(shè)激勵(lì)信號(hào)為設(shè)激勵(lì)信號(hào)為 Emsin( 0t)，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為說(shuō)明：正弦信號(hào)激勵(lì)下，系統(tǒng)達(dá)到

7、穩(wěn)態(tài)時(shí)，其響應(yīng)為說(shuō)明：正弦信號(hào)激勵(lì)下，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，其響應(yīng)為 與激勵(lì)與激勵(lì)同頻同頻的正弦信號(hào)，的正弦信號(hào)，幅值被幅值被 |H(j )| 加權(quán)，加權(quán)，相位增加相位增加 ( )。 H(j )代表了系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的處理效果。代表了系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的處理效果。例 1211)(j H arctan)( )632sin(51 t :3sint)723sin(101 t)sin( 4521t 。的輸出時(shí)求輸入為若ttt，H3211sinsinsin jj :sint :2sint211 )(jH 451)( 512 )(jH 632)( 1013 )(jH 723)( )sin()sin()sin()( 7

8、23101632514521ttttr失真失真無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件一失真 線性系統(tǒng)引起的信號(hào)失真可能包含兩方面的因素：線性系統(tǒng)引起的信號(hào)失真可能包含兩方面的因素： 幅度失真幅度失真：不同頻率分量的幅度被改變的程度不同；：不同頻率分量的幅度被改變的程度不同； 相位失真相位失真：不同頻率分量的相位被改變的值不同；：不同頻率分量的相位被改變的值不同； 信號(hào)經(jīng)系統(tǒng)傳輸，被系統(tǒng)函數(shù)信號(hào)經(jīng)系統(tǒng)傳輸，被系統(tǒng)函數(shù) H(j ) 加權(quán)，加權(quán)，輸出輸出波形發(fā)生了變化波形發(fā)生了變化，與輸入波形不同，則產(chǎn)生了，與輸入波形不同，則產(chǎn)生了失真失真。 線性線性系統(tǒng)引起的失真系統(tǒng)引起的失真幅度，相位變化，幅度，相位變化

9、，不產(chǎn)生不產(chǎn)生新的頻率成分；新的頻率成分； 非線性非線性系統(tǒng)引起非線性失真系統(tǒng)引起非線性失真產(chǎn)生產(chǎn)生新的頻率成分。新的頻率成分。 對(duì)系統(tǒng)的不同用途有不同的要求：對(duì)系統(tǒng)的不同用途有不同的要求： 無(wú)失真?zhèn)鬏敚粺o(wú)失真?zhèn)鬏敚?利用失真利用失真信號(hào)處理。信號(hào)處理。二無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件幅度可以成比例變化；幅度可以成比例變化；可以有時(shí)移?？梢杂袝r(shí)移。 波形形狀波形形狀不變不變h(t) te tr)j (e)j ()j ()j ()j (j EKEERHt0 時(shí)域：時(shí)域：若系統(tǒng)輸入信號(hào)為若系統(tǒng)輸入信號(hào)為e(t)，輸出信號(hào)為，輸出信號(hào)為r(t)，當(dāng)，當(dāng)r(t) = Ke(t t0) 時(shí)，認(rèn)為信號(hào)沒(méi)有失真。時(shí)，認(rèn)為信

10、號(hào)沒(méi)有失真。頻域：頻域：0tK je 0tKH )j (頻譜圖無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻域特點(diǎn)：無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻域特點(diǎn)：幅頻特性幅頻特性 |H(j )| 為與頻率無(wú)關(guān)的為與頻率無(wú)關(guān)的常數(shù)常數(shù) K，系統(tǒng)的，系統(tǒng)的通頻帶為通頻帶為無(wú)限寬無(wú)限寬；相頻特性相頻特性 ( ) 與與 成比例成比例變化，是一條通過(guò)原點(diǎn)變化，是一條通過(guò)原點(diǎn)的負(fù)斜率直線。的負(fù)斜率直線。無(wú)失真的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為無(wú)失真的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 O jH K0tKH je)j ( )()j ()(j0110ttKKeHtht F FF F ( ) 為什么與 成比例？ 只有各頻率分量都被延遲相同的時(shí)間，疊加后的只有各頻率分量都被延遲相同的時(shí)間，疊加

11、后的響應(yīng)才能不失真。響應(yīng)才能不失真。每個(gè)頻率分量的相每個(gè)頻率分量的相位變化位變化 t0 d)(jteEte j21 dj)(djjj)(j0021210tttteeEtteeE 延遲時(shí)間延遲時(shí)間 t0 是相位特性的斜率：是相位特性的斜率： 0ddt 群時(shí)延（群延時(shí)） 0t dd 傳輸系統(tǒng)不引起信號(hào)的相位失真的條件傳輸系統(tǒng)不引起信號(hào)的相位失真的條件系統(tǒng)的系統(tǒng)的群時(shí)延為常數(shù)群時(shí)延為常數(shù)。 定義為系統(tǒng)的定義為系統(tǒng)的群時(shí)延群時(shí)延。一個(gè)信號(hào)失真的例子相頻特性相頻特性 ( )不與不與 成比例成比例，系統(tǒng)產(chǎn)生了相位失真。，系統(tǒng)產(chǎn)生了相位失真。理想低通的頻率特性理想低通的頻率特性理想低通的沖激響應(yīng)理想低通的沖

12、激響應(yīng)理想低通的階躍響應(yīng)理想低通的階躍響應(yīng) CCj ej 010tH一理想低通的頻率特性 C 為為截止頻率截止頻率。在。在 0 C 的低頻段內(nèi)，傳輸信號(hào)的低頻段內(nèi)，傳輸信號(hào)無(wú)失真，只有時(shí)移無(wú)失真，只有時(shí)移 t0 。 0t CCj 01H作用：作用：濾除濾除輸入信號(hào)中輸入信號(hào)中高于某個(gè)頻率高于某個(gè)頻率的所有頻率分量，的所有頻率分量，同時(shí)使同時(shí)使低于低于這個(gè)頻率的所有頻率分量這個(gè)頻率的所有頻率分量無(wú)失真無(wú)失真通過(guò)。通過(guò)。)(j)( Hth二理想低通的沖激響應(yīng) 0CCSa)(ttth tthCCSa)( ( ) O0j te 0ttth CCSa 沖激響應(yīng)波形輸入為輸入為 (t)，輸出為，輸出為Sa

13、 函數(shù)形式，函數(shù)形式，嚴(yán)重失真嚴(yán)重失真；(2)輸出輸出Sa函數(shù)的峰值位函數(shù)的峰值位 于于 t0，主瓣寬度為，主瓣寬度為 ，C 2 )(lim0ttthC (3) h(t)非因果非因果： h(t) 0， t 0，理想低通實(shí)際理想低通實(shí)際不可實(shí)現(xiàn)不可實(shí)現(xiàn)。與與 C 成反比成反比。三理想低通的階躍響應(yīng) thtg d)()()()(j)j ()j (tgHG 1 )(dsin00121ttCxxxtg 階躍響應(yīng)波形 )(dsin00121ttCxxxtg 響應(yīng)比激勵(lì)延遲響應(yīng)比激勵(lì)延遲 t0 ；(2) g(t)非因果非因果： g(t) 0， t 0;(3)響應(yīng)有失真，波形比激勵(lì)光滑，體現(xiàn)出高頻分響應(yīng)有失

14、真，波形比激勵(lì)光滑，體現(xiàn)出高頻分量被濾除。量被濾除。階躍響應(yīng)波形 )(dsin00121ttCxxxtg 上升時(shí)間上升時(shí)間：輸出由最小值上升到最大值的過(guò)渡時(shí)間，：輸出由最小值上升到最大值的過(guò)渡時(shí)間， 記為記為 tr .Cft12 Cr 1 rtfC 階躍響應(yīng)的上升時(shí)間階躍響應(yīng)的上升時(shí)間 tr 與網(wǎng)絡(luò)的截止頻率與網(wǎng)絡(luò)的截止頻率fC（帶寬）（帶寬）成反比。成反比。上升時(shí)間與帶寬不能同時(shí)減小。上升時(shí)間與帶寬不能同時(shí)減小。 )()( tutu四理想低通對(duì)矩形脈沖的響應(yīng))()( tgtg如果如果 過(guò)窄或過(guò)窄或 C 過(guò)小，過(guò)小，響應(yīng)波形將完全失去激響應(yīng)波形將完全失去激勵(lì)信號(hào)的脈沖形象。勵(lì)信號(hào)的脈沖形象。吉

15、伯斯現(xiàn)象吉伯斯現(xiàn)象 ：跳變點(diǎn)有：跳變點(diǎn)有9%的上沖。改用其他的上沖。改用其他的的“窗函數(shù)窗函數(shù)” 有可能消有可能消除上沖。（例如：升余除上沖。（例如：升余弦類(lèi)型）弦類(lèi)型）五、其他理想濾波器高通：高通：帶通：帶通：帶阻：帶阻： 都可以利用理想低通都可以利用理想低通的分析結(jié)果：的分析結(jié)果： 輸出有失真；輸出有失真； 系統(tǒng)非因果。系統(tǒng)非因果。六、實(shí)際濾波器如：一階如：一階RC電路、電路、RLC二階低通濾波器、巴特沃思、二階低通濾波器、巴特沃思、切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器 )(1tvCRL)(2tv 1 jH Oc c 實(shí)際濾波器的頻率特性都是對(duì)理想濾波器的一種實(shí)際濾波器的頻率特性都是對(duì)理想濾波器的

16、一種近似。可以通過(guò)設(shè)計(jì)電路參數(shù)實(shí)現(xiàn)要求的頻率特性。近似?？梢酝ㄟ^(guò)設(shè)計(jì)電路參數(shù)實(shí)現(xiàn)要求的頻率特性。例例 考慮圖示系統(tǒng)，其中輸入信號(hào)考慮圖示系統(tǒng)，其中輸入信號(hào)x(t)乘以一個(gè)頻率乘以一個(gè)頻率為為 C 的復(fù)指數(shù)信號(hào)的復(fù)指數(shù)信號(hào) ，并令其乘積通過(guò)一個(gè)，并令其乘積通過(guò)一個(gè)截止頻率為截止頻率為 0 的低通濾波器，其輸出再乘以的低通濾波器，其輸出再乘以 。試畫(huà)出圖中所標(biāo)各信號(hào)的頻譜圖，并。試畫(huà)出圖中所標(biāo)各信號(hào)的頻譜圖，并指出系統(tǒng)輸出指出系統(tǒng)輸出y(t)相對(duì)輸入相對(duì)輸入x(t)頻譜間的關(guān)系。頻譜間的關(guān)系。tCe j tCe j作 業(yè)第五章作業(yè) p.309日期作 業(yè)16/115-1，5-2，5-4, 5-7正弦

17、信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng))(j)()( ejj HH 設(shè)激勵(lì)信號(hào)為設(shè)激勵(lì)信號(hào)為 Emsin( 0t)，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 )()(j)j (00 mEE )()(je)(j)(j)(j)(j)(j00 mEHEHR )(e)(j)(e)j(j)(j)(j000000 HHEm )(e)(e)(jj)(j)(j00000 HEm利用頻移特性利用頻移特性)(2e0j0 t)(2e0j0 t 2200000ttmHEtrj)(jj)(jeeee)j (j)( )(sin)j (000 tHEm偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)例例 2 一階一階RC電路，在電路，在1-1 端加入矩形脈沖，利用傅

18、里端加入矩形脈沖，利用傅里葉分析法求葉分析法求2-2 端電壓端電壓v2(t)。 jjjEHR 只能求零狀態(tài)響應(yīng)，只能求零狀態(tài)響應(yīng)，v2(0 ) = 0 RCsRCsCRsCsH1111 jj H j1sRC令令例例 2 一階一階RC電路，在電路，在1-1 端加入矩形脈沖，利用傅里端加入矩形脈沖，利用傅里葉分析法求葉分析法求2-2 端電壓端電壓v2(t)。 jjj12VHV 只能求零狀態(tài)響應(yīng)，只能求零狀態(tài)響應(yīng)，v2(0 ) = 0 jj H j2j1e1je2Saj EEV jjjjjj eEVHV112求 v2(t) jejjj 12EV je1j1j1 E jje1je1j EE )(eje)(j)()(j)(jj 111tutu )()( tutuE )()()( tuetueEtt求 v2(t) jejjj 12EV je1j1j1 E jje1je1j EE )()( tutuE )()()( tuetueEtt