基于APOS理論的函數(shù)概念教學設計

1、.基于APOS理論的函數(shù)概念教學設計一、 概念同化教學與APOS 理論高中新課程實行已經(jīng)有四年多了，然而目前，相當多老師仍然采取傳統(tǒng)的概念同化教學方式，其教學步驟為1：1提醒概念的本質(zhì)屬性，給出定義、名稱和符號;2對概念進展特殊分類，提醒概念的外延;3穩(wěn)固概念，利用概念的定義進展簡單的識別活動;4概念的應用與聯(lián)絡，用概念解決問題，并建立所學概念與其它概念間的聯(lián)絡。這種教學方式有其精妙之處，但是過快的抽象過程只能有一少部分學生進展有意義的學習，難以引發(fā)全體學生的學習活動，大部分學生理解不了數(shù)學概念，只能靠死記硬背。事實上，概念的同化教學對幫助學生構建良好的概念圖式、原理圖式，作用非常有限。因為心

2、理意義是不能傳授的，必需由學生自我構建，不能由老師代替學生操作、考慮、體驗。美國數(shù)學教育學家 Ed.Dubinsky認為：一個人是不可能直接學習到數(shù)學概念的，更確切地說,人們透過心智構造mental structure使所學的數(shù)學概念產(chǎn)生意義。假如一個人對于給予的數(shù)學概念擁有適當?shù)男闹菢嬙?，那么他幾乎自然就學到了這個概念。反之，假如他無法建立起適當?shù)男闹菢嬙?，那么他學習數(shù)學概念幾乎是不可能的。因此，Ed Dubinsky認為，學生學習數(shù)學概念就是要建構心智構造，這一建構過程要經(jīng)歷以下4個階段2：二、基于APOS理論的函數(shù)教學設計從數(shù)學教育的研究內(nèi)容來看，關于代數(shù)內(nèi)容已經(jīng)逐漸從以解方程為中心轉(zhuǎn)到

3、以研究函數(shù)為中心了3。函數(shù)概念已經(jīng)成為中學數(shù)學中最為重要的概念之一。 函數(shù)概念本身不好理解。國外關于函數(shù)教學的研究說明了這一點斯法德調(diào)查了60 名16 歲和18 歲的學生，結(jié)論是大多數(shù)學生認為函數(shù)的概念是個過程而不是靜止的構造。中國學者也進展了相關的研究，見文獻4.可見，函數(shù)確實成了中學數(shù)學中最難教、最難學的概念之一。函數(shù)的教學在我國設置成螺旋式的教學，初中是用運動變化的觀點對函數(shù)進展定義，雖然這種定義較為直觀，但并未完全提醒出函數(shù)概念的本質(zhì)。例如，對于函數(shù)假如用運動變化的觀點去看它，就不好解釋，顯得牽強。但假如用集合與對應的觀點來解釋，就非常自然。筆者在浙江省義烏市第三中學陳向陽老師設計的?

4、函數(shù)的概念?根底上進展考慮，嘗試用APOS理論來設計高中函數(shù)概念的教學。一創(chuàng)設問題情境，引出課題老師提出問題1：我們在初中學習過函數(shù)的概念，它是如何定義的呢?在初中已經(jīng)學過哪些函數(shù)?在學生答復的根底上出示投影我們已經(jīng)學習了一些詳細的函數(shù)，那么為什么還要學習函數(shù)呢?先請同學們考慮下面的問題：問題2：由上述定義你能判斷“y=1是否表示一個函數(shù)?函數(shù)y=x與函數(shù)表示同一個函數(shù)嗎?學生考慮、討論后，老師點撥：僅用上述函數(shù)概念很難答復這些問題，我們需要從新的角度來認識函數(shù)概念。二生活實例演示，操作練習活動A問題3：以下圖中哪幾個圖像與下述三件事分別吻合得最好?請你為剩下的那個圖像寫出一件事.1我分開家不

5、久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本可能忘在家里了，于是停下來找，沒找到，就返回家里找到了作業(yè)本再上學;2我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽誤了一些時間;3我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開場加速.活動小結(jié)：每一個時刻，按照圖像，都有唯一確定的間隔 與它對應。三借助信息技術，討論歸納過程P師：實例1演示動畫，用?幾何畫板?動態(tài)地顯示炮彈高度關于炮彈發(fā)射時間的函數(shù)。啟發(fā)學生觀察、考慮、討論，嘗試用集合與對應的語言描繪變量之間的依賴關系：在的變化范圍內(nèi)，任給一個，按照給定的解析式，都有唯一的一個高度與之相對應。生：用計算器計算，然后用集合與對應的語言描繪變量之間的依賴關系。師：實例2

6、引導學生看圖，并啟發(fā)：在的變化范圍內(nèi)，任給一個t，按照給定的圖象，都有唯一的一個臭氧空洞面積與之相對應。生：動手測量，然后用集合與對應的語言描繪變量之間的依賴關系。師生：實例3共同讀表，然后用集合與對應的語言描繪變量之間的依賴關系。四從特殊到一般，引出函數(shù)概念對象O問題4：分析、歸納以上三個實例，它們有什么共同特點?生：分組討論三個實例的共同特點，然后歸納出函數(shù)定義，并在全班交流。師生：由學生概括，老師補充，引導學生歸納出三個實例中變量之間的關系均可描繪為：對于數(shù)集中的每一個，按照某種對應關系，在數(shù)集中都有唯一確定的與它對應，記作老師強調(diào)指出“僅僅是數(shù)學符號。為了更好地理解函數(shù)符號的含義，老師

7、提出下一個問題：問題5：一定就是函數(shù)的解析式嗎?師生：函數(shù)的解析式、圖象、表格都是表示函數(shù)的方法。問題6：函數(shù)能否看做是兩個集合之間的一種對應呢?假如能，怎樣給函數(shù)重新下一個定義呢?在學生答復的根底上老師歸納總結(jié)補充練習：以下圖象中不能作為函數(shù)的圖象的是 例1.函數(shù)，1求函數(shù)、的定義域;2求的值;3當時，求的值。4求5求讓學生考慮，并提問個別學生。師問：怎樣求函數(shù)的定義域?追問：與有何區(qū)別與聯(lián)絡?點撥：表示當自變量時函數(shù)的值，是一個常量，而是自變量的函數(shù)，它是一個變量，是的一個特殊值。追問：如何求，又如何求一般情況的?詳細地，可以將2帶入函數(shù)求出詳細值，再代入求出函數(shù)值。對于抽象的，應該將看成

8、一個整體，帶入的解析式，求出的解析式。問題7：函數(shù)的三要素是什么?老師引導學生歸納總結(jié)：函數(shù)的三要素是定義域、值域及對應法那么。在函數(shù)的三要素中，當其中的兩要素已確定時，那么第三個要素也就隨之確定了。如當函數(shù)的定義域，對應法那么已確定，那么函數(shù)的值域也就確定了。追問：如何判斷兩個函數(shù)是否一樣?以學生已解決的問題出發(fā)創(chuàng)設情境，引起學生的學習興趣，再次引發(fā)學生在構建自身根底上的“再創(chuàng)造，并通過獨立考慮后的討論，培養(yǎng)學生分析解決問題、用數(shù)學語言交流溝通的才能。例2.以下函數(shù)中哪個與函數(shù)相等?1234師問：判斷函數(shù)相等的根據(jù)是什么?變式：假設改2為呢?考慮：你能舉出一些函數(shù)相等的詳細例子嗎?啟發(fā)并引導

9、學生考慮、討論、交流，老師歸納總結(jié)出函數(shù)的要點：1.函數(shù)是一種特殊的對應非空數(shù)集到非空數(shù)集的對應;2.函數(shù)的核心是對應法那么，通常用記號表示函數(shù)的對應法那么，在不同的函數(shù)中，的詳細含義不一樣。函數(shù)記號說明，對于定義域的任意一個在“對應法那么的作用下，即在中可得唯一的. 當在定義域中取一個確定的，對應的函數(shù)值即為.集合中并非所有的元素在定義域中都有元素和它對應;值域;3.函數(shù)符號的說明：1“即為“是的函數(shù)的符號表示;2不一定能用解析式表示;3與是不同的，通常，表示函數(shù)當時的函數(shù)值;4在同時研究兩個或多個函數(shù)時，常用不同符號表示不同的函數(shù)，除用符號外，還常用、等符號來表示。4.定義域是函數(shù)的重要組

10、成部分，如與是不同的兩個函數(shù)。五借助熟悉的函數(shù)，加深對函數(shù)概念的理解圖式S問題8：集合AA=R到集合BB=R的對應：: A→B，使得集合B中的元素與集合A中的元素對應，如何表示這個函數(shù)?定義域和值域各是什么?函數(shù)呢?函數(shù)呢?老師演示動畫，用?幾何畫板?顯示這三種函數(shù)的動態(tài)圖象，啟發(fā)學生觀察、分析，并請同學們考慮之后填寫下表：函數(shù)一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)對應關系a0a0定義域值域用函數(shù)的定義去解釋學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，使得對函數(shù)的描繪性定義上升到集合與對應語言刻畫的定義。同時利用信息技術工具畫出函數(shù)的圖象，是讓學生進一步體會“數(shù)與“形結(jié)合在理解函數(shù)中的作用，更

11、好地幫助理解上述函數(shù)的三個要素，從而加強學生對函數(shù)概念的理解，進一步挖掘函數(shù)概念中集合與函數(shù)的聯(lián)絡。明確定義域、值域和對應關系是決定函數(shù)的三要素，這是一個整體，以此更好地培養(yǎng)學生深層次考慮問題的習慣。六再創(chuàng)情境，引導探究函數(shù)概念的新認識圖式S問題9：比較函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義即初中課本函數(shù)的定義的異同點，你對函數(shù)有什么新的認識?學生考慮、討論，老師點撥：函數(shù)近代定義與傳統(tǒng)定義在本質(zhì)上是一致的，兩個定義中的定義域與值域的意義完全一樣。兩個定義中的對應法那么實際上也一樣，只不過表達的出發(fā)點不同，傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā)，近代定義的對應法那么是從集合與對應的觀點出發(fā)。問題10：學生在前面學習

12、的根底上，反思對問題2的解答，重新考慮問題2，談談自己的認識。老師啟發(fā)、引導學生畫圖，以形求數(shù)。師生：是函數(shù);與不是同一個函數(shù)。引導學生對問題2進展反思和總結(jié)，并將之一般化，利用數(shù)學語言來表達，培養(yǎng)學生反思問題、總結(jié)歸納的習慣和藹于運用數(shù)學語言抽象所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的才能。七舉例應用，深化目的圖式S例3.函數(shù)1畫出函數(shù)的圖象;2求的值;3你從2中發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?4求函數(shù)的值域。為了讓學生體會到從特殊到一般的思想方法，同時也后面研究函數(shù)的性質(zhì)奇函數(shù)作準備。老師引導學生解決此題的關鍵點，并進展變式：變式1：， 當時，求函數(shù)的值域; 當時，求函數(shù)的值域。變式2：， 當函數(shù)值域為時，求函數(shù)定義域; 當函數(shù)值

13、域為時，求函數(shù)定義域。變式3：1，求的值。2，求函數(shù).變式4：，求的解析式;的解析式;的解析式。以一個問題為背景，一題多用，一題多變，由淺入深，表達梯度，使不同程度的學生都有開展。通過一組精心設計的問題鏈來引導和激發(fā)學生的參與意識、創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學生探究問題的才能，從而提升學生的思維品質(zhì)。借助三個變式層層深化，是理論到理論的升華，使概念深化、強化、類化的作用與含義印入心底，得到再次認同，初步掌握與應用才能也就自然形成了。八練習交流，反響穩(wěn)固以學生答復、板演的形式進展課堂練習，充分發(fā)揮師與生、生與生的互動，以老師、學生互相交流來穩(wěn)固本節(jié)課的學習。九學生歸納小結(jié)，老師評價以同桌之間一人小結(jié)一人傾聽

14、的方式，以四人為一小組進展小組討論，對本節(jié)課所學的內(nèi)容進展自主小結(jié)，老師及時進展歸納總結(jié)：1.函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點;2.集合與函數(shù)的聯(lián)絡、區(qū)別;3.函數(shù)的三要素;4.數(shù)形結(jié)合的思想。三、幾點啟示APOS理論對學生的函數(shù)概念的理解作出了分層分析，可以預測學生已經(jīng)在多大程度上對性質(zhì)作出了心理建構，從而推知學生對函數(shù)概念的掌握起點?；贏POS理論的理念設計數(shù)學性質(zhì)教學，本質(zhì)是“以學生為主體的理念在課堂探究中的表達，有利于學生理解函數(shù)的概念。教學中老師要關注數(shù)學本身的特點，更重要的是要關注課堂上學生的掌握概念的思維狀況，將數(shù)學知識和學生探究活動有機結(jié)合，要求老師要重視學生的學習活動，讓學

15、生親身創(chuàng)設問題情境。數(shù)學老師要意識到：一個數(shù)學概念由“過程到“對象的建立, 有時既困難又漫長, 需要經(jīng)過屢次反復,循序漸進,螺旋上升, 直至學生真正理解,“對象的建立要注意簡練的文字形式和符號表示,使學生在頭腦中建立起數(shù)學知識的直觀構造形象。要練說，得練聽。聽是說的前提，聽得準確，才有條件正確模擬，才能不斷地掌握高一級程度的語言。我在教學中，注意聽說結(jié)合，訓練幼兒聽的才能，課堂上，我特別重視老師的語言，我對幼兒說話，注意聲音清楚，上下起伏，抑揚有致，富有吸引力，這樣能引起幼兒的注意。當我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專心聽別人發(fā)言時，就隨時表揚那些靜聽的幼兒，或是讓他重復別人說過的內(nèi)容，抓住教育時機，要求他們

16、專心聽，用心記。平時我還通過各種興趣活動，培養(yǎng)幼兒邊聽邊記，邊聽邊想，邊聽邊說的才能，如聽詞對詞，聽詞句說意思，聽句子辯正誤，聽故事講述故事，聽謎語猜謎底，聽智力故事，動腦筋，出主意，聽兒歌上句，接兒歌下句等，這樣幼兒學得生動活潑，輕松愉快，既訓練了聽的才能，強化了記憶，又開展了思維，為說打下了根底。學生對于函數(shù)概念的認識不是一蹴而就的，這就要要老師在教學過程中整體處理教材，把握教學的度，結(jié)合詳細的問題有意識地在各個階段的學習過程中，幫助學生逐步形成函數(shù)完好的知識鏈。在往后的教學中要注意學生對知識的圖式的建立, 即加強知識間的聯(lián)絡和應用,如在講解詳細的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)時，可以以詳細函

17、數(shù)為載體，在一般函數(shù)概念的指導下對其性質(zhì)進展研究，表達了“詳細抽象詳細的過程，是函數(shù)概念理解的深化。又如，在講解不等式、方程的求解及應用后，可以與函數(shù)相結(jié)合，進展比照，從而加深對函數(shù)概念的理解，幫助學生在頭腦中建立起完好的數(shù)學知識的心理圖式。觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動，由近及遠的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機觀察也是不可少的，是相當有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導幼兒多角度多層面地進展觀察，保證每個幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導。我注意

18、幫助幼兒學習正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時機，引導幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當幼兒看到閃電時，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時機說：“這就是雷聲隆隆。一會兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑。這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深化，對雷雨前后氣象變化的詞語學得快，記得牢，而且會應用。我還在觀察的根底上，引導幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學的詞語、生活經(jīng)歷聯(lián)絡起來，在開展想象力中開展語言。如啄木鳥的嘴是長長的，尖尖