羅爾中值定理的內(nèi)容及證明方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上羅爾中值定理的內(nèi)容及證明方法（一）定理的證明證明：因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，所以存在最大值與最小值，分別用和表示，現(xiàn)在分兩種情況討論：1.若，則函數(shù)在閉區(qū)間上必為常數(shù)，結(jié)論顯然成立。2.若，則因?yàn)槭沟米畲笾蹬c最小值至少有一個(gè)在內(nèi)某點(diǎn)處取得，從而是的極值點(diǎn)，由條件在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)得，在處可導(dǎo)，故由費(fèi)馬定理推知：。（二）羅爾中值定理類(lèi)問(wèn)題的證明羅爾中值定理在微分學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，下面我們就對(duì)羅爾中值定理的應(yīng)用作深入的研究，歸納出證題技巧。1.形如“在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使”的命題的證法。(1)當(dāng)時(shí)，一般這種情況下，我們只需驗(yàn)證滿足羅爾定理的條件，根據(jù)羅爾定理來(lái)證明命題。在證

2、明過(guò)程中，我們要注意區(qū)間的選取，有時(shí)候所需驗(yàn)證的條件并不是顯而易見(jiàn)的。例1 設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，。證明：，使分析：由于所需驗(yàn)證的羅爾中值定理的條件并不是顯而易見(jiàn)的，而且這個(gè)問(wèn)題涉及到定積分，所以我們考慮運(yùn)用積分中值定理的知識(shí)，嘗試在中找到一個(gè)區(qū)間，在中運(yùn)用羅爾中值定理去證明。證：因?yàn)轱@然在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)根據(jù)羅爾定理，使(2)當(dāng)時(shí)，若所證明的等式中不出現(xiàn)端點(diǎn)值，則將結(jié)論化為：的形式，構(gòu)造輔助函數(shù)，我們就可以運(yùn)用(1)中的方法證明命題。我們?cè)跇?gòu)造輔助函數(shù)時(shí)，可用觀察法、積分法、遞推法，常數(shù)法等等。例2 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使證：要

3、證明只需證故令，則在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且故，使得即：2.應(yīng)用羅爾定理來(lái)討論方程的根：解決這類(lèi)問(wèn)題首先要構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，使該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是結(jié)論中的函數(shù)。例3 證明方程在內(nèi)至少有一實(shí)根。分析：若令，則，的符號(hào)不易判別，所以不適合運(yùn)用介值定理，因此我們采用羅爾中值定理來(lái)證明。證：令，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。由羅爾中值定理可知：，使。即所以方程在內(nèi)至少有一實(shí)根例4 若可導(dǎo)，試證明在的兩個(gè)零點(diǎn)之間，一定有的零點(diǎn)。分析：要證存在零點(diǎn)，我們需要構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，使得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為的零點(diǎn)存在問(wèn)題。證：令,設(shè)，為的兩個(gè)零點(diǎn)，即，。則有。假設(shè)，有在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。由羅爾中值定理可得，使,即，又因?yàn)?，?/p>

4、。所以，在的兩個(gè)零點(diǎn)之間，一定有的零點(diǎn)。（三）廣義的羅爾中值定理羅爾中值定理是微分中值定理中最基本的定理，也是證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基礎(chǔ)。下面我們對(duì)廣義的羅爾定理進(jìn)行討論。廣義的羅爾定理有多種形式，它們的特點(diǎn)就是把定理?xiàng)l件中可微性概念拓寬，然后得到廣義的羅爾中值表達(dá)式。廣義的羅爾定理有多種形式。形式1：若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。證：若，則結(jié)論顯然成立。若，不妨設(shè)，使，由，知：對(duì)，當(dāng)，時(shí)，有，則。又在上連續(xù)，故必存在最小值，即，使。又當(dāng)，時(shí)，都有，則也是在上的最小值。故由費(fèi)馬定理知，例5 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，且有，證明，使。證：令，因?yàn)?，所以。又因?yàn)?所以。而，所

5、以，故在可導(dǎo)。由廣義的羅爾中值定理，使，即。形式2：若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。證明方法與形式1類(lèi)似。例6 求證函數(shù)在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。證：顯然函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有，。則由形式2可知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。而，故。形式3：若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且(為有限數(shù)或)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。證：若為有限數(shù)，當(dāng),顯然結(jié)論成立。若，必，使。不妨設(shè)，使得。而，由局部保號(hào)性，必，使，使。因?yàn)樵诳蓪?dǎo)，所以在，連續(xù)。由介值定理，使。在利用羅爾中值定理，使得。若，由，知，使得，使，則有，使,則有。再由在連續(xù)，有,在利用羅爾中值定理，有。例7 求證函數(shù)在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。證：顯然函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且有，。則由形式3可知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。而，故有。形式4：若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。證：令，由題設(shè)知：，且存