第3章_振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

1、返回總目錄制作與設(shè)計(jì) 賈啟芬Mechanical and Structural Vibration機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng) 第第3 3章章 振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程目錄Mechanical and Structural Vibration Mechanical and Structural Vibration 第第3 3章章 振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 m xm xm xk xk xk xm xm xm xk xk xkxm xm xm xk xkxk xnnnnnnnnnnnnnnnnnn1111221111122121122222112222112

2、21122000TnTnxxxxxx 2121xx，一般情況下，n個(gè)自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程具有以下形式若用矩陣表示，則可寫(xiě)成式中分別是系統(tǒng)的坐標(biāo)矢量坐標(biāo)矢量和加速度矢量加速度矢量 KxxM 0方程中各項(xiàng)均為力的量綱，因此，稱之為作用力方程。Mechanical and Structural Vibration M mmmmmmmmmnnnnn n111212122212K kkkkkkkkknnnnn n111212122212質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣剛度矩陣剛度矩陣Mechanical and Structural Vibration 剛度矩陣中的元素稱剛度影響系數(shù)剛度矩陣中的元素

3、稱剛度影響系數(shù)(在單自由度系統(tǒng)中，簡(jiǎn)稱在單自由度系統(tǒng)中，簡(jiǎn)稱彈性常數(shù)彈性常數(shù))。它表示系統(tǒng)單位變形所需的作用力。它表示系統(tǒng)單位變形所需的作用力。具體地說(shuō)，具體地說(shuō)，如果使第如果使第j個(gè)質(zhì)量沿其坐標(biāo)方向產(chǎn)生單位位移，沿其它質(zhì)量的個(gè)質(zhì)量沿其坐標(biāo)方向產(chǎn)生單位位移，沿其它質(zhì)量的坐標(biāo)方向施加作用力而使它們保持不動(dòng)，則沿第坐標(biāo)方向施加作用力而使它們保持不動(dòng)，則沿第i個(gè)質(zhì)量坐標(biāo)個(gè)質(zhì)量坐標(biāo)方向施加的力，定義為方向施加的力，定義為剛度影響系數(shù)剛度影響系數(shù)kij；在第；在第j個(gè)質(zhì)量坐標(biāo)方個(gè)質(zhì)量坐標(biāo)方向上施加的力稱剛度影響系數(shù)向上施加的力稱剛度影響系數(shù)kjj 。由剛度影響系數(shù)的物理意。由剛度影響系數(shù)的物理意義，可直

4、接寫(xiě)出剛度矩陣，從而建立作用力方程，這種方法義，可直接寫(xiě)出剛度矩陣，從而建立作用力方程，這種方法稱為稱為影響系數(shù)法影響系數(shù)法。K kkkkkkkkknnnnn n111212122212剛度矩陣Mechanical and Structural Vibration 現(xiàn)分析求出圖所示的三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣。現(xiàn)分析求出圖所示的三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣。 x11xx230kkk112131、0312212111kkkkkk，畫(huà)出各物塊的受力圖根據(jù)平衡條件，有畫(huà)出各物塊的受力圖根據(jù)平衡條件，有首先令首先令在此條件下系統(tǒng)保持平衡，按定義需加于三物塊的力在此條件下系統(tǒng)保持平衡，按定義需加于三物塊的力Mec

5、hanical and Structural Vibration 畫(huà)出受力圖，則有畫(huà)出受力圖，則有xxx123010，kkkkkkk1222223323 ，同理，令同理，令畫(huà)出受力圖，有畫(huà)出受力圖，有xxx12301，kkkkk132333330 ，最后令最后令Mechanical and Structural Vibration 因此剛度矩陣為因此剛度矩陣為K kkkkkkkkk12221333300剛度矩陣一般是對(duì)稱的。剛度矩陣一般是對(duì)稱的。實(shí)際上實(shí)際上任何多自由度線性系統(tǒng)都具有這個(gè)性質(zhì)任何多自由度線性系統(tǒng)都具有這個(gè)性質(zhì)。即。即kkijjiTKK Mechanical and Struct

6、ural Vibration Mechanical and Structural Vibration 第第3 3章章 振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 在單自由度的彈簧在單自由度的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，若彈簧常數(shù)是質(zhì)量系統(tǒng)中，若彈簧常數(shù)是k，則，則 就是物就是物塊上作用單位力時(shí)彈簧的變形，稱塊上作用單位力時(shí)彈簧的變形，稱柔度影響系數(shù)柔度影響系數(shù)，用，用 表示。表示。1k具體地說(shuō)，僅在第具體地說(shuō)，僅在第j個(gè)質(zhì)量的坐標(biāo)方向上受到單位力作用時(shí)相個(gè)質(zhì)量的坐標(biāo)方向上受到單位力作用時(shí)相應(yīng)于在第應(yīng)于在第i個(gè)質(zhì)量的坐標(biāo)方向上產(chǎn)生的位移，即定義為個(gè)質(zhì)量的坐標(biāo)方向上產(chǎn)生的位移，即定義為 。 ijn自由度系統(tǒng)

7、的柔度矩陣自由度系統(tǒng)的柔度矩陣 為為n階方陣，其元素階方陣，其元素 稱為稱為柔度影柔度影響系數(shù)響系數(shù)，表示單位力產(chǎn)生的位移。，表示單位力產(chǎn)生的位移。ijMechanical and Structural Vibration 現(xiàn)分析求出圖所示的三自由度系統(tǒng)的柔度影響系數(shù)?，F(xiàn)分析求出圖所示的三自由度系統(tǒng)的柔度影響系數(shù)。 當(dāng)受到當(dāng)受到F1作用后，第一個(gè)彈簧的變形為作用后，第一個(gè)彈簧的變形為 ，第二和第三個(gè)，第二和第三個(gè)彈簧的變形為零。彈簧的變形為零。11k111211311111kkk,01321FFF，首先施加單位力首先施加單位力112131、這時(shí)三物塊所產(chǎn)生的靜位移分別是這時(shí)三物塊所產(chǎn)生的靜位移

8、分別是所以三物塊的位移都是所以三物塊的位移都是F1Mechanical and Structural Vibration 第三個(gè)彈簧不受力，故其變形為零。因此有第三個(gè)彈簧不受力，故其變形為零。因此有1112kk,2132212211211,11,1kkkkk01312FFF，令令F2第一和第二彈簧均受單位拉力，其變形分別為第一和第二彈簧均受單位拉力，其變形分別為Mechanical and Structural Vibration F3再令再令1, 0321FFF131231233123111111kkkkkk,可得到可得到 1112132122233132331111121211212311

9、111111111111kkkkkkkkkkkkkk系統(tǒng)的柔度矩陣為系統(tǒng)的柔度矩陣為Mechanical and Structural Vibration 柔度矩陣一般也是對(duì)稱的。柔度矩陣一般也是對(duì)稱的。實(shí)際上任何多自由度線性系統(tǒng)都具有這個(gè)性質(zhì)。即實(shí)際上任何多自由度線性系統(tǒng)都具有這個(gè)性質(zhì)。即 1112132122233132331111121211212311111111111111kkkkkkkkkkkkkkijji T系統(tǒng)的柔度矩陣為系統(tǒng)的柔度矩陣為Mechanical and Structural Vibration 用柔度影響系數(shù)來(lái)建立其運(yùn)動(dòng)微分方程用柔度影響系數(shù)來(lái)建立其運(yùn)動(dòng)微分方程系

10、統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)量的慣性力使彈簧產(chǎn)生變形系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)量的慣性力使彈簧產(chǎn)生變形xm xm xm xxm xm xm xxm xm xm x111112212331321121222233233113122323333 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )333322311323322221121331221111)()()()()()()()()(FFFxFFFxFFFx應(yīng)用疊加原理可得到應(yīng)用疊加原理可得到Mechanical and Structural Vibration 寫(xiě)成矩陣形式寫(xiě)成矩陣形式xxxmmmxxx1231112132122233132331231230000

11、00 xMx Mxx0位移方程位移方程KxMx xKMx1()是非奇異的，即 的逆矩陣存在K1K與作用力方程比較與作用力方程比較 K1Mechanical and Structural Vibration即當(dāng)剛度矩陣即當(dāng)剛度矩陣是非奇異時(shí)是非奇異時(shí)，剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣；，剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣；當(dāng)剛度矩陣是奇異時(shí)，不存在逆矩陣即無(wú)柔度矩陣。當(dāng)剛度矩陣是奇異時(shí)，不存在逆矩陣即無(wú)柔度矩陣。 此時(shí)系統(tǒng)的平衡位置有無(wú)限多或者說(shuō)它有剛體運(yùn)動(dòng)。此時(shí)系統(tǒng)的平衡位置有無(wú)限多或者說(shuō)它有剛體運(yùn)動(dòng)。 如圖示系統(tǒng)具有剛體運(yùn)動(dòng)，柔度矩陣不存在。如圖示系統(tǒng)具有剛體運(yùn)動(dòng)，柔度矩陣不存在。 K1柔度矩陣與剛度

12、矩陣之間的關(guān)系柔度矩陣與剛度矩陣之間的關(guān)系Mechanical and Structural Vibration 例例 試寫(xiě)出圖所示剛體試寫(xiě)出圖所示剛體AB的的剛度矩陣并建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)剛度矩陣并建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。微分方程。解：剛體解：剛體AB在圖面內(nèi)的位置可以由其質(zhì)心在圖面內(nèi)的位置可以由其質(zhì)心C的坐標(biāo)的坐標(biāo)yC(以水以水平位置平位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且水平運(yùn)動(dòng)不計(jì)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且水平運(yùn)動(dòng)不計(jì))和繞和繞C轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 確定。確定。Mechanical and Structural Vibration 圖為圖為 時(shí)的受力圖，時(shí)的受力圖， 分別表示保持系統(tǒng)在分別表示保持系統(tǒng)在該位置平衡，應(yīng)加在該位置平衡

13、，應(yīng)加在C點(diǎn)的力和力偶矩點(diǎn)的力和力偶矩yC10,kk1121,kkkkk lk l1112211 12 2,由剛體由剛體AB的平衡條件得到的平衡條件得到Mechanical and Structural Vibration 圖為圖為 時(shí)的受力圖，時(shí)的受力圖， 分別表示保持系統(tǒng)在該位分別表示保持系統(tǒng)在該位置平衡，應(yīng)加在鉛直平面內(nèi)的力偶矩和加在置平衡，應(yīng)加在鉛直平面內(nèi)的力偶矩和加在C點(diǎn)的力。點(diǎn)的力。yC01,kk2212,kk lk lkk lk l222 221 12121 12 2,由平衡條件得由平衡條件得2222111122112221)()(lklklklklklkkkK剛度矩陣剛度矩陣M

14、echanical and Structural Vibration 例例 試求圖示懸臂梁的柔度影響系數(shù)，試求圖示懸臂梁的柔度影響系數(shù)，并建立其位移方程。并建立其位移方程。(梁的彎曲剛度為梁的彎曲剛度為EI，其質(zhì)量不計(jì)，其質(zhì)量不計(jì))解：取y1 、 y2為廣義坐標(biāo)，根據(jù)柔度影響系數(shù)的定義， 表示在m1處施加單位力(沿y1方向)并在m1處產(chǎn)生的位移。1111332324( )lEIlEI 表示在m2處施加單位力(沿y2方向)并在m2處產(chǎn)生的位移。有222233lEI按材料力學(xué)的撓度公式，則有按材料力學(xué)的撓度公式，則有Mechanical and Structural Vibration 表示在表示在m2處施加單位力在處