第六章定積分及其應用

1、第六章 定積分及其應用積分學的另一個基本概念是定積分本章我們將闡明定積分的定義，它的基本性質以及它的應用此外，我們要重點講述溝通微分法與積分法之間關系的微積分學基本定理，它把過去一直分開研究的微分和積分彼此互逆地聯(lián)系起來，成為一個有機的整體最后，我們把定積分的概念加以推廣，簡要討論兩類廣義積分定積分是高數(shù)中的另一個重要概念，它的思想方法適用于非均勻變化同時又具有可加性的量求總和的所有實際問題，以歷史上看定積分是為了計算平面上封閉曲線圍成的圖形的面積而產(chǎn)生，而平面上封閉曲線所圍成的平面圖形的面積計算，又依賴于曲邊梯形的面積的計算。§ 6.1 定積分的概念一、兩個實例1、曲邊梯形的面積什

2、么是曲邊梯形設為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且由曲線，直線及軸所圍成的平面圖形(圖61)稱為在上的曲邊梯形，試求這曲邊梯形的面積 圖61我們先來分析計算會遇到的困難由于曲邊梯形的高是隨而變化的，所以不能直接按矩形或直角梯形的面積公式去計算它的面積但我們可以用平行于軸的直線將曲邊梯形細分為許多小曲邊梯形如圖61所示在每個小曲邊梯形以其底邊一點的函數(shù)值為高，得到相應的小矩形，把所有這些小矩形的面積加起來，就得到原曲邊梯形面積的近似值容易想象，把曲邊梯形分得越細，所得到的近似值就愈接近原曲邊梯形的面積，從而運用極限的思想就為曲邊梯形面積的計算提供了一種方法下面我們分三步進行具體討論：(1) 分割 在 中任意

3、插入個分點把分成個子區(qū)間，每個子區(qū)間的長度為(2) 近似求和 在每個子區(qū)間上任取一點，作和式(1.1)(3) 取極限 當上述分割越來越細(即分點越來越多，同時各個子區(qū)間的長度越來越小)時，和式(1.1)的值就越來越接近曲邊梯形的面積(記作A)因此當最長的子區(qū)間的長度趨于零時，就有即例2 求變速直線運動的路程設某物體作直線運動，其速度是時間的連續(xù)函數(shù)試求該物體從時刻到時刻一段時間內所經(jīng)過的路程因為是變量，我們不能直接用時間乘速度來計算路程但我們仍可以用類似于計算曲邊梯形面積的方法與步驟來解決所述問題(1) 用分點把時間區(qū)間任意分成個子區(qū)間(圖62)：，每個子區(qū)間的長度為()圖62 (2) 在每個

4、子區(qū)間()上任取一點，作和式(3) 當分點的個數(shù)無限地增加，最長的子區(qū)間的長度趨于零時就有即以上兩個問題分別來自于幾何與物理中，兩者的性質截然不同，但是確定它們的量所使用的數(shù)學方法是一樣的，即歸結為對某個量進行“分割、近似求和、取極限”，或者說都轉化為具有特定結構的和式(1.1)的極限問題，在自然科學和工程技術中有很多問題，如變力沿直線作功，物質曲線的質量、平均值、弧長等，都需要用類似的方法去解決，從而促使人們對這種和式的極限問題加以抽象的研究，由此產(chǎn)生了定積分的概念二、定積分的定義設函數(shù)在區(qū)間a、b內任意插入個分點：<<<將a、b分成幾個區(qū)間其長度記為 （），在每一個區(qū)間上

5、任取點，作和式，記，如果當，和式的極限存，且極限值不依賴于的選取和對區(qū)間的分法，則此極限值叫做在a、b上的定積分，記為： 其中叫積分號，叫被積函數(shù)，叫做被積表達式，叫積分變量，a、b叫積分下限和上限a、b叫積分區(qū)間，存在積在a、b上可積。關于定積分的定義，再強調說明幾點：(1) 區(qū)間 劃分的細密程度不能僅由分點個數(shù)的多少或的大小來確定因為盡管很大，但每一個子區(qū)間的長度卻不一定都很小所以在求和式的極限時，必須要求最長的子區(qū)間的長度，這時必然有(2) 定義中的兩個“任取”意味著這是一種具有特定結構的極限，它不同于第二章講述的函數(shù)極限盡管和式(1.1)隨著區(qū)間的不同劃分及介點的不同選取而不斷變化著，

6、但當時卻都以唯一確定的值為極限只有這時，我們才說定積分存在(3) 從定義可以推出定積分(1.2)存在的必要條件是被積函數(shù)在上有界因為如果不然，當把任意劃分成個子區(qū)間后，至少在其中某一個子區(qū)間上無界于是適當選取介點，能使的絕對值任意地大，也就是能使和式(1.1)的絕對值任意大，從而不可能趨于某個確定的值(4) 由定義可知，當在區(qū)間上的定積分存在時，它的值只與被積函數(shù)以及積分區(qū)間有關，而與積分變量無關，所以定積分的值不會因積分變量的改變而改變，即有(5) 我們僅對的情形定義了積分，為了今后使用方便，對與的情況作如下補充規(guī)定：當時，規(guī)定；當時，規(guī)定三、定積分的幾何意義根據(jù)定積分的定義，我們說：例1中

7、在上的曲邊梯形的面積就是曲線的縱坐標從到的定積分它就是定積分的幾何意義注意到若，則由及可知這時曲邊梯形位于軸的下方，我們就認為它的面積是負的因此當在區(qū)間上的值有正有負時，定積分的值就是各個曲邊梯形面積的代數(shù)和，如圖63所示圖63說明：和式極限與a、b的分法，的選取無關；0則，但，（不一定）； 與和a、b有關；定義中a<b，若a>b在區(qū)間a、b上連續(xù)或在a、b上有界，且最多只有有限個第一類間斷點的函數(shù)是可積的。例1 利用定積分幾何意義判斷定積分的值是正還是負。例2.用定積分的幾何意義求. 解:函數(shù)y=1-x在區(qū)間0, 1上的定積分是以y=1-x為曲邊, 以區(qū)間0,1為底的曲邊梯形的面

8、積. 因為以y=1-x為曲邊, 以區(qū)間0,1為底的曲邊梯形是一直角三角形, 其底邊長及高均為1, 所以.課后小結課外作業(yè)§ 6.2定積分的性質一、定積分的性質 1、兩點規(guī)定: ， 。2積分的線性性質（1）性質1、若，在上可積，則在上也可積，且 (1.3)（2）性質2、若在上可積，為常數(shù)，則在上可積，且(1.4)證明:根據(jù)定義，有（1）.（2）3. 性質3-積分對區(qū)間的可加性 設是可積函數(shù)，則(1.5)對任何順序都成立證 先考慮的情形由于在上可積，所以不論將區(qū)間如何劃分，介點如何選取，和式的極限總是存在的因此，我們把始終作為一個分點，并將和式分成兩部分：，其中分別為區(qū)間與上的和式令最長

9、的小區(qū)間的長度，上式兩邊取極限，即得(1.5)式對于其它順序，例如，有，所以 (1.5)式仍成立4.性質4 如果在區(qū)間ab上f (x)º1 則.5.性質5積分的不等式性質 若在上可積，且，則推論1 若，在上可積，且，則 證 由假設知，且，所以上式右邊的極限值為非負，從而有 6.性質6-積分估值 若在上可積，且存在常數(shù)和，使對一切有，則7.性質7-積分中值定理 若在上連續(xù)，則在上至少存在一點，使得 (1.7)證 因為在上連續(xù)，所以在上可積，且有最小值和最大值于是在上，或根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，在上至少存在一點，使所以(1.7)式成立積分中值定理的幾何意義如圖64所示圖64例4 估計

10、定積分的值解：令比較，課后小結課外作業(yè)§ 6.3 定積分學的基本公式（牛頓萊布尼茲公式）若已知在上的定積分存在，怎樣計算這個積分值呢？如果利用定積分的定義，由于需要計算一個和式的極限，可以想象，即使是很簡單的被積函數(shù)，那也是十分困難的本節(jié)將通過揭示微分和積分的關系，引出一個簡捷的定積分的計算公式一 變上限的定積分前一次講了定積分的定義與性質其中 我要指出的是定積分的存在性，只要在上連續(xù)，定積分一定存在。但與積分變量無關。即1積分上限函數(shù)bxaOYX圖一 定義：設在上連續(xù)，任取一點，定積分有意義，若積分上限在上每取一個值，定積分總有一個值與相對應，即在上定義了一個函數(shù)，記則，此函數(shù)稱為

11、積分上限函數(shù)。(如圖一 陰影部分)2積分上限函數(shù)的導數(shù)定理1 (原函數(shù)存在定理)：若在上連續(xù)則可導 且 也就是說是在上的一個原函數(shù)證明：用導數(shù)定義證明（） 給出由定積分的區(qū)間可加性，得：由積分中值定理，得： 或（） 求比值（） 求極限 （由于在連續(xù)）即 可見積分上限函數(shù)是被積函數(shù)的原函數(shù)。推論： 本定理回答了我們自第五章以來一直關心的原函數(shù)的存在問題它明確地告訴我們：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)，并以變上限積分的形式具體地給出了連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù)回顧微分與不定積分先后作用的結果可能相差一個常數(shù)這里若把寫成，或從 推得，就明顯看出微分和變上限積分確為一對互逆的運算從而使得微分和積分這兩個看似互不相干的概

12、念彼此互逆地聯(lián)系起來，組成一個有機的整體因此定理1也被稱為微積分學基本定理例1：求上限函數(shù)的導數(shù)1、求對x的導數(shù) 解：t=x=sin(x2)2、設 二牛頓萊布尼茲公式定理2、若 （）設在上連續(xù)（） 則 此公式稱為微積分基本公式或稱牛頓萊布尼茲公式證明： 由條件（）可設且 由條件（）可得（拉氏定理推論） 當時， 于是 或 當時 即 記： 此公式就是著名的牛頓萊布尼茲公式，簡稱NL公式它進一步揭示了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系：在上的定積分等于它的任一原函數(shù)在上的增量，即先求被積函數(shù)的原函數(shù),然后用原函數(shù)的上限值減去原函數(shù)的下限值.從此公式可知求定積分時，可以不用分割、求和、取極限的方法。它為我們計算

13、定積分開辟了一條新的途徑它把定積分的計算轉化為求它的被積函數(shù)的任意一個原函數(shù)，或者說轉化為求的不定積分在這之前，我們只會從定積分的定義去求定積分的值，那是十分困難的，甚至是不可能的因此NL公式也被稱為微積分學基本公式例3 計算下列定積分(1)；.(2)；(3)；（1） 解: 由于是的一個原函數(shù), 所以。（2） 解 由于arctanx是的一個原函數(shù), 所以.（3） 解:=ln 1-ln 2=-ln 2.例4. 計算正弦曲線y=sin x在0, p上與x軸所圍成的平面圖形的面積. 解: 這圖形是曲邊梯形的一個特例. 它的面積A=例5計算課后小結課外作業(yè)§ 6.3 定積分的換元積分法與部分

14、積分法有了牛頓萊布尼茲公式，使人感到有關定積分的計算問題已經(jīng)完全解決但是能計算與計算是否簡便相比，后者則提出更高的要求在定積分的計算中，除了應用NL公式，我們還可以利用它的一些特有性質，如定積分的值與積分變量無關，積分對區(qū)間的可加性等，所以與不定積分相比，使用定積分的換元積分法與分布積分法會更加方便1. 定積分的換元積分法定理1 設函數(shù)在上連續(xù)，函數(shù)在(或)上有連續(xù)的導數(shù)，并且，則(3.1)證 由于與皆為連續(xù)函數(shù)，所以它們存在原函數(shù)，設是在上的一個原函數(shù)，由復合函數(shù)導數(shù)的鏈式法則有，可見是的一個原函數(shù)利用NL公式，即得所以(3.1)式成立 公式(3.1)稱為定積分的換元公式若從左到右使用公式(

15、代入換元)，換元時應注意同時換積分限還要求換元應在單調區(qū)間上進行當找到新變量的原函數(shù)后不必代回原變量而直接用NL公式，這正是定積分換元法的簡便之處若從右到左使用公式(湊微分換元)，則如同不定積分第一換元法，可以不必換元，當然也就不必換積分限例1 計算(a>0).解。提示:,dx=a cos t. 當x=0時t=0, 當x=a時.例2。計算下列定積分(1) ；(2) ；(3) ；解 (1) 令，則，且當從0變到時，從1減到于是原式(2) 令，則，且當從0變到時，從0增到于是原式(3) 原式例3設在上連續(xù)，當為偶函數(shù)時， 特別當為奇函數(shù)時，；證： 因為，在中，令，得所以當為奇函數(shù)時，故，從而

16、有當為偶函數(shù)時，故，從而有例2的結果今后經(jīng)常作為公式使用例如我們可以直接寫出，2. 定積分的分部積分法定理2 若，在上有連續(xù)的導數(shù)，則 (3.2)證 因為， 所以是在上的一個原函數(shù)，應用NL公式，得，利用積分的線性性質并移項即得(3.2)式公式(3.2)稱為定積分的分部積分公式，且簡單地寫作(3.3)例4 計算下列定積分：(1) ； (2) ； (3)解 (1) 原式(2)所以 (3) 令，則課后小結課外作業(yè)§ 6.5 定積分的幾何應用定積分是具有特定結構的和式的極限如果從實際問題中產(chǎn)生的量(幾何量或物理量)在某區(qū)間上確定，當把分成若干個子區(qū)間后，在上的量Q等于各個子區(qū)間上所對應的部

17、分量之和(稱量Q對區(qū)間具有可加性)，我們就可以采用“分割、近似求和、取極限”的方法，通過定積分將量Q求出現(xiàn)在我們來簡化這個過程：在區(qū)間上任取一點，當有增量(等于它的微分)時，相應地量就有增量，它是Q分布在子區(qū)間上的部分量若的近似表達式為，則以為被積表達式求從到的定積分即得所求量這里的稱為量Q的微元，或元素，這種方法稱為微元法它雖然不夠嚴密，但具有直觀、簡單、方便等特點，且結論正確因此在實際問題的討論中常常被采用本節(jié)我們將講述微元法在幾何與物理兩方面的應用一、平面圖形的面積1) 直角坐標的面積公式根據(jù)定積分的幾何意義，若是區(qū)間上的非負連續(xù)函數(shù)，則在上的曲邊梯形(圖61)的面積為 (5.1)若在上

18、不都是非負的(圖63)，則所圍面積為 (5.2)一般地，若函數(shù)和在上連續(xù)且總有，則由兩條連續(xù)曲線，與兩條直線，所圍的平面圖形(圖66)的面積元素為所以 (5.3)圖66如果連續(xù)曲線的方程為，則由它與直線，()及軸所圍成的平面圖形(圖67)的面積元素為所以 (5.4) 圖67其它情形也容易寫出與公式(5.2)、(5.3)相仿的公式例1 求由兩條拋物線，所圍圖形(圖68)的面積解 聯(lián)立解得 及所圍的面積為 圖68例2 求由拋物線與直線所圍圖形(圖69)的面積解 聯(lián)立解得曲線與直線的交點和以為積分變量，則所求面積為圖69若以為積分變量，則從例2看出，適當選取積分變量，會給計算帶來方便例3 求橢圓的面

19、積 (圖610)解 由于橢圓關于軸與軸都是對稱的，故它的面積是位于第一象限內的面積的4倍在例3中，若寫出橢圓的參數(shù)方程，應用換元公式得 圖610一般地，若曲線由參數(shù)方程 給出，其中及在上連續(xù)，記，則由此曲線與兩直線及軸所圍圖形的面積為 (5.5)例4 求由擺線的一拱與橫軸所圍圖形(圖611)的面積解 (令)圖6112) 極坐標的面積公式設圍成平面圖形的一條曲邊由極坐標方程給出，其中在上連續(xù)，由曲線與兩條射線所圍成的圖形稱為曲邊扇形(圖612)試求這曲邊扇形的面積圖612應用微元法取極角為積分變量，其變化區(qū)間為相應于任一子區(qū)間的小曲邊扇形面積近似于半徑為，中心角為的圓扇形面積從而得曲邊扇形的面積

20、元素所求面積為(5.6)例5 求心形線所圍圖形(圖613)的面積解 利用對稱性，所求面積為 (令)二、旋轉體的體積旋轉體是一類特殊的已知平行截面面積的立體，容易導出它的計算公式例如由連續(xù)曲線，繞軸旋轉一周所得的旋轉體(圖617)由于過,且垂直于軸的截面是半徑等于的圓，截面面積為所以這旋轉體的體積為 (5.8)圖617例9 求由橢圓繞軸旋轉而產(chǎn)生的旋轉體的體積解 這個旋轉橢球體可看作由半個橢圓繞軸旋轉一周而成所以它的體積特別當時得半徑為的球體體積 3. 平面曲線的弧長設有一曲線弧段，它的方程是， 如果在上有連續(xù)的導數(shù)，則稱弧段是光滑的，試求這段光滑曲線的長度應用定積分，即采用“分割、近似求和、取

21、極限”的方法，可以證明：光滑曲線弧段是可求長的從而保證我們能用簡化的方法，即微元法，來導出計算弧長的公式如圖619所示，取為積分變量，其變化區(qū)間為相應于上任一子區(qū)間的一段弧的長度，可以用曲線在點處切線上相應的一直線段的長度來近似代替，這直線段的長度為，于是得弧長元素(也稱弧微分)，因此所求的弧長為(5.10)圖619若弧段由參數(shù)方程給出，其中在上有連續(xù)的導數(shù)，且則弧長元素，即微弧分為，所以 (5.11)課后小結課外作業(yè)§ 6.6 定積分的物理應用4. 變力沿直線所作的功從物理學知道，若物體在作直線運動的過程中一直受與運動方向一致的常力的作用，則當物體有位移時，力所作的功為現(xiàn)在我們來考

22、慮變力沿直線作功問題設某物體在力的作用下沿軸從移動至(圖622)，并設力平行于軸且是的連續(xù)函數(shù)相應于的任一子區(qū)間，我們可以把看作是物體經(jīng)過這一子區(qū)間時所受的力因此功元素為所以當物體沿軸從移動至時，作用在其上的力所作的功為 (5.13)圖622例13 用鐵錘將鐵釘擊入木板設木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板的深度成正比，在擊第一次時，將鐵釘擊入木板1，如果鐵錘每次打擊鐵釘所作的功相等，問錘擊第二次時，鐵釘又擊入多少？解 設鐵釘擊入木板的深度為，所受阻力(為比例常數(shù))鐵錘第一次將鐵釘擊入木板1，所作的功為由于第二次錘擊鐵釘所作的功與第一次相等，故有其中為兩錘共將鐵釘擊入木板的深度上式即解得，所以第二錘

23、將鐵釘擊入木板的深度為例14 有一圓柱形大蓄水池，直徑為20米，高為30米，池中盛水半滿(即水深15米)求將水從池口全部抽出所作的功解 建立坐標系如圖623所示水深區(qū)間為15,30相應于15,30的任一子區(qū)間的水層，其高度為，水的比重為9.8千牛/米，所以功元素為從而所作的功為(千焦) 圖623定積分在物理中的應用十分廣泛，如在計算物體的質量、靜力矩與重心、液體壓力、兩質點的引力等問題，都可以應用微元法予以分析處理，各種實例是不勝枚舉的重要的是通過學習，使我們能熟練地運用這種方法，以不變應萬變課后小結課外作業(yè)§ 6.7 廣義積分我們在前面討論定積分時，總假定積分區(qū)間是有限的，被積函數(shù)是有界的但在理論上或實際問題中往往需要討論積分區(qū)間無限或被積函數(shù)為無界函數(shù)的情形因此我們有必要把積分概念就這兩種情形加以推廣，這種推廣后的積分稱為廣義積分1. 無窮限的廣義積分定義1 設函數(shù)在上有定義，且對任何實數(shù)，在上可積，則稱形式 (4.1)為函數(shù)在上的廣義積分若極限 (4.2)存在，則稱廣義積分(4.1)收