第三章__數(shù)列(學(xué)案)

1、目錄1數(shù)列的概念（一）4一、知識歸納：4二、例題講解4三、針對練習(xí)：52數(shù)列的概念（二）6一、知識歸納：6二、例題講解：6三、針對練習(xí)：73等差數(shù)列（一）8一、知識歸納：8二、例題講解：8三、針對訓(xùn)練：94等差數(shù)列（二）10一、知識歸納：10二、例題講解：10三、針對訓(xùn)練：115等差數(shù)列的前N項(xiàng)和（一）12一、知識歸納：12二、例題講解：12三、針對訓(xùn)練：136等差數(shù)列的前N項(xiàng)和（二）14一、知識歸納：14二、例題講解：14三、針對訓(xùn)練：157等比數(shù)列（一）16一知識歸納16二例題選講16三針對訓(xùn)練：178等比數(shù)列（二）18一知識歸納18二例題講解：18三針對訓(xùn)練：199等比數(shù)列的前N項(xiàng)和（一

2、）20一知識歸納：20二例題講解：20三針對訓(xùn)練：2110等比數(shù)列的前N項(xiàng)和（二）22一知識歸納：22二例題講解：22三針對訓(xùn)練：2311數(shù)列的求和學(xué)案24一、分組法求和：若：，且數(shù)列、的前n項(xiàng)和可以求出，則分組求和24二、錯位相減法求和：（公差不為0的等差數(shù)列與公比不為1的等比數(shù)列的積的形式）24三、裂項(xiàng)法求和：若：（裂項(xiàng)），則：（相消）2512數(shù)列的求和練習(xí)2613、求數(shù)列的通項(xiàng)公式學(xué)案27一、型27二、型27三、（其中p，q均為常數(shù)，）型27四、遞推公式為與的關(guān)系式(或)28五、型2814、求數(shù)列的通項(xiàng)公式練習(xí)291. 數(shù)列的概念（一）一、知識歸納：1、 數(shù)列：按排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)

3、列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的數(shù)列可以看作一個定義域?yàn)樽匀粩?shù)集的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值它的圖像是一群2、 通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式，即3、 數(shù)列分類：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少可以分為與，按項(xiàng)的特點(diǎn)可以分為，和二、例題講解例1、根據(jù)下面數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫出前5項(xiàng)：（1）；（2）例2、寫出下面數(shù)列的一個通項(xiàng)公式，使它的前5項(xiàng)分別是下列各數(shù)：（1）1，2，3，4，5；（2）2，4，6，8，10；（3）1，2，4，8，16；（4）1，4，9，16，25（5）；（6）9，99，999，9999，99999；（7）2，2

4、，4，4，6，6例3、寫出下面數(shù)列的一個通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：（1）1，3，5，7；（2），；（3）（4）；三、針對練習(xí)：1、數(shù)列的通項(xiàng)公式是，這個數(shù)從第幾項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù)( ) A第6項(xiàng) B第7項(xiàng) C第8項(xiàng) D第9項(xiàng)2、數(shù)列1，3，6，10，的一個通項(xiàng)公式=  ( )     A n- n1BD2n+13、數(shù)列7，9，11，2n-1的項(xiàng)數(shù)是  ( )AnBn-1Cn-2Dn-34、是數(shù)列的第幾項(xiàng)（）A18項(xiàng)B19項(xiàng)C17項(xiàng)D20項(xiàng)5、無窮數(shù)列1，23，26，29，23n+6，中，23n+

5、6是第                 ( )A3n6項(xiàng)B3n7項(xiàng)Cn2項(xiàng)Dn3項(xiàng)6、在數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，中，x的值是 ( )A19                B20C21      

6、          D227、寫出下列各數(shù)列的通項(xiàng)公式：(1)0，3，8，15，24，35，（2）(3)3，33，333，3333，33333，（4）3，5，3，5，3，  (5) 3， 5， 9， 17， 33，（6）0， 1， 0， 1， 0， 1，(7) 1， 3， 3， 5， 5， 7， 7， 9， 9，（8）2. 數(shù)列的概念（二）一、知識歸納：1、 遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任意一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞

7、推公式遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法2、 數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系：二、例題講解：例1、已知數(shù)列的第1項(xiàng)是1，以后的各項(xiàng)由公式給出，寫出這個數(shù)列的前5項(xiàng)例2、已知數(shù)列中，()，試寫出數(shù)列的前4項(xiàng)例3、已知，寫出前5項(xiàng)，并猜想通項(xiàng)公式例4、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式：；三、針對練習(xí)：1、根據(jù)各個數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式(1) ；(2) ；(3) 2、已知下列各數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，求的通項(xiàng)公式(1) ； (2) ；（3）3. 等差數(shù)列（一）一、知識歸納：1、等差數(shù)列的定義：；2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：二、例題講解：例1、求等差數(shù)列8，5，2的第20項(xiàng)；

8、是不是等差數(shù)列，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？例2、在等差數(shù)列中，已知，求，例3、梯子最高一級寬33cm，最低一級寬為110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計(jì)算中間各級的寬度例4、首項(xiàng)為24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為負(fù)數(shù)，求公差的取值范圍例5、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中、是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？三、針對訓(xùn)練：1、首項(xiàng)為的等差數(shù)列從第10項(xiàng)開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是（）2、已知四個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為26，中間兩項(xiàng)的積為40，求這四個數(shù)3、求等差數(shù)列3，7，11，的第4項(xiàng)與第10項(xiàng)4、求等差數(shù)列10，8，6，的第20項(xiàng)5、在等差數(shù)列中，

9、（1）已知=10，=19，求與d；（2）已知=9，=3，求6、是不是等差數(shù)列0，7，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由7、100是不是等差數(shù)列2，9，16，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由4. 等差數(shù)列（二）一、知識歸納：1、等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則；2、等差數(shù)列的性質(zhì)：在等差數(shù)列中，為公差，若；若，則；下標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)，構(gòu)成新的等差數(shù)列3、判斷一個數(shù)列是否成等差數(shù)列的常用方法：定義法：（常數(shù)）；遞推法：；通項(xiàng)法：前n項(xiàng)和公式法：(A、B為常數(shù)) 二、例題講解：例1、在等差數(shù)列中，若+=9， =7， 求 ， ，例2、等差數(shù)列中，求，例3、在等差數(shù)列中， 已知， 求例4、為

10、遞減的等差數(shù)列， +=12， 且··=80求通項(xiàng)例5、已知a、b、c的倒數(shù)成等差數(shù)列，則是否也成等差數(shù)列？說明理由三、針對訓(xùn)練：1、若依次成等差數(shù)列，求的值2、設(shè)是遞增的等差數(shù)列，已知，求等差數(shù)列的通項(xiàng)3、在等差數(shù)列中， 1°若，求；2°若，求：； 3°若，求；4°若，求4、已知數(shù)列滿足，且當(dāng)，時，有，（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）試問是否是數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)；如果不是，請說明理由5. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）一、知識歸納：等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：二、例題講解：例1、某長跑運(yùn)動員7天里每天的訓(xùn)練量（單位：）是：750080

11、008500900095001000010500這位運(yùn)動員7天共跑了多少米？例2、等差數(shù)列-10，-6，-2，2，前多少項(xiàng)的和是54？例3、求集合的元素個數(shù)，并求這些元素的和例4、已知一個等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，求其前項(xiàng)和的公式例5、一個凸n邊形各內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，公差是， 最小內(nèi)角為，求邊數(shù)n例6、等差數(shù)列、的前n項(xiàng)和、滿足，則，=三、針對訓(xùn)練：1、設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若（）A1 B1 C2 D2、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則n為（）(A) 18 (B) 17 (C) 16 (D) 153、已知等差數(shù)列滿足，則有ABC D4、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25

12、，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n和為5、各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，則在等差數(shù)列中，則 _6、等差數(shù)列中，公差，求7、已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和8、設(shè)等差數(shù)列中，求及的值6. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（二）一、知識歸納：1、等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：，成等差數(shù)列2、等差數(shù)列的判定(接等差數(shù)列2)：求和法：；若，是等差數(shù)列，則，也是等差數(shù)列3、等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值：，時，有最小值；，時，有最小值二、例題講解：例1、在等差數(shù)列中：1°已知求和； 2°已知，求例2、若一個等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，求其中間項(xiàng)例3、已知，都成AP，且，試求數(shù)列的前100項(xiàng)之和A

13、BC1373123Ox例4、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)，其圖像上有三個點(diǎn)A、B、C（如圖），（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）判定是否為等差數(shù)列，說明理由例5、根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和，判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列；例6、在等差數(shù)列中，該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大？三、針對訓(xùn)練：1、設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，>0，<0，(1) 求公差d的取值范圍； (2) 指出， ， ， ， 中哪一個最大，說明理由2、一個等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32：27，求公差3、已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求證數(shù)列成等差數(shù)列，并求其首項(xiàng)、公差、通項(xiàng)公式4、已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為

14、，前項(xiàng)和為，求前項(xiàng)和5、在等差數(shù)列中，該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最小？7. 等比數(shù)列（一）一、知識歸納1等比數(shù)列定義：； 2等比數(shù)列通項(xiàng)公式：二例題選講例1 培育水稻新品種，如果第一代得到120粒種子，并且從第一代起，由以后各代的每一粒種子都可以得到下一代的120粒種子，到第5代大約可以得到這個新品種的種子多少粒（保留兩個有效數(shù)字）？例2一個等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)例3（1）等比數(shù)列中，（2）等比數(shù)列中，（3）等比數(shù)列中，若，求例4（06全國I文）已知為等比數(shù)列，求的通項(xiàng)公式三針對訓(xùn)練：1求下面等比數(shù)列的第4項(xiàng)與第5項(xiàng)：（1）5，15，45，；（2），；（3），；

15、（4），2（1）一個等比數(shù)列的第9項(xiàng)是，公比是，求它的第1項(xiàng)（2）一個等比數(shù)列的第2項(xiàng)是10，第3項(xiàng)是20，求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng)3由下列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求首項(xiàng)與公比：（1）；（2）4已知等比數(shù)列中，(1) 求數(shù)列通項(xiàng)公式；(2) 若，求數(shù)列的前20項(xiàng)和四小結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容：等比數(shù)列的概念和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式8. 等比數(shù)列（二）一、知識歸納1等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，則；2等比數(shù)列的判定方法：定義法：（常數(shù)）；遞推法：；通項(xiàng)法：3等比數(shù)列的性質(zhì)：；若且，則；4等比數(shù)列的增減性：當(dāng)q>1， >0或0<q<1， <0時， 是遞增數(shù)列;當(dāng)q>1， <0，或0&

16、lt;q<1， >0時， 是遞減數(shù)列;當(dāng)q=1時， 是常數(shù)列;當(dāng)q<0時， 是擺動數(shù)列;二例題講解：例1 已知是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，求證是等比數(shù)列例2數(shù)列滿足，（1）求證數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求通項(xiàng)例3（1）在等比數(shù)列，已知，求的值(2) 已知是等比數(shù)列，且， 求的值三針對訓(xùn)練：1等比數(shù)列中，前10項(xiàng)和10，前20項(xiàng)和30，則前30項(xiàng)和為（）A 70 B 90 C 100 D 120 2各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，則（）A 12 B 10 C 8 D 3各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中且，則（）A B C D 4等比數(shù)列中，5已知數(shù)列中，求通項(xiàng)四、課堂小節(jié)1、等比數(shù)列定義： 2、等比數(shù)

17、列通項(xiàng)公式3、等比中項(xiàng)： 4、等比數(shù)列性質(zhì)9. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）一、知識歸納：1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：；2錯位相減法：若：，則：，可以求和（注意：用前式第項(xiàng)減后式的第項(xiàng)錯位相減！）二例題講解：例1求等比數(shù)列的前8項(xiàng)的和例2某商場第1年銷售計(jì)算機(jī)5000臺，如果平均每年的銷售量比上一年增加10%，那么從第1年起，約幾年內(nèi)可使總銷售量達(dá)到30000臺（保留到個位）？例3（1）在等比數(shù)列中，已知：，求（2）（06全國2）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，求數(shù)列的通項(xiàng)例4是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知1是和的等差中項(xiàng)，6是和的等比中項(xiàng)（1）求和；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前n項(xiàng)和三針對訓(xùn)練：1根

18、據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等比數(shù)列的：（1）；（2）；（3）；（4）2（1）求等比數(shù)列從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和（2）求等比數(shù)列從第3項(xiàng)到第7項(xiàng)的和四、課堂小結(jié)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和10. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（二）一、知識歸納：1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：2錯位相減法：若：，則：，可以求和（注意：用前式第項(xiàng)減后式的第項(xiàng)錯位相減！）3等比數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：，成等比數(shù)列4等比數(shù)列判定：求和法：二例題講解：例1求和：（x+（其中x0，x1，y1）例2若是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，成等差數(shù)列，求證：成等差數(shù)列例3設(shè)數(shù)列為求此數(shù)列前項(xiàng)的和例4已知等差數(shù)列的第二項(xiàng)為8，前十項(xiàng)的和為185，從數(shù)列中，依次取出第2項(xiàng)、第4項(xiàng)、第

19、8項(xiàng)、第項(xiàng)，按原來的順序排成一個新數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式三針對訓(xùn)練：1一個等比數(shù)列前項(xiàng)的和為前項(xiàng)之和，求2數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求：（1），的值及通項(xiàng)公式；（2）的值3求和：四課堂小結(jié)1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：2錯位相減法的應(yīng)用；11. 數(shù)列的求和學(xué)案一、分組法求和：若：，且數(shù)列、的前n項(xiàng)和可以求出，則分組求和例1：已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前10項(xiàng)的和為145，求例2：求數(shù)列1，3，32，3n的各項(xiàng)的和例3：求和：；二、錯位相減法求和：（公差不為0的等差數(shù)列與公比不為1的等比數(shù)列的積的形式）若：，則：，可以求和（注意：用前式第項(xiàng)減后式的第項(xiàng)錯位相減?。├?：1；例5：設(shè)a為常數(shù)，

20、求數(shù)列a，2a2，3a3，nan，的前n項(xiàng)和例6：已知，數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比也為a的等比數(shù)列，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和三、裂項(xiàng)法求和：若：（裂項(xiàng)），則：（相消）提示：；例7：求：例8：求：例9：已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，首項(xiàng)也不為0，求和：12. 數(shù)列的求和練習(xí)1=；2數(shù)列中，求這個數(shù)列前30項(xiàng)的絕對值之和；3已知數(shù)列的前n項(xiàng)和其中a、b是非零常數(shù)，則存在數(shù)列、使得（）A，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列B，其中和都為等差數(shù)列C，其中為等差數(shù)列，都為等比數(shù)列D，其中和都為等比數(shù)列45設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且求的通項(xiàng)；求的前n項(xiàng)和6、求： =7、求： =13、求數(shù)列的通項(xiàng)公式學(xué)案一、型解

21、法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法（逐差相加法）求解例1：數(shù)列中，其通項(xiàng)公式=例2：（08年北京卷14）某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上，為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹方案如下：第k棵樹種植在點(diǎn)處，其中，當(dāng)時，表示非負(fù)實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，例如，按此方案，第6棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為；第2008棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為二、型解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法（逐商相乘法）求解例3：已知數(shù)列滿足，求三、（其中p，q均為常數(shù)，）型解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解例4：四、遞推公式為與的關(guān)系式(或)解法：這種類型一般利用與消去或與消去進(jìn)行求解例5：數(shù)列的前項(xiàng)和為，則是（）A等比數(shù)列 B等差數(shù)列 C從第2項(xiàng)起是等比數(shù)列 D從第2項(xiàng)起是等差數(shù)列五、型解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為例6：數(shù)列中，則（）A B C D14、求數(shù)列的通項(xiàng)公式練習(xí)1數(shù)列中，求其通項(xiàng)公式2（