第九章重積分部分習(xí)題

1、二重積分的概念與性質(zhì)四、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，求.解:根據(jù)積分中值定理，則至少存在一點使，根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性，所以二重積分的計算(1)一、計算下列二重積分:1. ，其中解：3.，其中解：4，其中解：5. =三、設(shè)f(x,y)在a,b上連續(xù), 證明：證明：令所以函數(shù)F(t)為單調(diào)不減函數(shù)，故結(jié)論成立。二重積分的計算(2)三、求由平面與柱面所圍成的立體的體積(a>0).解：設(shè)D為xoy坐標(biāo)面的圓面，則四、設(shè)閉區(qū)域為D上連續(xù)函數(shù)，且, 求解：五、求, 其中D是由所圍成的，f是連續(xù)函數(shù)解：因為被積函數(shù)在關(guān)于y軸對稱的區(qū)域D2上是奇函數(shù)，從而在關(guān)于x軸對稱的區(qū)域D1上, ,二重積分的應(yīng)用一、求由球面和柱面所

2、圍的且在柱面內(nèi)部部分的體積解：位于柱面內(nèi)的部分球有四塊，其體積相等，由曲面方程得二、求由曲面和曲面所圍成的立體的體積解：三、求球面被平面所分成的上半部分曲面的面積解：設(shè)D為平面區(qū)域，由曲面方程得，于是四、求由與所圍立體的表面積解：所圍立體在xoy坐標(biāo)面的投影區(qū)域D為，由曲面方程得，于是由曲面方程得，于是所求表面積為五、設(shè)有一半徑為R的空球，另有一半徑為r 的變球與空球相割，如果變球的球心在空球的表面上，問r 等于多少時，含在空球內(nèi)變球的表面積最大？并求出最大表面積的值解：變球與空球相交線為，它在xoy面投影為：由曲面方程得，于是六、求坐標(biāo)軸與所圍成三角形均勻薄片的重心解：重心的橫坐標(biāo)為：重心的

3、縱坐標(biāo)為：，所以重心為(1,2).七、由螺線與直線圍成一平面薄片D，面密度，求它的質(zhì)量解：質(zhì)量為：八、求均勻橢圓關(guān)于直線的轉(zhuǎn)動慣量，并求使轉(zhuǎn)動慣量最小的m值轉(zhuǎn)動慣量等于轉(zhuǎn)動質(zhì)量與其至轉(zhuǎn)動中心距離的平方的積；剛體的轉(zhuǎn)動慣量是由質(zhì)量、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸位置三個因素決定的。如果你知道什么是慣性，就能理解什么是轉(zhuǎn)動慣量。慣性：保持原來勻速直線運動狀態(tài)或者靜止?fàn)顟B(tài)的性質(zhì)，慣性（質(zhì)量）越大越難改變（容易保持）轉(zhuǎn)動慣量：保持原來勻速圓周運動狀態(tài)或者靜止?fàn)顟B(tài)的能力。舉個例子：呼啦圈轉(zhuǎn)動時不難停下，但大型機床上的帶動輪轉(zhuǎn)起來后你能輕易使它停下嗎？轉(zhuǎn)動慣量的單位為千克米2,符號為kg.m2。解：在橢圓上任取一點P(x

4、,y),P點關(guān)于直線的轉(zhuǎn)動慣量：當(dāng)m=0時，G最小為。九、求面密度為常數(shù)的均質(zhì)半圓環(huán)薄片：對位于z軸上點M0(0,0,a) (a > 0)處單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力F .解由積分區(qū)域關(guān)于x軸對稱性，有。設(shè)引力常數(shù)為G，則所以同理，故所求引力FFx，0，F(xiàn)z。三重積分的概念及其計算一、設(shè)為：為：，則( C )A. B. C. D. 二、計算其中是由所圍成的立體解由題設(shè)知，在xOy面上的投影區(qū)域為所以原式三、計算其中是由所圍成的立體解由題設(shè)知，在xOy面上的投影區(qū)域為所以原式四、計算其中是由所圍成的立體解由在xOy面的投影域為，可知，原式五、計算其中是由所圍成的立體解由在xOy面的投影域為，可知

5、，原式六、計算其中是由所圍成的立體解由在xOy面的投影域為，可知，原式七、計算其中是由所圍成的立體解由在xOy面的投影域為，可知，原式利用柱面、球面坐標(biāo)計算三重積分一、計算其中是由所圍成的立體解：為，在柱面坐標(biāo)系下，為，所以原式二、計算其中是由所圍成的立體解：為，在柱面坐標(biāo)系下，為，所以原式三、設(shè)為曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周形成曲面與平面z=4所圍成的區(qū)域，求。解：旋轉(zhuǎn)曲面為 故為，在柱面坐標(biāo)系下，為，所以原式四、，其中是由曲面及所圍成的所圍立體.解由方程得兩曲面的交線為從而在xOy平面上的投影區(qū)域為（z=0）在柱面坐標(biāo)系下，為，所以原式五、計算，其中是由曲面及所圍成的所圍立體.解:在球面坐標(biāo)系下,，

6、六、計算，其中是由曲面及所圍成的所圍立體.解:在球面坐標(biāo)系下,七、計算，其中是由曲面所圍成的所圍立體.解:在球面坐標(biāo)系下,八、將表示成柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系的累次積分，其中是由所圍成的所圍立體.解:在柱面坐標(biāo)系下,在球面坐標(biāo)系下,三重積分的應(yīng)用一、 一物體由圓錐和與圓錐共底的半球拼成，圓錐的高等于球的半徑a，物體上任一點處的密度等于該點到圓錐頂點的平方，求此物體的質(zhì)量解:在球面坐標(biāo)系下,二、設(shè)有一半徑為R的球體，P0是此球表面上的一定點，球體上任一點的密度與該點到P0距離的平方成正比（比例常數(shù)R > 0 ),求球體的重心位置解:設(shè)球體方程為,P0的坐標(biāo)為(0,0,R),密度函數(shù)為,球體的質(zhì)量為：利用函數(shù)關(guān)于x軸和y軸的奇偶性有所以重心坐標(biāo)為：三、設(shè)球在動點P(x,y,z)處的密度與該點到球心距離成正比，求質(zhì)量為m的非均勻球體對于其直徑的轉(zhuǎn)動慣量解:設(shè)球體方程為, ,密度函數(shù)為,球體的質(zhì)量為：所以，密度函數(shù)為,計算該球體繞z軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量：四、一勻質(zhì)