空間解析幾何與向量代數(shù)06558

1、第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)教學目的： 1、理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的運算（線性運算、數(shù)量積、向量積、混合積），掌握兩個向量垂直和平行的條件。3、 理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標表達式，熟練掌握用坐標表達式進行向量運算的方法。4、 掌握平面方程和直線方程及其求法。5、 會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關系（平行、垂直、相交等）解決有關問題。6、 會求點到直線以及點到平面的距離。7、 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。8、 了解空

2、間曲線的參數(shù)方程和一般方程。9、 了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求其方程。教學重點： 1、向量的線性運算、數(shù)量積、向量積的概念、向量運算及坐標運算； 2、兩個向量垂直和平行的條件； 3、平面方程和直線方程； 4、平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的相互位置關系的判定條件； 5、點到直線以及點到平面的距離； 6、常用二次曲面的方程及其圖形； 7、旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程； 8、空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。教學難點： 1、向量積的向量運算及坐標運算； 2、平面方程和直線方程及其求法； 3、點到直線的距離； 4、二次曲面圖形； 5、旋轉曲面的方程；§7. 1 向量及

3、其線性運算一、向量概念向量:在研究力學、物理學以及其他應用科學時,常會遇到這樣一類量,它們既有大小,又有方向.例如力、力矩、位移、速度、加速度等,這一類量叫做向量.在數(shù)學上,用一條有方向的線段(稱為有向線段)來表示向量.有向線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.向量的符號:以A為起點、B為終點的有向線段所表示的向量記作. 向量可用粗體字母表示,也可用上加箭頭書寫體字母表示,例如,a、r、v、F或、.自由向量:由于一切向量的共性是它們都有大小和方向,所以在數(shù)學上我們只研究與起點無關的向量,并稱這種向量為自由向量,簡稱向量.因此,如果向量a和b的大小相等,且方向相同,則說向量a和

4、b是相等的,記為a =b.相等的向量經過平移后可以完全重合.向量的模:向量的大小叫做向量的模.向量a、的模分別記為|a|、.單位向量:模等于1的向量叫做單位向量.零向量:模等于0的向量叫做零向量,記作0或.零向量的起點與終點重合,它的方向可以看作是任意的.向量的平行:兩個非零向量如果它們的方向相同或相反,就稱這兩個向量平行.向量a與b平行,記作a / b.零向量認為是與任何向量都平行.當兩個平行向量的起點放在同一點時,它們的終點和公共的起點在一條直線上.因此,兩向量平行又稱兩向量共線.類似還有共面的概念.設有k(k³3)個向量,當把它們的起點放在同一點時,如果k個終點和公共起點在一個

5、平面上,就稱這k個向量共面.二、向量的線性運算 1向量的加法向量的加法:設有兩個向量a與b,平移向量使b的起點與a的終點重合,此時從a的起點到b的終點的向量c稱為向量a與b的和,記作a+b,即c=a+b .三角形法則: 上述作出兩向量之和的方法叫做向量加法的三角形法則.平行四邊形法則: 當向量a與b不平行時,平移向量使a與b的起點重合, 以a、b為鄰邊作一平行四邊形,從公共起點到對角的向量等于向量a與b的和a+b.A B C A B C D 向量的加法的運算規(guī)律:(1)交換律a+b=b+a;(2)結合律(a+b)+c=a+(b+c).由于向量的加法符合交換律與結合律,故n個向量a1,a2,&#

6、215;××,an(n³3)相加可寫成a1+a2+×××+an,并按向量相加的三角形法則,可得n個向量相加的法則如下:使前一向量的終點作為次一向量的起點,相繼作向量a1,a2,×××,an,再以第一向量的起點為起點,最后一向量的終點為終點作一向量,這個向量即為所求的和.負向量:設a為一向量,與a的模相同而方向相反的向量叫做a的負向量,記為-a.向量的減法:我們規(guī)定兩個向量b與a的差為b-a=b+(-a).即把向量-a加到向量b上,便得b與a的差b-a.特別地,當b=a時,有a-a=a+(-a)=0.- -

7、 - 顯然,任給向量及點O,有,因此,若把向量a與b移到同一起點O,則從a的終點A向b的終點B所引向量便是向量b與a的差b-a.三角不等式: 由三角形兩邊之和大于第三邊的原理,有|a+b|£|a|+|b|及|a-b|£|a|+|b|,其中等號在b與a同向或反向時成立. 2向量與數(shù)的乘法 向量與數(shù)的乘法的定義: 向量a與實數(shù)l的乘積記作la,規(guī)定la是一個向量,它的模|la|=|l|a|,它的方向當l>0時與a相同,當l<0時與a相反. 當l=0時,|la|=0,即la為零向量,這時它的方向可以是任意的. 特別地,當l=±1時,有1a=a,(-1)a=-

8、a.運算規(guī)律:(1)結合律l(ma)=m(la)=(lm)a；(2)分配律 (l+m)a=la+ma；l(a+b)=la+lb.例1.在平行四邊形ABCD中,設=a,=b.試用a和b表示向量、,其中M是平行四邊形對角線的交點. 解 由于平行四邊形的對角線互相平分,所以A B C D M a+b,即-(a+b),于是(a+b).因為,所以(a+b).又因-a+b,所以(b-a).由于,所以(a-b).例1在平行四邊形ABCD中,設,.試用a和b表示向量、,其中M是平行四邊形對角線的交點.A B C D M 解 由于平行四邊形的對角線互相平分,所以,于是;.因為, 所以;向量的單位化:設a

9、5;0,則向量是與a同方向的單位向量,記為ea.于是a=|a|ea.向量的單位化:設a¹0,則向量是與a同方向的單位向量,記為ea.于是a = | a | ea.定理1 設向量a¹0,那么,向量b平行于a的充分必要條件是:存在唯一的實數(shù)l,使b=la.證明: 條件的充分性是顯然的,下面證明條件的必要性.設b/a.取,當b與a同向時l取正值,當b與a反向時l取負值,即b=la.這是因為此時b與la同向,且 |la|=|l|a|. 再證明數(shù)l的唯一性.設b=la,又設b=ma,兩式相減,便得(l-m)a=0,即|l-m|a|=0.因|a|¹0,故|l-m|=0,即l=

10、m. 給定一個點及一個單位向量就確定了一條數(shù)軸. 設點O及單位向量i確定了數(shù)軸Ox,對于軸上任一點P, 對應一個向量, 由/i, 根據定理1, 必有唯一的實數(shù)x, 使=xi(實數(shù)x叫做軸上有向線段的值), 并知與實數(shù)x一一對應. 于是 點P«向量= xi«實數(shù)x,從而軸上的點P與實數(shù)x有一一對應的關系. 據此, 定義實數(shù)x為軸上點P的坐標. 由此可知, 軸上點P的坐標為x的充分必要條件是= xi.三、空間直角坐標系 在空間取定一點O和三個兩兩垂直的單位向量i、j、k, 就確定了三條都以O為原點的兩兩垂直的數(shù)軸,依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸),統(tǒng)稱為坐標軸.

11、它們構成一個空間直角坐標系,稱為Oxyz坐標系. 注: (1)通常三個數(shù)軸應具有相同的長度單位;(2)通常把x 軸和y軸配置在水平面上,而z軸則是鉛垂線;(3)數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則. 坐標面: 在空間直角坐標系中, 任意兩個坐標軸可以確定一個平面,這種平面稱為坐標面.x軸及y軸所確定的坐標面叫做xOy面,另兩個坐標面是yOz面和zOx面. 卦限: 三個坐標面把空間分成八個部分,每一部分叫做卦限,含有三個正半軸的卦限叫做第一卦限,它位于xOy面的上方.在xOy面的上方,按逆時針方向排列著第二卦限、第三卦限和第四卦限.在xOy面的下方,與第一卦限對應的是第五卦限,按逆時針方向還排列著第六卦

12、限、第七卦限和第八卦限.八個卦限分別用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示. 向量的坐標分解式: 任給向量r,對應有點M,使.以OM為對角線、三條坐標軸為棱作長方體,有,設,則.上式稱為向量r的坐標分解式,xi、yj、zk稱為向量r沿三個坐標軸方向的分向量.顯然,給定向量r,就確定了點M及,三個分向量,進而確定了x、y、z三個有序數(shù);反之,給定三個有序數(shù)x、y、z也就確定了向量r與點M.于是點M、向量r與三個有序x、y、z之間有一一對應的關系.據此,定義:有序數(shù)x、y、z稱為向量r(在坐標系Oxyz)中的坐標,記作r=(x,y,z);有序數(shù)x、y、z也稱為點M(在坐標系O

13、xyz)的坐標,記為M(x,y,z).向量稱為點M關于原點O的向徑.上述定義表明,一個點與該點的向徑有相同的坐標.記號(x,y,z)既表示點M,又表示向量.坐標面上和坐標軸上的點, 其坐標各有一定的特征. 例如: 點M在yOz面上, 則x=0; 同相, 在zOx面上的點,y=0; 在xOy面上的點,z=0. 如果點M在x軸上, 則y=z=0; 同樣在y軸上,有z=x=0; 在z軸上 的點, 有x=y=0. 如果點M為原點, 則x=y=z=0.四、利用坐標作向量的線性運算設a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)即 a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,則 a+b=(

14、axi+ayj+azk)+(bxi+byj+bzk)=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k=(ax+bx,ay+by,az+bz).a-b=(axi+ayj+azk)-(bxi+byj+bzk)=(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k=(ax-bx,ay-by,az-bz).la=l(axi+ayj+azk) =(lax)i+(lay)j+(laz)k=(lax,lay,laz).利用向量的坐標判斷兩個向量的平行:設a=(ax,ay,az)¹0,b=(bx,by,bz),向量b/aÛb=la,即b/aÛ(bx,by,bz)=l(ax,

15、ay,az),于是. 例2求解以向量為未知元的線性方程組,其中a=(2, 1, 2),b=(-1, 1,-2).解 如同解二元一次線性方程組, 可得x=2a-3b,y=3a-5b.以a、b的坐標表示式代入, 即得x=2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1,10),y=3(2,1,2)-5(-1,1,-2)=(11,-2,16).例3 已知兩點A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及實數(shù)l¹-1,在直線AB上求一點M, 使.解由于,因此,從而.,這就是點M的坐標.另解 設所求點為M (x,y,z),則,.依題意有,即 (x-x1,y-y1,z-z1)=l(x2-x

16、,y2-y,z2-z) (x,y,z)-(x1,y1,z1)=l(x2,y2,z2)-l(x,y,z),.點M叫做有向線段的定比分點.當l=1,點M的有向線段的中點,其坐標為,. 五、向量的模、方向角、投影1向量的模與兩點間的距離公式 設向量r=(x,y,z), 作, 則,按勾股定理可得,設,有 |OP|=|x|,|OQ|=|y|,|OR|=|z|,于是得向量模的坐標表示式.設有點A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2), 則=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),于是點A與點B間的距離為. 例4 求證以M1(4, 3, 1)、M2 (7,

17、1, 2)、M3 (5, 2, 3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.解因為 | M1M2|2 =(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2 =14, | M2M3|2 =(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2 =6, | M1M3|2 =(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2 =6,所以|M2 M3|=|M1M3|,即DM1 M2 M3為等腰三角形.例5 在z軸上求與兩點A(-4, 1, 7)和B(3, 5,-2)等距離的點.解設所求的點為M(0, 0,z),依題意有|MA|2=|MB|2,即 (0+4)2+(0-1)2+(z-7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得,

18、所以,所求的點為.例6 已知兩點A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3),求與方向相同的單位向量e.解因為,所以. 2方向角與方向余弦當把兩個非零向量a與b的起點放到同一點時,兩個向量之間的不超過p的夾角稱為向量a與b的夾角,記作或.如果向量a與b中有一個是零向量,規(guī)定它們的夾角可以在0與p之間任意取值.類似地,可以規(guī)定向量與一軸的夾角或空間兩軸的夾角.非零向量r與三條坐標軸的夾角a、b、g稱為向量r的方向角.向量的方向余弦:設r=(x,y,z),則x=|r|cosa,y=|r|cosb,z=|r|cosg. cosa、cosb、cosg稱為向量r的方向余弦.,.從而.上式表明,以向量r的方

19、向余弦為坐標的向量就是與r同方向的單位向量er.因此cos2a+cos2b+cos2g=1.例3設已知兩點)和B(1, 3, 0),計算向量的模、方向余弦和方向角.解;,;,. 3向量在軸上的投影設點O及單位向量e確定u軸.任給向量r,作,再過點M作與u軸垂直的平面交u軸于點M¢(點M¢叫作點M在u軸上的投影),則向量稱為向量r在u軸上的分向量.設,則數(shù)l稱為向量r在u軸上的投影,記作Prjur或(r)u.按此定義,向量a在直角坐標系Oxyz中的坐標ax,ay,az就是a在三條坐標軸上的投影,即ax=Prjxa,ay=Prjya,az=Prjza.投影的性質:性質1 (a)

20、u=|a|cos j (即Prjua=|a|cos j),其中j為向量與u軸的夾角;性質2 (a+b)u=(a)u+(b)u (即Prju(a+b)= Prjua+Prjub);性質3 (la)u=l(a)u (即Prju(la)=lPrjua); §7. 2數(shù)量積 向量積 一、兩向量的數(shù)量積數(shù)量積的物理背景: 設一物體在常力F作用下沿直線從點M1移動到點M2. 以s表示位移. 由物理學知道, 力F所作的功為 W = |F| |s| cosq, 其中q 為F與s的夾角. 數(shù)量積: 對于兩個向量a和b, 它們的模 |a|、|b| 及它們的夾角q 的余弦的乘積稱為向量a和b的數(shù)量積, 記

21、作a×b, 即a·b=|a|b| cosq. 數(shù)量積與投影: 由于|b| cosq=|b|cos(a, b), 當a¹0時, |b| cos(a, b) 是向量b在向量a的方向上的投影, 于是a·b = |a| Prjab. 同理, 當b¹0時, a·b = |b| Prjba. 數(shù)量積的性質: (1) a·a = |a| 2. (2) 對于兩個非零向量a、b, 如果a·b =0, 則ab; 反之, 如果ab, 則a·b =0. 如果認為零向量與任何向量都垂直, 則ab Û a·b =

22、0. 數(shù)量積的運算律: (1)交換律: a·b =b·a; (2)分配律: (a+b)×c=a×c+b×c. (3) (la)·b =a·(lb) =l(a·b), (la)·(mb) =lm(a·b), l、m為數(shù). (2)的證明:分配律(a+b)×c=a×c+b×c的證明: 因為當c=0時, 上式顯然成立; 當c¹0時, 有(a+b)×c=|c|Prjc(a+b)=|c|(Prjca+Prjcb)=|c|Prjca+|c|Prjcb=a

23、15;c+b×c.例1 試用向量證明三角形的余弦定理.證: 設在ABC中, BCA=q (圖7-24), |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c,要證c 2=a 2+b 2-2 ab cos q .記=a, =b, =c, 則有 c=a-b,從而 |c|2=c×c=(a-b)(a-b)=a×a+b×b-2a×b=|a|2+|b|2-2|a|b|cos(a,b),即c 2=a 2+b 2-2 ab cos q . 數(shù)量積的坐標表示: 設a=(ax,ay,az ), b=(bx,by,bz ), 則a·b=axbx+ayby+azb

24、z .提示: 按數(shù)量積的運算規(guī)律可得a·b =( ax i +ay j +az k)·(bx i +by j +bz k)=axbxi·i +ax by i·j +ax bz i·k+aybxj ·i +ay by j ·j +ay bz j·k+azbxk·i +az by k·j +az bz k·k= axbx+ ay by+ az bz . 兩向量夾角的余弦的坐標表示: 設q=(a, b), 則當a¹0、b¹0時, 有. 提示:a·b=|a|b|c

25、osq. 例2 已知三點M (1, 1, 1)、A (2, 2, 1)和B (2, 1, 2), 求ÐAMB. 解 從M到A的向量記為a,從M到B的向量記為b,則ÐAMB就是向量a與b的夾角. a=1, 1, 0, b=1, 0, 1. 因為a×b=1´1+1´0+0´1=1, , . 所以. 從而. 例3設液體流過平面S 上面積為A的一個區(qū)域, 液體在這區(qū)域上各點處的流速均為（常向量)v. 設n為垂直于S的單位向量（圖7-25(a)）,計算單位時間內經過這區(qū)域流向n所指一方的液體的質量P(液體的密度為). 解 單位時間內流過這區(qū)域的

26、液體組成一個底面積為A、斜高為| v |的斜柱體(圖7-25(b).這柱體的斜高與底面的垂線的夾角就是v 與n的夾角q , 所以這柱體的高為|v |cosq, 體積為 A|v |cos q=A v ·n.從而, 單位時間內經過這區(qū)域流向n所指一方的液體的質量為P=rAv ·n.二、兩向量的向量積 在研究物體轉動問題時, 不但要考慮這物體所受的力, 還要分析這些力所產生的力矩. 設O為一根杠桿L的支點.有一個力F作用于這杠桿上P點處. F與的夾角為q. 由力學規(guī)定, 力F對支點O的力矩是一向量M, 它的模, 而M的方向垂直于與F所決定的平面, M的指向是的按右手規(guī)則從以不超過

27、p的角轉向F來確定的. 向量積: 設向量c是由兩個向量a與b按下列方式定出: c的模 |c|=|a|b|sin q, 其中q 為a與b間的夾角; c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉向b來確定. 那么, 向量c叫做向量a與b的向量積, 記作a´b, 即c =a´b. 根據向量積的定義,力矩M等于與F的向量積, 即. 向量積的性質: (1)a´a =0; (2) 對于兩個非零向量a、b, 如果a´b = 0, 則a/b; 反之, 如果a/b, 則a´b =0. 如果認為零向量與任何向量都平行, 則a/b Û a&

28、#180;b = 0. 數(shù)量積的運算律: (1) 交換律a´b = -b´a; (2) 分配律: (a+b)´c = a´c + b´c. (3)(la)´b = a´(lb) = l(a´b) (l為數(shù)). 數(shù)量積的坐標表示: 設a = ax i +ay j +az k, b = bx i +by j +bz k. 按向量積的運算規(guī)律可得a´b = ( ax i +ay j +az k) ´ ( bx i +by j +bz k)= axbxi´i +ax by i´j +

29、ax bz i´k+aybxj´i +ay by j´j +ay bz j´k+azbxk´i +az by k´j +az bz k´k. 由于i´i = j´j = k´k = 0, i´j = k, j´k =i, k´i = j, 所以a´b = ( ay bz- az by) i + ( azbx- ax bz) j + ( ax by- aybx) k. 為了邦助記憶, 利用三階行列式符號, 上式可寫成=aybzi+azbxj+axbyk-ay

30、bxk-axbz j-azbyi= ( ay bz- az by) i + ( azbx- ax bz) j + ( ax by- aybx) k. . 例4 設a=(2, 1,-1),b=(1,-1, 2), 計算a´b. 解 =2i-j-2k-k-4j-i=i-5j -3k. 例5 已知三角形ABC的頂點分別是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面積. 解 根據向量積的定義, 可知三角形ABC的面積. 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i-6j+2k.于是. 例6 設剛體以等角速度w繞l 軸旋轉,

31、計算剛體上一點M的線速度. 解 剛體繞l 軸旋轉時, 我們可以用在l 軸上的一個向量w表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手規(guī)則定出: 即以右手握住l軸, 當右手的四個手指的轉向與剛體的旋轉方向一致時, 大姆指的指向就是w的方向. 設點M到旋轉軸l的距離為a, 再在l軸上任取一點O作向量r =, 并以q 表示w與r的夾角, 那么a = |r| sinq. 設線速度為v, 那么由物理學上線速度與角速度間的關系可知, v的大小為 |v| =| w|a= |w| |r| sinq; v的方向垂直于通過M點與l軸的平面, 即v垂直于w與r, 又v的指向是使w、r、v符合右手規(guī)則. 因

32、此有v = w´r. ;§7. 3 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 在空間解析幾何中,任何曲面都可以看作點的幾何軌跡.在這樣的意義下,如果曲面S與三元方程F(x,y,z)=0有下述關系: (1) 曲面S上任一點的坐標都滿足方程F(x,y,z)=0; (2) 不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程F(x,y,z)=0,那么,方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程F(x,y,z)=0的圖形. 常見的曲面的方程: 例1 建立球心在點M0(x0,y0,z0)、半徑為R的球面的方程. 解 設M(x,y,z)是球面上的任一點,那么|M0M|=R. 即 ,或 (x-

33、x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 這就是球面上的點的坐標所滿足的方程.而不在球面上的點的坐標都不滿足這個方程.所以 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 就是球心在點M0(x0,y0,z0)、半徑為R的球面的方程. 特殊地,球心在原點O(0, 0, 0)、半徑為R的球面的方程為x2+y2+z2=R2. 例2 設有點A(1, 2, 3)和B(2,-1, 4),求線段AB的垂直平分面的方程. 解由題意知道,所求的平面就是與A和B等距離的點的幾何軌跡.設M(x,y,z)為所求平面上的任一點,則有|AM|=|BM|,即 . 等式兩邊平方,然后化簡得2x-6y+2z-7

34、=0. 這就是所求平面上的點的坐標所滿足的方程,而不在此平面上的點的坐標都不滿足這個方程,所以這個方程就是所求平面的方程. 研究曲面的兩個基本問題: (1) 已知一曲面作為點的幾何軌跡時,建立這曲面的方程; (2) 已知坐標x、y和z間的一個方程時,研究這方程所表示的曲面的形狀. 例3 方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎樣的曲面？解 通過配方,原方程可以改寫成 (x-1)2+(y+2)2+z2=5. 這是一個球面方程,球心在點M0(1,-2, 0)、半徑為. 一般地,設有三元二次方程Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0,這個方程的特點是缺xy,yz,zx各項,而且平方項系數(shù)

35、相同,只要將方程經過配方就可以化成方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. 的形式,它的圖形就是一個球面. 二、旋轉曲面 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面叫做旋轉曲面,這條定直線叫做旋轉曲面的軸. 設在yOz坐標面上有一已知曲線C,它的方程為f (y,z) =0,把這曲線繞z軸旋轉一周,就得到一個以z軸為軸的旋轉曲面.它的方程可以求得如下: 設M(x,y,z)為曲面上任一點,它是曲線C上點M1(0,y1,z1)繞z軸旋轉而得到的.因此有如下關系等式,從而得 ,這就是所求旋轉曲面的方程. 在曲線C的方程f(y,z)=0中將y改成,便得曲線C繞z 軸旋轉所成的

36、旋轉曲面的方程. 同理,曲線C繞y 軸旋轉所成的旋轉曲面的方程為. 例4 直線L繞另一條與L相交的直線旋轉一周,所得旋轉曲面叫做圓錐面.兩直線的交點叫做圓錐面的頂點,兩直線的夾角a()叫做圓錐面的半頂角.試建立頂點在坐標原點O,旋轉軸為z軸,半頂角為a的圓錐面的方程. 解 在yOz坐標面內,直線L的方程為 z=ycot a,將方程z=ycota中的y改成,就得到所要求的圓錐面的方程,或 z2=a2 (x2+y2),其中a=cot a. 例5.將zOx坐標面上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉一周,求所生成的旋轉曲面的方程. 解 繞x軸旋轉所在的旋轉曲面的方程為;繞z軸旋轉所在的旋轉曲面的方程為. 這

37、兩種曲面分別叫做雙葉旋轉雙曲面和單葉旋轉雙曲面. 三、柱面 例6 方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？ 解 方程x2+y2=R2在xOy面上表示圓心在原點O、半徑為R的圓.在空間直角坐標系中,這方程不含豎坐標z, 即不論空間點的豎坐標z怎·樣,只要它的橫坐標x和縱坐標y能滿足這方程,那么這些點就在這曲面上.也就是說,過xOy面上的圓x2+y2=R2,且平行于z軸的直線一定在x2+y2=R2表示的曲面上.所以這個曲面可以看成是由平行于z軸的直線l 沿xOy面上的圓x2+y2=R2移動而形成的.這曲面叫做圓柱面,xOy面上的圓x2+y2=R2叫做它的準線,這平行于z軸的直線l 叫做它的母

38、線. 例6 方程x2+y2=R2表示怎樣的曲面？ 解 在空間直角坐標系中,過xOy面上的圓x2+y2=R2作平行于z軸的直線l,則直線l上的點都滿足方程x2+y2=R2,因此直線l一定在x2+y2=R2表示的曲面上.所以這個曲面可以看成是由平行于z軸的直線l 沿xOy面上的圓x2+y2=R2移動而形成的.這曲面叫做圓柱面,xOy面上的圓x2+y2=R2叫做它的準線,這平行于z軸的直線l 叫做它的母線. 柱面: 平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面,定曲線C叫做柱面的準線,動直線L叫做柱面的母線. 上面我們看到,不含z的方程x2+y2=R2在空間直角坐標系中表示圓柱面,它的母線

39、平行于z軸,它的準線是xOy面上的圓x2+y2=R2. 一般地,只含x、y而缺z的方程F(x,y)=0,在空間直角坐標系中表示母線平行于z 軸的柱面,其準線是xOy面上的曲線C: F(x,y)=0. 例如,方程y2=2x表示母線平行于z軸的柱面,它的準線是xOy 面上的拋物線y2 =2x,該柱面叫做拋物柱面. 又如,方程 x-y=0表示母線平行于z軸的柱面,其準線是xOy面的直線 x-y=0,所以它是過z 軸的平面. 類似地,只含x、z而缺y的方程G(x,z)=0和只含y、z而缺x的方程H(y,z)=0分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面. 例如,方程 x-z=0表示母線平行于y軸的柱面,其準線

40、是zOx面上的直線 x-z=0. 所以它是過y軸的平面. 四、二次曲面 與平面解析幾何中規(guī)定的二次曲線相類似,我們把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.把平面叫做一次曲面. 怎樣了解三元方程F(x,y,z)=0所表示的曲面的形狀呢? 方法之一是用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截,考察其交線的形狀,然后加以綜合,從而了解曲面的立體形狀.這種方法叫做截痕法.研究曲面的另一種方程是伸縮變形法:設S是一個曲面,其方程為F(x,y,z)=0,S ¢是將曲面S沿x軸方向伸縮l倍所得的曲面.顯然,若(x,y,z)ÎS,則(lx,y,z)ÎS¢若(x,y,z)&#

41、206;S¢,則.因此,對于任意的(x,y,z)ÎS¢,有,即是曲面S¢的方程.例如，把圓錐面沿y軸方向伸縮倍,所得曲面的方程為,即. (1)橢圓錐面由方程所表示的曲面稱為橢圓錐面. 圓錐曲面在y軸方向伸縮而得的曲面.把圓錐面沿y軸方向伸縮倍,所得曲面稱為橢圓錐面.以垂直于z軸的平面z=t截此曲面,當t=0時得一點(0, 0, 0);當t¹0時,得平面z=t上的橢圓.當t變化時,上式表示一族長短軸比例不變的橢圓,當|t|從大到小并變?yōu)?時,這族橢圓從大到小并縮為一點.綜合上述討論,可得橢圓錐面的形狀如圖. (2)橢球面由方程所表示的曲面稱為橢球

42、面.球面在x軸、y軸或z軸方向伸縮而得的曲面.把x2+y2+z2=a2沿z軸方向伸縮倍,得旋轉橢球面;再沿y軸方向伸縮倍,即得橢球面.(3)單葉雙曲面由方程所表示的曲面稱為單葉雙曲面.把zOx面上的雙曲線繞z軸旋轉, 得旋轉單葉雙曲面; 再沿y軸方向伸縮倍, 即得單葉雙曲面.(4)雙葉雙曲面由方程所表示的曲面稱為雙葉雙曲面. 把zOx面上的雙曲線繞x軸旋轉, 得旋轉雙葉雙曲面; 再沿y軸方向伸縮倍, 即得雙葉雙曲面.(5)橢圓拋物面由方程所表示的曲面稱為橢圓拋物面. 把zOx面上的拋物線繞z軸旋轉, 所得曲面叫做旋轉拋物面, 再沿y軸方向伸縮倍, 所得曲面叫做橢圓拋物面(6)雙曲拋物面.由方程

43、所表示的曲面稱為雙曲拋物面. 雙曲拋物面又稱馬鞍面. 用平面x=t截此曲面, 所得截痕l為平面x=t上的拋物線,此拋物線開口朝下, 其項點坐標為. 當t變化時,l的形狀不變, 位置只作平移, 而l的項點的軌跡L為平面y=0上的拋物線.因此, 以l為母線,L為準線, 母線l的項點在準線L上滑動, 且母線作平行移動, 這樣得到的曲面便是雙曲拋物面. 還有三種二次曲面是以三種二次曲線為準線的柱面:,依次稱為橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面. §7. 4 空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程空間曲線可以看作兩個曲面的交線.設F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0是兩個曲面方程,它們的交線為

44、C.因為曲線C上的任何點的坐標應同時滿足這兩個方程,所以應滿足方程組.反過來,如果點M不在曲線C上,那么它不可能同時在兩個曲面上,所以它的坐標不滿足方程組. 因此,曲線C可以用上述方程組來表示.上述方程組叫做空間曲線C的一般方程.例1 方程組表示怎樣的曲線? 解 方程組中第一個方程表示母線平行于z軸的圓柱面,其準線是xOy面上的圓,圓心在原點O,半行為1.方程組中第二個方程表示一個母線平行于y軸的柱面,由于它的準線是zOx面上的直線,因此它是一個平面.方程組就表示上述平面與圓柱面的交線.例2 方程組表示怎樣的曲線? 解 方程組中第一個方程表示球心在坐標原點O,半行為a的上半球面.第二個方程表示

45、母線平行于z軸的圓柱面,它的準線是xOy面上的圓,這圓的圓心在點,半行為.方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線.例2¢方程組表示怎樣的曲線? 解 方程組中第一個方程表示球心在坐標原點O,半行為2a的上半球面.第二個方程表示母線平行于z軸的圓柱面,它的準線是xOy面上的圓,這圓的圓心在點(a,0) ,半行為a.方程組就表示上述半球面與圓柱面的交線.二、空間曲線的參數(shù)方程空間曲線C的方程除了一般方程之外,也可以用參數(shù)形式表示,只要將C上動點的坐標x、y、z表示為參數(shù)t的函數(shù): .當給定t=t1時,就得到C上的一個點(x1,y1,z1);隨著t的變動便得曲線C上的全部點.方程組(2)叫做空

46、間曲線的參數(shù)方程.例3 如果空間一點M在圓柱面x2+y2=a2 上以角速度w繞z軸旋轉,同時又以線速度v沿平行于z軸的正方向上升(其中w、v都是常數(shù)),那么點M構成的圖形叫做螺旋線.試建立其參數(shù)方程.解 取時間t為參數(shù).設當t=0時,動點位于x軸上的一點A(a, 0, 0)處.經過時間t,動點由A運動到M(x,y,z)(圖7-44).記M在xOy面上的投影為M¢,M¢的坐標為x,y,0.由于動點在圓柱面上以角速度w 繞 z軸旋轉,所以經過時間t,AOM¢= w t.從而 x=|OM¢|cosAOM¢=acos w t, y=|OM¢|

47、sinAOM¢=asin w t,由于動點同時以線速度v沿平行于 z軸的正方向上升,所以 z=MM¢=vt .因此螺旋線的參數(shù)方程為,也可以用其他變量作參數(shù);例如令q=wt,則螺旋線的參數(shù)方程可寫為,其中,而參數(shù)為q . *曲面的參數(shù)方程 曲面的參數(shù)方程通常是含兩個參數(shù)的方程, 形如. 例如空間曲線G (a£t£b),繞z軸旋轉, 所得旋轉曲面的方程為(a£t£b,0£q£2p).(4)這是因為, 固定一個t, 得G上一點M1(j(t),y(t),w(t), 點M1繞z軸旋轉, 得空間的一個圓, 該圓在平面z=w(

48、t)上, 其半徑為點M1到z軸的距離, 因此, 固定t的方程(4)就是該圓的參數(shù)方程. 再令t在a,b內變動, 方程(4)便是旋轉曲面的方程. 例如直線繞z軸旋轉所得旋轉曲面的方程為.(上式消t和q, 得曲面的直角坐標方程為) 又如球面x2+y2+z2=a2可看成zOx面上的半圓周(0£j£p)繞z軸旋轉所得, 故球面方程為(0£j£p,0£q£2p).三、空間曲線在坐標面上的投影以曲線C為準線、母線平行于z軸的柱面叫做曲線C關于xOy面的投影柱面,投影柱面與xOy面的交線叫做空間曲線C在xOy面上的投影曲線,或簡稱投影(類似地可以定

49、義曲線C在其它坐標面上的投影).設空間曲線C的一般方程為.設方程組消去變量z后所得的方程 H(x,y)=0 ,這就是曲線C關于xOy面的投影柱面.這是因為: 一方面方程H(x,y)=0表示一個母線平行于z軸的柱面,另一方面方程H(x,y)=0是由方程組消去變量z后所得的方程,因此當x、y、z滿足方程組時,前兩個數(shù)x、y必定滿足方程H(x,y)=0 ,這就說明曲線C上的所有點都在方程H(x,y)=0所表示的曲面上,即曲線C在方程H(x,y)=0表示的柱面上.所以方程H(x,y)=0表示的柱面就是曲線C關于xOy面的投影柱面.曲線C在xOy面上的投影曲線的方程為: .討論: 曲線C關于yOz 面和

50、zOx面的投影柱面的方程是什么?曲線C在yOz 面和zOx面上的投影曲線的方程是什么? 例4 已知兩球面的方程為x2+y2+z2=1, (5)和x2+(y-1)2+(z-1)2=1, (6)求它們的交線C在xOy面上的投影方程.解 先將方程x2+(y-1)2+(z-1)2=1化為x2+y2+z2-2y-2z=1,然后與方程x2+y2+z2=1相減得 y+z=1.將 z=1-y代入x2+y2+z2=1 得x2+2y2-2y=0.這就是交線C關于xOy面的投影柱面方程.兩球面的交線C在xOy面上的投影方程為.例5 求由上半球面和錐面所圍成立體在xOy面上的投影.解 由方程和消去z得到x2+y2=1

51、.這是一個母線平行于z軸的圓柱面,容易看出,這恰好是半球面與錐面的交線C關于xOy面的投影柱面,因此交線C在xOy面上的投影曲線為.這是xOy面上的一個圓,于是所求立體在xOy面上的投影,就是該圓在xOy面上所圍的部分:x2+y2£1.:§7. 5 平面及其方程 一、平面的點法式方程法線向量:如果一非零向量垂直于一平面,這向量就叫做該平面的法線向量.容易知道,平面上的任一向量均與該平面的法線向量垂直.唯一確定平面的條件: 當平面P上一點M0 (x0,y0,z0)和它的一個法線向量n=(A,B,C)為已知時,平面P的位置就完全確定了.平面方程的建立: 設M (x,y,z)是平

52、面P上的任一點.那么向量必與平面P的法線向量n垂直,即它們的數(shù)量積等于零: .由于 n =(A,B,C),所以 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.這就是平面P上任一點M的坐標x,y,z所滿足的方程. 反過來,如果M (x,y,z)不在平面P上,那么向量與法線向量n不垂直,從而.,即不在平面P上的點M的坐標x,y,z不滿足此方程. 由此可知,方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z- z0)=0就是平面P的方程.而平面P就是平面方程的圖形.由于方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z- z0)=0是由平面P上的一點M0(x0,y0,z0)及它的一個法線向量n =(A,B,C

53、)確定的,所以此方程叫做平面的點法式方程. 例1求過點(2,-3,0)且以n=(1,-2, 3)為法線向量的平面的方程. 解根據平面的點法式方程,得所求平面的方程為 (x-2)-2(y+3)+3z=0,即x-2y+3z-8=0.例2求過三點M1(2,-1, 4)、M2(-1, 3,-2)和M3(0, 2, 3)的平面的方程.解我們可以用作為平面的法線向量n.因為,所以.根據平面的點法式方程,得所求平面的方程為 14(x-2)+9(y+1)-(z -4)=0,即14x+9y- z-15=0.二、平面的一般方程 由于平面的點法式方程是x,y,z的一次方程,而任一平面都可以用它上面的一點及它的法線向

54、量來確定,所以任一平面都可以用三元一次方程來表示 . 反過來,設有三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0.我們任取滿足該方程的一組數(shù)x0,y0,z0,即 Ax0+By0+Cz0 +D=0.把上述兩等式相減,得 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,這正是通過點M0(x0,y0,z0)且以n=(A,B,C)為法線向量的平面方程.由于方程 Ax+By+Cz+D=0.與方程 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0同解,所以任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的圖形總是一個平面.方程Ax+By+Cz+D=0稱為平面的一般方程,其中x,y,z的系數(shù)就是該平面的一個法線向量n

55、的坐標,即 n=(A,B,C). 例如,方程3x-4y+z-9=0表示一個平面,n=(3,-4, 1)是這平面的一個法線向量. 討論: 考察下列特殊的平面方程,指出法線向量與坐標面、坐標軸的關系,平面通過的特殊點或線. Ax+By+Cz=0; By+Cz+D=0, Ax+Cz+D=0, Ax+By+D=0; Cz+D=0, Ax+D=0, By+D=0.提示: D=0,平面過原點.n=(0,B,C),法線向量垂直于x軸,平面平行于x軸.n=(A, 0,C),法線向量垂直于y軸,平面平行于y軸.n=(A,B, 0),法線向量垂直于z軸,平面平行于z軸.n=(0, 0,C),法線向量垂直于x軸和y軸,平面平行于xOy平面.n=(A,0, 0),法線向量垂直于y軸和z軸,平面平行于yO