由三角形內切圓導出的一個三角形的面積公式應用

1、由“三角形內切圓”引出的2個中考命題OCBA我們知道：和三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，內切圓的圓心叫三角形的內心，它是三角形3條內角平分線的交點，它到三角形三邊的距離相等，這個距離就是三角形的內切圓的半徑（如圖甲）.觀察圖形3個角平分線將三角形分成3個三角形，而每個三角形的高均為內切圓的半徑，底為三角形的三邊長.所以SABC=SOAB+SOBC+SOCA=+=（r為內切圓的半徑）從上述三角形面積的探究過程中隱含了一種重要的數學思維方法，有些圖形的面積可以通過適當的分割，分割為若干個可求圖形的面積，利用整體等于各個部分面積之和從而獲得上面的結論.我們知道三角形是多邊形中最簡單的多邊形，而

2、且任意的三角形都存在唯一的內切圓，但四邊形不一定存在內切圓，假若四邊形存在一個內切圓上述結論成立嗎？對于任意的n邊形呢？請欣賞如下的江蘇省淮安市06年的一道中考題：例1、閱讀材料：如圖(一)，ABC的周長為，內切圓O的半徑為r,連結OA、OB、OC，ABC被劃分為三個小三角形，用SABC表示ABC的面積 SABC=SOAB+SOBC+SOCA又SOAB=，SOBC=，SOCA =SABC=+= (可作為三角形內切圓半徑公式)（1）理解與應用：利用公式計算邊長分為5、12、13的三角形內切圓半徑；(2)類比與推理：若四邊形ABCD存在內切圓(與各邊都相切的圓，如圖(二)且面積為S，各邊長分別為a

3、、b、c、d，試推導四邊形的內切圓半徑公式；（3）拓展與延伸：若一個n邊形(n為不小于3的整數)存在內切圓，且面積為S，各邊長分別為a1、a2、a3、an，合理猜想其內切圓半徑公式(不需說明理由)分析：本題創(chuàng)設了一個以“閱讀材料三角形的面積與內切圓半徑及周長之間關系”的問題背景，通過閱讀使讀者體會到“同一個圖形分割后整體的面積等于各個部分之和”，其中的巧妙之處在于分割后3個三角形的高均為內切圓的半徑，因而三角形的面積等于三角形的周長之半與內切圓半徑之積.O（1）首先根據三邊之間關系判定是直角三角形，即52+122=132由勾股定理的逆定理可知：邊長分為5、12、13的三角形，所以SABC=30

4、，設內切圓半徑為r，則有30=，所以r=2（2）設四邊形內切圓的圓心為點O，分別連接OA、OB、OC、OD，將四邊形ABCD分割為4個三角形AOB、BOC、COD、DOA，它們的高視為四邊形ABCD的內切圓半徑，則有S=·r，所以 （3）根據閱讀材料及問題（2）的解答過程，進行類比推理，不難猜想：面積為S，各邊長分別為a1、a2、a3、an的n邊形(n為不小于3的整數)內切圓半徑公式.評注：本題是提供的是“一個多邊形如果存在內切圓，那么這個多邊形的面積如何用多邊形的周長及內切圓的半徑來表示”的研究課題，試題首先從最簡單三角形的內切圓入手讓學生通過閱讀獲得問題的解題方法，經歷解決問題的

5、過程并掌握得到問題的結論，然后讓學生類比遷移問題的處理方法，去解決四邊形內切圓問題，然后從特殊到一般讓學生猜想對任意的n邊形的內切圓的半徑與n邊形的面積與各邊長之間的關系. 通過本題的解答讀者應該掌握“學會從特殊情況、簡單情況入手，觀察分析推理，得出規(guī)律后再向一般情況推廣的研究問題“的數學方法 例2、(天津)已知RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8.ABCO1圖2-1(1)如圖2-1，若半徑為r1的O是RtABC 的內切圓，求r1；(2)如圖2-2，若半徑為的兩個等圓O1、O2外切，且O1與AC、AB相切，O2與BC、AB相切，求；ABCO2O1圖2-2ABCOnO3O2

6、O1圖2-3(3)如圖2-3，當n是大于2的正整數時，若半徑為的n個等圓O1、O2、ON依次外切，且O1與AC、AB相切，On與BC、AB相切，O2、O3、On-1均與AB邊相切，求.圖2-(4)ABCO1EFD解(1)在RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8. AB=10.如圖2-（4），設O1與RtABC的邊AB、BC、CA分別切于點D、E、F，連接O1D、O1E、O1F、AO1、BO1、CO1.于是，O1DAB，O1EBC，O1FAC，=×AC×O1F=×AC×r1=3r1，=×BC×O1E=×BC

7、×r1=4r1，=×AB×O1D=×AB×r1=5r1，=×AC·BC=24.ABCO2O1NM圖2-（5）又=+，24=3r1+4r1+5r1.r1=2.(2)如圖2-（5）連接AO1、BO2、CO1、CO2、O1O2，則=×AC·r2=3r2，=×BC·r2=4r2 ，等圓O1、O2外切，O1O2=2r2，且O1O2AB.過點C作CMAB于點M，交O1O2于點N，則CM= ，CN=CMr2=r2，ABCOnO3O2O1KH圖2-（6） = O1O2·CN=(r2)r2,=

8、(2r2+10)r2=(r2+5)r2=+24=3r2+4r2+(r2)r2+(r2+5)r2.解得r2=如圖2-（6），連接AO1、BOn、CO1、COn、O1On，則=×AC·rn=3rn，=×BC·rn=4rn，等圓O1、O2、ON依次外切，且均與AB邊相切，O1、O2、ON 均在直線O1On上，且O1OnAB.O1On=(n2)2rn+2rn=2(n1)rn，過點C作CHAB于點H，交O1ON于點K，則CH= ，CK=rn， = O1On ,CK=(n1)(rn)rn,=2(n1)rn+10rn=(n1)rn+5rn=+,24=3rn+4rn+(n1)(rn)r