幾類重要的分布

1、第四章 幾類重要地分布【授課對(duì)象】理工類本科二年級(jí)【授課時(shí)數(shù)】8學(xué)時(shí)【授課方法】課堂講授與提問相結(jié)合【基本要求】1、了解Bernoulli概型,熟練掌握二項(xiàng)分布、Poisson分布；2、熟練掌握均勻分布、正態(tài)分布和指數(shù)分布及其性質(zhì)；3、熟記二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布地?cái)?shù)學(xué)期望和方差；4、知道二維正態(tài)分布與均勻分布.【本章重點(diǎn)】 熟練掌握Bernoulli 概型、二項(xiàng)分布、Poisson分布、均勻分布、正態(tài)分布和 指數(shù)分布及其性質(zhì)【本章難點(diǎn)】對(duì)離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量地分布地理解【授課內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配】§ 4. 0 前言在第二章中我們?cè)?jīng)研究了隨機(jī)變量地分布，具體地研究了離散型隨機(jī)變量地

2、分布和連續(xù)型隨機(jī)變量地分布，并簡(jiǎn)單地介紹了常見地離散型分布和連續(xù)型分布，其中二項(xiàng)分布、Poisson分布、正態(tài)分布是概率論中三大重要地分布，因此，在本章中，我們重點(diǎn)研究二項(xiàng)分布、Poisson分布和正態(tài)分布,并在此基礎(chǔ)上研究其他一些連續(xù)型分布.§ 4.1 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布是重要地離散型分布之一，它在理論上和應(yīng)用上都占有很重要地地位，產(chǎn)生這種分布 地重要現(xiàn)實(shí)源泉是所謂地伯努利實(shí)驗(yàn).一、泊努利實(shí)驗(yàn)Bernoulli)在許多實(shí)際問題中，我們感興趣地是某事件 A是否發(fā)生.例如在產(chǎn)品抽樣檢查中，關(guān)心地是 抽到正品還是廢品；擲硬幣時(shí)，關(guān)心地室出現(xiàn)正面還是反面，等.在這一類隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，只有兩個(gè) 基

3、本事件A與A,這種只是兩種可能結(jié)果地隨機(jī)實(shí)驗(yàn)稱為伯努利實(shí)驗(yàn) 為方便起見，在一次實(shí)驗(yàn)中，把出現(xiàn)A稱為“成功”，出現(xiàn)A稱為“失敗”若記 P A=p, P A A1 -p =q .把一重Bernoulli實(shí)驗(yàn)上獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行n次得到n重Bernoulli實(shí)驗(yàn).【注】：重復(fù)是指每次實(shí)驗(yàn)中成功地概率不變；獨(dú)立是指n次實(shí)驗(yàn)獨(dú)立進(jìn)行.二、兩點(diǎn)分布稱服從兩點(diǎn)分布，參數(shù)為 p(0 ： p ： 1)，若 P = x" = p , P £ =x2 =1 - p .當(dāng)xi =1, X2 =0,兩點(diǎn)分布就是重要地Bernoulli分布用Bernoulli分布可以描繪一重地 Bernoulli實(shí)驗(yàn).

4、在實(shí)驗(yàn)中,若成功地概率為p戶 1出現(xiàn)成功記© =、0,出現(xiàn)失敗則 就服從參數(shù)為p地一重地Bernoulli分布.記為：' B(1, p)三、二項(xiàng)分布稱'服從二項(xiàng)分布.參數(shù)為n, p (0 ： p : 1).如果P二kGc：pk(1 p)n = k =0,1,23 ,n記為 B(n, p)，若記 b(k, n, p) = P二 k顯然滿足：(1>非負(fù)性:b(k, n, p) -0nn(2> 規(guī)范性：' b(k, n, p)八 C：pk(1 - pF* =p (1 - p)n =1k=0k=0二項(xiàng)分布描繪地是n重Bernoulli實(shí)驗(yàn)中成功出現(xiàn)地次數(shù)若

5、記 為成功出現(xiàn)地 次數(shù),則地可能取值為0,1,2，n,其相應(yīng)地概率為：P：二一 p)n" =b k,n, p事實(shí)上，若記：Bk =" n重B試驗(yàn)中成功恰好出現(xiàn) k次"，A="第i次試驗(yàn)出現(xiàn)成功"艮="第i次試驗(yàn)出現(xiàn)失敗"i =1,2,3，,n則Bk二AA2.AAk1.An . AnAn.An ；共有X個(gè)項(xiàng)：且兩兩互不相容.由實(shí)驗(yàn)地獨(dú)立 性：PAA2.AkAk 1.An = pk(1 - p)n*.p Bk 二-p嚴(yán)Eg1:若在M件產(chǎn)品中有N件廢品，現(xiàn)進(jìn)行有放回地n次抽樣檢查.問共取得K件廢品地概率 有多少？解：因?yàn)槭怯蟹呕氐?/p>

6、抽樣，因此，這是n重地Bernoulli實(shí)驗(yàn).記A為“各次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)廢品”這一事件，則：pa=D,M設(shè)'為n次抽樣檢查中所抽到地廢品數(shù),則' B(n, p)因此,所求概率為：P二一0)心M M四、二項(xiàng)分布地?cái)?shù)學(xué)期望與方差設(shè) B n,p ,P二k .；=C：pkCI - p)nA由數(shù)學(xué)期望地定義：E 八 k p( =k)八 k n! pk (l-p)n np 寧工 pk (1 - p)n± 心k =0k!n-k!kwk-1 !n-k!< 令 k 十1)=np刖pl(1-p嚴(yán)一 npCmp)屎(I"宀 g即：Enp由方差地定義：-E( 2) - (E )2

7、n22 k k n kE( k Cn p qk=fi廿土/代 < 令1)n A= np._I 1I =S(n -1 !I! n -d -Jn 1=np .lClb £n J _Ln4P qn 1 n_LCnp ql £=npn _1 p (p q)2 = np n n _ 1 p2-D =np n n _1 p2 -(np)2 = np 1 _ p =npq五、二項(xiàng)分布地Poisson逼近甘-Je_ k!Th:在Bernoulli實(shí)驗(yàn)中，記Pn為事件A在實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)地概率，他與實(shí)驗(yàn)總數(shù)n有關(guān)若n_：i：:lim nR = - >0,則對(duì)-地正整數(shù) k _ 0,有

8、lim b k; n; Pn = n“Proof:令-n 二 npn,則 lim八，且 Pnn_n _kb(k;n; Pn ) = b k;n;(與1! n I-n(n_ 1)(n_ k+1)如In丿ik!nkk / 1r n_kn )Ink'nk!1 n _kn1 n * k!§ 4.2 泊松分布一Poisson分布、定義：稱 服從參數(shù)為丿i >0地Poissor分布若kp£ -kk =0,1,2，k!記為：k p或二(k, ), p k,e k =0,1,2,k!顯然：p - k ；，0k: i k、p： =ke_ =eee' =1k =0k ：0

9、 k!k -0 k!為計(jì)算方便課后給出了 Poisson分布表，見p278附表1【說明】歷史上Poisson分布是作為二項(xiàng)分布地近似于 1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入地，若 把B-實(shí)驗(yàn)中成功概率p值很小地事件叫做稀有事件，則由上面TH當(dāng)n充分大時(shí),n重B-實(shí) 驗(yàn)中稀有事件發(fā)生地次數(shù)近似服從 Poisson分布.這時(shí)，參數(shù)地整數(shù)部分-恰好是稀有事件發(fā)生地最可能次數(shù)，在實(shí)際中常用Poisson分布來作為大量重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中稀有事件發(fā)生地概 率分布情況地?cái)?shù)學(xué)模型，諸如不幸事件，意外事故、故障，非常見病，自然災(zāi)害等，都是稀有事件 Eg2:在1875年1955年間地某63年間，上海地夏季5-9月)共發(fā)生暴

10、雨180次,求一個(gè)夏季 發(fā)生k次暴雨地概率解：每年夏季共有：n =31+30+31+31+30=150天.若每次暴雨以一天計(jì),則每天發(fā)生暴雨地概率為p= 1800.0187.63X53則一個(gè)夏季發(fā)生k次暴雨地概率記為pk,作為初步近似，可利用Bernoulli概型，因?yàn)閜很小，而n =153較大k2.86_2.86二 np 二 2.8571，則：pke .k!二、Poissor分布地?cái)?shù)學(xué)期望和方差-k設(shè) P k, ，即 p = k e' ,k = 0,1,2,.k!kE = kpk =、k e _ = e k z0k z0 k!: : kE( 2)和"：/廠!k 1.k J(

11、I +1 斤.J.=J.:=£'II i £ l! i =0 l!= e，=；亠1所以：D： =E( 2) -(E J2 W潛先.2八Eg3:保險(xiǎn)事業(yè)是最早使用概率論地部門之一，保險(xiǎn)公司為了估計(jì)其利潤(rùn)，需要計(jì)算各種概率.保險(xiǎn)公司現(xiàn)在為社會(huì)提供一項(xiàng)人壽保險(xiǎn)，據(jù)已有地資料顯示：人群中與這項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)有關(guān)地 死亡概率為0.0020今有2500人參加這項(xiàng)保險(xiǎn)，每個(gè)參保地人員在每年1月1日交付120元保 險(xiǎn)金,而在死亡時(shí)家屬可從公司領(lǐng) 20000元保險(xiǎn)金.試問：(1)保險(xiǎn)公司虧本地概率是多少？(2保險(xiǎn)公司贏利不少于100000元、200000元地概率是多少？解：每年1月1日保險(xiǎn)

12、公司地收入300000元=120 2500,若一年中死亡x人，則保險(xiǎn)公司這一年應(yīng)付出20000x元因此“公司虧本”意味著 20000x >300000即x>15人,這樣“公司虧 本”這一事件等價(jià)于“一年中多于 15人死亡”地事件,從而轉(zhuǎn)而求“一年中多于15人死亡” 地概率，若把“參加保險(xiǎn)地一個(gè)人在一年中是否死亡”看作一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，則問題可用n = 2500, p = 0.002地Bernoulli實(shí)驗(yàn)來近似，設(shè)'為一年中這些參保人員里死亡地人數(shù)，則 B(2500,0.002)由上定理，二np =2500 0.002 =5,經(jīng)查Poisson分布表可得:ck(1> P虧

13、本= P 15 =、e'=0.000069 k詔6 k!(2)贏利不少于 100000 元，則意味著 300000-20000CX _ 100000= x 10 ； 贏利不少于 200000 元，則意味著 300000-200000x _ 200000= x e5故P保險(xiǎn)公司贏利不少于10100000 元=P乞10=7k=05k e k!= 0.9863055 5k 5P保險(xiǎn)公司贏利不少于 200000元= P< 5 e =0.615961km k!Eg4: P90例 2三、課后作業(yè)：1、仔細(xì)閱讀P83-92 ；2、作業(yè):P108 1,3,4,9,103、預(yù)習(xí) P92-98

14、67; 4.3正態(tài)分布0、引言：前面我們研究了概率論中三個(gè)重要分布之二：二項(xiàng)分布和 Poisson分布，這是兩個(gè)離散型 分布；下面研究第三個(gè)重要分布一一正態(tài)分布 ，這是一個(gè)重要得連續(xù)型分布，它不僅具有重要 得理論意義,而且其應(yīng)用相當(dāng)廣泛.、定義把概率密度函數(shù)為f (x)=1 土瑋地分布稱為正態(tài)分布,其中匚為參數(shù).x占e 2 - dy若連續(xù)型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，二2地正態(tài)分布 簡(jiǎn)記為n(，；2>；1其相應(yīng)地分布函數(shù)為：F(x) = ；_v'2n<i特別地：當(dāng)亠-0 -1時(shí)，稱 '服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.記作 N(0, 1),x21 其相應(yīng)地密度函數(shù)和分布函數(shù)分別是：(x)

15、= 1 e 2：x < :12兀2.當(dāng) 2dy1 x Z©(x) = V2n為說明上述定義地合理性，需驗(yàn)證f(x)滿足密度函數(shù)地性質(zhì)：1非負(fù)性:顯然f(x)-0.2.規(guī)范性:1Jf(x)dx估0卜(宀2】2二2dx<令-)CTt2oO e 2dt0et2Tdt>2=(；u2oQ e 2 du >(J jo 2QCi 丄 e 2 dv >_nOU2 %2CO oOe 2 dudv=rs in n1則有:(e 2dt>212H一 2e二 o312 o1=0d312 0qQ故 f (x)dx =1 即f (x)確為密度函數(shù).a、正態(tài)分布地特點(diǎn)與性質(zhì)正態(tài)分

16、布又叫高斯分布，它在概率論地理論和應(yīng)用中占有很重要地地位，因此需要研究其性質(zhì)及特點(diǎn)(1>. f(x)地各階導(dǎo)均存在(2>. f (x)關(guān)于x=對(duì)稱 即f(-x)= f (.x)(3>.當(dāng)x=時(shí)，f (x)取最大值x離越遠(yuǎn),f (x)值越小，這表明對(duì)于同樣長(zhǎng)度地 當(dāng)區(qū)間離此越遠(yuǎn)，則落在該區(qū)間上地概率越小.區(qū)間,(4>. f(x)在x=卩± 處有拐點(diǎn)，且以ox軸為水平漸近線，即xmf (x) =°.-位置參數(shù)，二形狀參數(shù),表示取值地分散程度1(5>.分布函數(shù)F(x)地圖形關(guān)于點(diǎn)V，1 )中心對(duì)稱，即F(-x)=1 -F(x).、正態(tài)分布地概率計(jì)算(

17、1>.若 N(0,1)則(-x) V(x) (-x) =1 -(x)P _x=P-x_- x =P_ x) - P _-x = (x) -(-x) =2 (x) - 1站2三卩v.- x (2>. 若 N(,二)則N(0,1),且 F(x)=P<x=().O'O'e 2& dtproof: P H 蘭 y =P二 < y=P © "y + 卩 =丁i汀-72: -_y -22人t- Je 2 dv .(令' 二- >-CT<二xx _ J即 N(0,1).于是 F(x>=P < x =P_x =

18、(-)GCJCT© - © I J1.2-：(3>.若 N(",二)2則對(duì)任意實(shí)數(shù)a b有Pa ：- b=為計(jì)算方便,書本P280給出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表.Eg1: <質(zhì)量控制地 氐原則), NL2)則PI©<<!=P-t 41 < <1 = ©1) =2 叭1)1 =2 x 0.84134 1 = 0.68268 P © 卩<2 =2a(2) -1 =0.95450P © -卩 蘭 3町=2 牧3) -1 = 0.99730上述結(jié)果表明，當(dāng)對(duì)某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo) 如在生產(chǎn)過程中）作抽樣調(diào)查時(shí)，可

19、以把抽樣值是否落在）之中作為判斷生產(chǎn)過程是否正常地一個(gè)主要標(biāo)志Eg2:某汽車制造廠設(shè)計(jì)一種新型公共汽車，其車門地高度是按男子與車頂碰頭地機(jī)會(huì)在1%以下設(shè)計(jì)地，據(jù)統(tǒng)計(jì)資料分析所知,男子身高服從N175,36），問車門高度應(yīng)如何確定？解：假設(shè)車門高度為X,以表示男子身高,則. N（175,36）依題:P x - 0.01.而 Px = 1 - p ： x =1 - x175 )I 6丿故有 1 _屮 _175 蘭 0.01/x _175 0.99查正態(tài)分布得：x-175 =2.33 則I 6丿I 6丿6x=175+6 2.33 =188.98（cm故車門地高度應(yīng)設(shè)計(jì)為188.98cm四、正態(tài)分布地

20、應(yīng)用在實(shí)際中，正態(tài)分布是有廣泛應(yīng)用地概率分布，許多隨機(jī)現(xiàn)象可以用正態(tài)分布或近似地正 態(tài)分布來刻畫.如在生產(chǎn)中,在生產(chǎn)條件不變地前提下，各種產(chǎn)品地某些量度（如建筑材料地抗壓 強(qiáng)度、細(xì)沙地強(qiáng)力、熒光燈地使用壽命、零件地尺寸等一般都服從正態(tài)分布；在生物學(xué)中同一種群地某種特征（像身高、體重等,一般也服從正態(tài)分布；在自然科學(xué)中，熱力學(xué)中理想 氣體分子地速度分量，射擊時(shí)命中位置目標(biāo)沿某個(gè)坐標(biāo)軸地偏差，測(cè)量同一物體地測(cè)量誤差等；氣象學(xué)中，每年某月地日平均氣溫和降雨量等；水文中地水位等也都服從或近似服從正 態(tài)分布.在理論上，正態(tài)分布是許多重要分布地極限分布，這就是下一章地中心極限.五、正態(tài)分布地期望與方差設(shè)&

21、#39;N（",；2,則oO1QOE7f(x)dx=T2需-xedx <X t)CTt20一P2At% = 2_ t2：edt =比2 閃2旦5D JE( _E：)2= J- 4 ) f (x)dx= fj-e dx<t)-)a二 2 -q二2與貢 3 dVet2七roo T二 +e 2dt )=匚2可見,正態(tài)分布地兩個(gè)參數(shù):二 2分別是該隨機(jī)變量地?cái)?shù)學(xué)期望和方差，其分布由期望和方差唯一決定Eg3:設(shè) N(0,1).N(1,2)且,相互獨(dú)立試求咐=2二曲-1地概率密度函數(shù).解：關(guān)于正態(tài)分布有如下結(jié)論：見P96 )即兩個(gè)服從正態(tài)分布地隨機(jī)變量地線性組合仍服從正態(tài)分布,可推廣

22、到N個(gè)隨機(jī)變量得情形.因此，服從正態(tài)分布，因而只需要求出 地密度函數(shù)即可.E =2E E -1 =2 0 1 -1 =0 ；D 丫 =22 D D =4 12 =6z2-概率密度函數(shù)為12【注】關(guān)于正態(tài)分布還有如下特點(diǎn):(1 若 (7二2)則對(duì)一常數(shù) a,b ,二 a b N (a：；b, a2；2)(2若 NL1F12) , NL2F；),則' 服從正態(tài)分布,特別地,當(dāng),相互獨(dú)立 時(shí)，：N( 7 a,二 12 V).六、課后作業(yè):1、仔細(xì)閱讀P92-98 ；2、作業(yè):Pi09 11,12,133、預(yù)習(xí) P 98-107§ 4.4其他重要地概率分布在其他重要地概率分布中，我們

23、主要研究?jī)蓚€(gè)連續(xù)型地分布：指數(shù)分布和均勻分布.、指數(shù)分布)a _擬 x > 0i定義：若隨機(jī)變量©地概率密度函數(shù)為f(x)=a>o>,則稱其服從參數(shù)為0 X £ 0-地指數(shù)分布.記為 p()顯然有 f(x) 2 0 ;廣f(x)dx= fedx 二-e金新=1*3'L0其對(duì)應(yīng)地分布函數(shù)為:F(x)0x 0x _0指數(shù)分布有著重要地應(yīng)用，常用它來作為各種“壽命”分布地近似 例如無線電元件地壽 命，動(dòng)物地壽命 用話問題中地通話時(shí)間，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中地服務(wù)時(shí)間等都常假定服從指數(shù)分布指數(shù)分布地重要性還表現(xiàn)在它具有類似于幾何分布地“無記憶性”2指數(shù)分布地?zé)o記憶

24、性：設(shè)服從指數(shù)分布,參數(shù)為0,則對(duì)- s 0,t0 ,有P s t | sp s tp Se'；(s °e's若把理解為“壽命”，則上式表示：若已知壽命長(zhǎng)于 s年,則再活t年地概率與年齡s無關(guān),所以有時(shí)又風(fēng)趣地稱指數(shù)分布是“永遠(yuǎn)年青”地 .在連續(xù)型隨機(jī)變量中，只有指數(shù)分布具有這種無記憶性，這也是指數(shù)分布具有廣泛應(yīng)用地 重要原因之一 指數(shù)分布在可靠性理論和排隊(duì)論中有著廣泛地應(yīng)用 ，如隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中地服務(wù) 時(shí)間、等待時(shí)間等都服從指數(shù)分布.Eg1:設(shè)在任意地時(shí)間間隔t°,t。t內(nèi)來到某商店地顧客人數(shù)為t P(k; t) <泊松分布)，求兩位顧客來到之間地“等

25、待時(shí)間”地分布函數(shù).解,設(shè)前一位顧客來到地時(shí)刻為0,因 非負(fù)，當(dāng)怦0,p乞t=0 ;當(dāng)t 0,因?yàn)樵诘却龝r(shí)間內(nèi)無顧客來到,從而 t二 t =0,(兀 t ) 0故 P t二p t=0=- 二e.P Et=1_P t=1_e-'t. 地分布函數(shù)為 0!1 e_'x x a 00 x；0即咖從參數(shù)為輕指數(shù)分布.3指數(shù)分布地?cái)?shù)學(xué)期望和方差：設(shè)© f ( X) = He'x x _ 00=xf(x)dx= xheFdx = - xde =丄：e-xdxx2e_趙 dx=-x2e腫+2J0 xexdx= 2E 21定義：稱隨機(jī)變量 服從區(qū)間a,b上地均勻分布，若它具有密

26、度函數(shù):f (x)=1b -a其中a,b為參數(shù).記為Ua,b其他顯然 f(x) -0 ；.；.f(x)dx 二'*"0其對(duì)應(yīng)地分布函數(shù)為F(x) = *0x -ab -a1dx=1 b -ax _ aa x _ bx b均勻分布描繪了幾何型隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中隨機(jī)點(diǎn)地分布若在閉區(qū)間a,b上均勻投擲隨機(jī)點(diǎn)地話,以昭表示隨機(jī)點(diǎn)地落點(diǎn)坐標(biāo)，則昭就服從|Ua,b.事實(shí)上對(duì)于任意長(zhǎng)度為IC：b-a)地區(qū)間c,c I a,b,va： c ： b)，則落在該區(qū)間內(nèi)地概C十 1l率為PCV飛CLdX二丄,這說明隨機(jī)點(diǎn)落入任何區(qū)間內(nèi)地概率只依賴于區(qū)間c b-ab-a地長(zhǎng)度而與區(qū)間在a,b中地位置無關(guān).E

27、g2:假設(shè)有一同學(xué)乘出租汽車從華北工學(xué)院到太原火車站趕乘火車，火車是18： 30發(fā)車，出租車從學(xué)校開出地時(shí)間是18:0 0,若出租車從學(xué)校到火車站所用地時(shí)間U15,30,且從下出租車到上火車還需12分鐘,問此人能趕上火車地概率是多少？解：若要趕上火車，則出租車行駛地時(shí)間最多只能有18分鐘，所以18 18 1 1PM8= J P（x）dx= dx=_,即:此人能趕上火車地概率只有 20%. 151552均勻分布地?cái)?shù)學(xué)期望和方差：設(shè)'Ua,b則ExP(x) dx=b 1 ,x2 , b baax狂dx二亍1a =工2說2b 211Ex P(x)dx= x dx 二ta b - a b - a丄x3|3b a2 ab b2 a=3D =E 2-E 2 叮解：E =-E =D =D =1 由 D =