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1、湖州師院第二屆高等數(shù)學競賽試卷(專業(yè)組)競賽時間：2004年11月7日8:00-11:00下屬學院-專業(yè)-班級-學號-成績-一二三四五六一、 計算題1、求的值。（選自廣東省大學生高等數(shù)學競賽試題）解：=令 則原式2、計算積分（選自98年高數(shù)二碩士研究生入學試題）解： 原式（均為收斂的廣義積分，奇點） =3、 函數(shù)在上可導， 且滿足等式，求導數(shù)（選自98年高數(shù)二碩士研究生入學試題）解： 由題設知方程兩邊對求導數(shù)，得到 令則有 又有及將代入原方程得到 因此 4、 求積分值（選自高等數(shù)學雙博士課堂）解： 因為 故不是瑕點。但此反常積分還是可以這樣處理：而 故 二、 設有曲線，過原點作其切線，求由此曲

2、線，切線，軸圍成的平面圖形繞軸旋轉一周所得到的旋轉體的表面積。（98年高數(shù)二碩士研究生入學試題）解： 設切點為則過原點的切線方程為，再以點代入，解锝，則上述切線方程為由曲線段繞軸旋轉一周，所得到的旋轉面的面積 由直線段繞軸旋轉一周所得到的旋轉面的面積 因此，所求旋轉體的表面積為 三、計算曲面積分，其中為拋物面位于內(nèi)的部分的上側。（選自高等數(shù)學雙博士課堂）解： 不是封閉曲面，作輔助面，取下側，則構成一封閉曲面，由高斯公式 為所圍成的區(qū)域）又 所以 四、設是區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少且非負的連續(xù)函數(shù)，（）。證明數(shù)列的極限存在。（1999年全國碩士研究生入學試題，1983年清華大學碩士研究生入學試題）證： 由題設可得，故 ，即數(shù)列有下界。 又 故數(shù)列單調(diào)下降。由單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準則知數(shù)列的極限存在。五、求半徑為的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者。（選自第一屆北京市大學生（非理科）數(shù)學競賽試題）解： 設圓心到此內(nèi)接三角形三個頂點所構成的圓心角分別為，則設所對應的三個三角形的面積分別為 圓內(nèi)接三角形面積 令得 或當此時圓內(nèi)接三角形縮為此三角形邊界上的一段直線段，所以當 此時為最大。即圓的內(nèi)接三角形中面積最大者是內(nèi)接正三

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