中考幾何證明經(jīng)典題型

1、幾何證明經(jīng)典題型（提高）1.如圖10-1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系： （1）請直接寫出圖10-1中線段BG、線段DE的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；將圖10-1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時針(或逆時針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖10-2、如圖10-3情形請你通過觀察、測量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖10-2證明你的判斷（2）將原題中正方形改為矩形（如圖10-410-6），且 ，試判斷（1）中得到的結(jié)論哪個

2、成立，哪個不成立？并寫出你的判斷，不必證明.（3）在圖10-5中，連結(jié)、，且，則= 答案： BGDE；BGDE； 中得到的結(jié)論仍然成立 BGDE成立； BGDE不成立 BE2+DG2=25 2.如圖1，ABC中，ACB90，ACBC，BD是中線，CEBD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F。求證：ADFCDE。簡證：過點(diǎn)A作AGAC交CF的延長線于點(diǎn)G。因為90，ACBC，所以CAGBCD（ASA）。 所以AGCDAD，GCDE。因為45，AFAF,所以ADFAGF（SAS）。所以ADFGCDE。 3.如圖 ，四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于點(diǎn)E，AE（ADAB）。求證：ADCABC180。簡證：

3、過點(diǎn)C作CFAD交AD的延長線于點(diǎn)F。因為，ACAC，所以ACFACE（AAS）。所以CFCE，AFAE。因為ADABAE，ABAEEB，所以EBAEAD。因為FDAFAD，所以EBFD。所以CEBCFD（SAS）。所以ABC5。所以ADCABCADC180。4. 已知：，平分在圖1中，若120，90， （填寫“”，“”，“”）在圖2中，若120，180，則中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由在圖3中：若60，180，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；若（0180），180，則_（用含的三角函數(shù)表示,直接寫出結(jié)果，不必證明） 圖3圖2圖1 23.解：(1) ABAD =

4、AC-1分(2) 仍然成立證明：如圖2過C作CEAM于E，CFAN于F，則CEA=CFA=90 AC平分MAN，MAN=120， MAC=NAC=60又 AC=AC， AECAFC， AE=AF，CE=CF 在RtCEA中，EAC=60，圖2 ECA=30， AC=2AE AE+AF=2AE=AC ED+DA+AF=AC ABCADC180，CDE+ADC=180， CDE=CBF又 CE=CF，CED=CFB， CEDCFB ED=FB， FB+DA+AF=AC AB+AD=AC (3)AB+AD=AC證明：如圖3，方法同(2)可證AGCAHCAG=AHMAN=60，GAC=HAC=30圖3

5、AG=AH=ACAG+AH=ACGD+DA+AH=AC方法同(2)可證GDCHBCGD=HB， HB+DA+AH=ACAD+AB=AC ABADAC 5.如圖所示，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的正方形紙片，點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OC=4，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，0），過點(diǎn)N且平行于y軸的直線MN與EB交于點(diǎn)M，現(xiàn)將紙片折疊，使頂點(diǎn)C落在MN上，并與MN上的點(diǎn)G重合，折痕為EF，點(diǎn)F為折痕與y軸的交點(diǎn)。 （1）求點(diǎn)G的坐標(biāo)；（2）求折痕EF所在直線的解析式；（3）設(shè)點(diǎn)P為直線EF上的點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、F、G為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角

6、形，若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。答案：（1）四邊形ABCO是正方形BC=OA=4E為CB中點(diǎn)，EB=2MN/y軸，N（3，0）MNEB，且MB=NA=1EM=1而EGM=30，MG=EGcos30=G（3，）（2）EGM=30MEG=FEG=CEF=60CF=CEtan60FO=。F（0，），E（2，4）設(shè)直線EF的解析式為折痕EF所在直線解析式為（3）如圖所示，。 6. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，B=，AD=AB=2,點(diǎn)E是AB邊上一動點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合)，連結(jié)ED，過ED的中點(diǎn)F作ED的垂線，交AD于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)K,過點(diǎn)K作KMAD于M(1) 當(dāng)E

7、為AB中點(diǎn)時，求的值；(2) 若, 則的值等于 ； (3) 若（為正整數(shù)），則的值等于 （用含的式子表示）答案：（1）連接GEKMAD，KG是DE的垂直平分線KMG=DFG=90GKM=GDF MK=AB=AD,KMG=DAE=90KMGDAE MG = AEE是AB中點(diǎn)，且AB=AD=2AE=MG=1KG是DE的垂直平分線GE=GD 設(shè)GE=GD=x則AG=2-x在RtAEG中，EAG=90，由勾股定理得（2-x）2+12=x2x= DM=GD-GM= （2） （3） 7.如圖所示，等腰RtABC的直角邊AB=2，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時出發(fā)，以相同速度做直線運(yùn)動。已知點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動

8、，點(diǎn)Q沿邊BC的延長線運(yùn)動，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D。 （1）設(shè)AP的長為x，PCQ的面積為S，求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)AP的長為何值時，？（3）作PEAC于E，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結(jié)論。答案：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，如圖（1）所示AP=CQ=x，PB=2x即當(dāng)點(diǎn)P在AB延長線上時，如圖（2）所示AP=CQ=x，PB=x2即（2）令，即，此方程無實根；令，即。解得，舍去負(fù)值。故當(dāng)AP的長為時，（3）作PF/BC交AC的延長線于F，則AP=PF=CQ，AE=EFDF=CD當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長線上時，DE=EFFD故當(dāng)P、Q運(yùn)動時，線

9、段DE的長度保持不變，始終等于 8. 我們知道三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心經(jīng)過證明我們可得三角形重心具備下面的性質(zhì)： 重心到頂點(diǎn)的距離與重心到該頂點(diǎn)對邊中點(diǎn)的距離之比為21請你用此性質(zhì)解決下面的問題.已知：如圖，點(diǎn)為等腰直角三角形的重心，直線過點(diǎn),過三點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn). (1)當(dāng)直線與平行時（如圖1），請你猜想線段和三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明；圖1 圖2 圖3 (2) 當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不平行時，分別探究在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段三者之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，不需證明 答案：（1）猜想：BE+CF=AD

10、證明：如圖，延長AO交BC于M點(diǎn)，點(diǎn)為等腰直角三角形的重心AO=2OM且AMBC又EFBC AM EFBEEF,CFEF圖1EBOMCF EB=OM=CFEB+CF=2OM=AD 圖2（2）圖2結(jié)論：BE+CF=AD證明：聯(lián)結(jié)AO并延長交BC于點(diǎn)G, 過G做GHEF于H由重心性質(zhì)可得AO=2OGADO=OHG=90, AOD=HOGAODGOH 圖3AD=2HG O為重心G為BC中點(diǎn)GHEF,BEEF,CFEFEBHGCFH為EF中點(diǎn)HG=(EB+CF)EB+CF=AD (3)CFBE= AD 9.已知：如圖所示，梯形ABCD中，AB/CD，C=90，AB=BC=4，CD=6。 （1）點(diǎn)E為B

11、C邊上一點(diǎn)，EF/AD，交CD邊于點(diǎn)F，F(xiàn)G/EA，交AD邊于點(diǎn)G，若四邊形AEFG為矩形，求BE的長；（2）如圖所示，將（1）中的AEF繞E點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)為，交CD邊于點(diǎn)，且點(diǎn)與D點(diǎn)不重合，射線交AB邊于點(diǎn)M，作N/交AD邊于點(diǎn)N，設(shè)BM為x，中，邊上的高為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍。答案：（1）作AHCD于點(diǎn)H（如圖所示）四邊形AEFG為矩形AEF=901+3=90C=90，2+3=901=2EF/AD。2=D1=DAB=BC=CH=4HD=CDCH=2tan1=BE=2，即E為BC的中點(diǎn)。（2）如圖所示，作NPCD于點(diǎn)P，則PN=y可得4=5=6，它們的正切值相等。即。

12、，即整理，得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)D重合時（如圖所示）BEM=EDC，tanBEMx的取值范圍為 10. 在中，AC=BC，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)（1）如圖1，E為線段DC上任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段DF，連結(jié)CF，過點(diǎn)F作，交直線AB于點(diǎn)H判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明（2）如圖2，若E為線段DC的延長線上任意一點(diǎn)，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變，直接寫出你的結(jié)論，不必證明答案：（1）FH與FC的數(shù)量關(guān)系是： 證明：延長交于點(diǎn)G，由題意，知 EDF=ACB=90，DE=DFDGCB點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，且DG為的中位線AC=BC，DC=DGDC

13、- DE =DG- DF即EC =FG EDF =90，1+CFD =90，2+CFD=901 =2 11如圖1，在ABCD中，AEBC于E，E恰為BC的中點(diǎn)，.（1）求證：AD=AE； （2）如圖2，點(diǎn)P在BE上，作EFDP于點(diǎn)F，連結(jié)AF. 求證：；（3）請你在圖3中畫圖探究：當(dāng)P為射線EC上任意一點(diǎn)（P不與點(diǎn)E重合）時，作EFDP于點(diǎn)F，連結(jié)AF，線段DF、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論.圖1EBCAD圖3EBCAD圖2ECBADFPHECBADFP21圖8答案：（1）在RtABE中，AEB=90， E為BC的中點(diǎn)， AE=BC. ABCD是平行四邊形，AD=BC. A

14、E=AD. ECBAFPD圖9H（2）在DP上截取DH=EF（如圖8）四邊形ABCD是平行四邊形，AEBC， EAD=90EFPD，12，ADH=AEFAD=AE，ADHAEF HAD=FAE，AH=AFFAH =90在RtFAH中， AH=AF，即 （3）按題目要求所畫圖形見圖9， 線段DF、EF、AF之間的數(shù)量關(guān)系為：12小華用兩塊不全等的等腰直角三角形的三角板擺放圖形. （1）如圖所示ABC，DBE，兩直角邊交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FGBC交AB于點(diǎn)G，連結(jié)BF、AD，則線段BF與線段AD的數(shù)量關(guān)系是 ；直線BF與直線AD的位置關(guān)系是 ，并求證：FGDCAC；（2）如果小華將兩塊三角板ABC，

15、DBE如圖所示擺放，使三點(diǎn)在一條直線上，AC、DE的延長線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FGBC，交直線AE于點(diǎn)G，連結(jié)AD，F(xiàn)B，則FG、DC、AC之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是 ；（3）在（2）的條件下，若AG，DC5，將一個45角的頂點(diǎn)與點(diǎn)B重合，并繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，這個角的兩邊分別交線段FG于P、Q兩點(diǎn)（如圖），線段DF分別與線段BQ、BP相交于M、N兩點(diǎn)，若PG2，求線段MN的長 12-1 12-2 12-3 答案（1）結(jié)論：則線段于線段的數(shù)量關(guān)系是：相等；直線于直線的位置關(guān)系是：互相垂直； 證明：、是等腰直角三角形 ， （2）FG、DC、AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是； （3）過點(diǎn)作垂足為，過點(diǎn)P作垂足為 ,

16、、在一條直線上，可證、是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得：，四邊形是矩形， 13. (1)已知：如圖1，中，分別以、為一邊向 外作正方形和，直線于，若于，于. 判斷線段的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，梯形中，, 分別以兩腰、為一邊向梯形 外作正方形和，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若于，于(1)中結(jié)論還成立嗎？請說明理由. 答案：（1）線段的數(shù)量關(guān)系為相等 ，又四邊形是正方形，. 同理可證 （2）過點(diǎn)作交于,交于,過點(diǎn)作交于,交于于，, 四邊形為平行四邊形 同理可得 又，, ， 同（1）的證明可得 由平行四邊形和可知 又, 與都是等腰直角三角形，DEF =DGA = 45CEF =FGH

17、 = 135 CEF FGH CF=FH （2）FH與FC仍然相等14 如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)M，正方形MNPQ與正方形ABCD全等，射線MN與MQ不過A、B、C、D四點(diǎn)且分別交ABCD的邊于E、F兩點(diǎn). （1）求證：ME=MF；（2）若將原題中的正方形改為矩形，且，其他條件不變，探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系.答案： 過點(diǎn)M作MGBC于點(diǎn)G，MHCD于點(diǎn)H. MGE=MHF=.M為正方形對角線AC、BD的交點(diǎn)，MG=MH.又1+GMQ=2+GMQ=，1=2. 在MGE和MHF中 1=2， MG=MH，MGE=MHF.MGEMHF. ME=MF. （2）解：當(dāng)MN交B

18、C于點(diǎn)E，MQ交CD于點(diǎn)F時.過點(diǎn)M作MGBC于點(diǎn)G，MHCD于點(diǎn)H. MGE=MHF=.M為矩形對角線AC、BD的交點(diǎn)，1+GMQ=2+GMQ=.1=2. 在MGE和MHF中， 1=2MGE=MHFMGEMHF. .M為矩形對角線AB、AC的交點(diǎn)，MB=MD=MC又MGBC，MHCD，點(diǎn)G、H分別是BC、DC的中點(diǎn). ，. . 當(dāng)MN的延長線交AB于點(diǎn)E，MQ交BC于點(diǎn)F時.過點(diǎn)M作MGAB于點(diǎn)G，MHBC于點(diǎn)H. MGE=MHF=.M為矩形對角線AC、BD的交點(diǎn)，1+GMQ=2+GMQ=. .1=2. 在MGE和MHF中， 1=2，MGE=MHF.MGEMHF . .M為矩形對角線AC、BD的交點(diǎn)，MB=MA=MC.又MGAB，MHBC，點(diǎn)G、H分別是AB、BC的中點(diǎn).，. . 當(dāng)MN、MQ兩邊都交邊BC于E、F時.過點(diǎn)M作MHBC于點(diǎn)H. MHE=MHF=NMQ=. 1=3，2=4.MEHFEM，F(xiàn)MHFEM . ，.M為正方形對角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn). 又MHBC，點(diǎn)M、H分別是AC、BC的中點(diǎn).，AB=2. MH=1.， . 6分當(dāng)MN交BC邊于E點(diǎn)，MQ交AD于點(diǎn)F時.延長FM交BC于點(diǎn)G. 易證MFDMGB. MF=MG.同理由得