定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子課件

1、定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子1.5 定態(tài)薛定諤方程的解 一維無限深勢阱與線性諧振子本節(jié)首先討論波函數(shù)的標準條件，然后利用（2）波函數(shù)歸一化條件；（1）定態(tài)薛定諤方程；（3）波函數(shù)的標準條件； 一維無限深勢阱中運動的粒子與線性諧振子的能級和波函數(shù)。最后介紹 “一維束縛定態(tài)的無簡并定理”定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子 波函數(shù)的條件解釋指出，歸一化的波函數(shù)是概率波的振幅。在數(shù)學上應滿足：1.5.1 波函數(shù)的標準條件1. 單調(diào)性；2. 有限性；3. 連續(xù)性；定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子1. 單調(diào)性；2. 有限性；這是指 應該是 ，t 的單值函數(shù)。因為

2、 是t時刻在 處發(fā)現(xiàn)粒子的概率密度，即要求 為單值函數(shù)，但不要求 是單值函數(shù)。tx,x2, txxtx,tx,在有限的空間范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率有限有限值dtxV2,03. 連續(xù)性；定態(tài)薛定諤方程包含 對坐標的二階導數(shù)，要求 及其對坐標的一階導數(shù)連續(xù)。 tx,tx,定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子1.5.2 一維無限深勢阱 ）（時間外）勢阱內(nèi)）1 . 5 . 1, 0,(0 , 0axxaxxU設質(zhì)量為 的粒子在勢場中運動 定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子用波函數(shù)標準條件和歸一化條件求解上述勢場的定態(tài)薛定諤方程這類問題的求解步驟：1. 寫出分區(qū)的定態(tài)薛定諤方程；2.

3、引入?yún)?shù)簡化方程，得到含待定系數(shù)的解；3. 有波函數(shù)標準條件確定參數(shù)k；4. 有波函數(shù)的歸一化條件確定歸一化常數(shù)A；5. 由參數(shù)k得粒子的能量E；6. 解的物理意義。定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子1. 寫出分區(qū)的定態(tài)薛定諤方程；axExdd0 ,2-222axxEUxdd, 0,2-0222當勢壁無限高是，不可能在勢阱外發(fā)現(xiàn)能量有限的粒子，故阱外波函數(shù)為0 定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子勢阱內(nèi)定態(tài)薛定諤方程為：2. 引入?yún)?shù)簡化方程，得到含待定系數(shù)的解；令Ek2由此得到0 xa區(qū)間內(nèi)的解： 02 xkx kxAxsin定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振

4、子3. 有波函數(shù)標準條件確定參數(shù)k；由勢阱外波函數(shù)： 0 x kxAxsin kxAasin00，, 2 , 1,nank , 2 , 1,sinsinnaxnAxkxAxn得：代入，當n0的線性相關(guān)，舍去當k=0; Bxxc得由000 000BBaa得由 （舍去）00 x定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子4. 有波函數(shù)的歸一化條件確定歸一化常數(shù)A； axxaxaxnaxn, 0, 00 ,sin2 222022sin1AadxaxnAdxxan取A為實數(shù)，則則,2aA （1.5.11）定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子（1）束縛態(tài)與離散能級6. 解的物理意義。由 ax

5、xaxaxnaxn,0,00,sin2可以知道，粒子不可能達到無窮遠處粒子被束縛在有限的空間區(qū)域的狀態(tài)稱為束縛態(tài)粒子可達到無限遠處的狀態(tài)稱為非束縛態(tài)一般情況下束縛態(tài)的能譜為離散譜定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子（2）基態(tài)的能級不為零，是微觀粒子波動性的表現(xiàn) 在經(jīng)典物理中，粒子的動量可以為零，有確定的坐標值和動量為零。在量子力學中，坐標和動量不同時具有確定值。022221aE定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子成正比，與2nEn（3）激發(fā)態(tài)的能級能級分別不均勻。1222221naEEEnnn當量子n數(shù)很大時，能級可以看作是連續(xù)的，量子效應消失，并過渡到經(jīng)典情況。0122n

6、nEEnn時，當n定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子（4）激發(fā)態(tài)的能級 axnaxnsin2 0 xn xn定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子 eExtinn- exctxtEinnnnn1，（5）薛定諤方程的解的線性組合在一維無限深勢阱中粒子可能的態(tài)：定態(tài)：線性疊加態(tài)： exctxtEinnnnn1，2nc粒子處于定態(tài)的概率為：定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子1.5.3 線性諧振子 2222121xkxxU勢場， 2x021-kxxdxFxU經(jīng)典力學中，粒子受到彈力F=-kx作用時的勢能 量子力學中把在勢場 中運動的微觀粒子稱為線性振子 ，其勢能曲線為拋

7、物線 221kxxU（1）許多物理體系的勢能曲線可以近似看作拋物線，雙原子分子的勢能曲線在穩(wěn)定平衡點a附近的勢能曲線。定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子討論諧振子的意義：（2）復雜的振動可以分解為相互獨立的諧振動動；（3)處理線性諧振子的方法適用于：坐標表象、粒子表象和電磁場量子化。（1）許多物理體系的勢能曲線可以近似看作拋物線，雙原子分子的勢能曲線在穩(wěn)定平衡點a附近的勢能曲線。定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子線性諧振子的哈密頓量線性諧振子的哈密哈密頓算符222212xpH22222212-xdxdH時，當，dxdip xExxdxd22222212-故，定態(tài)薛定諤方

8、程為定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子薛定諤方程的解題步驟：22222,ddadxdddadxddddxdaax,E21.引入?yún)?shù)簡化方程引人 0-2 則，定態(tài)薛定諤方程可化為定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子 代入將eq2 的漸進解在求方程 0-. 22 0-2 時， (1.5.21)21q 得漸進解：時有限，舍去在因21qx e2-2定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子 的解，在方程由波函數(shù)標準條件確定 -0-. 32 eH2-2令 .1的問題的問題轉(zhuǎn)化為求）把求（H代入 0-2 vuvuvuuv 2:利用萊布尼茲公式 01-2-: HHH厄米方程定態(tài)薛定

9、諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子（2）用冪級數(shù)解法求解厄米方程的代入方程，得 H 00vvvaH解表示為泰勒級數(shù)是方程的常點，方程的012101020vvvvvvvvvavavva其系數(shù)遞推公式vvavvva12122 有限？能否保證）（代入問，將eHv2-22定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子（3）波函數(shù)的有限性要求級數(shù) 中斷為多項式。 0vvvaH由于級數(shù)在無窮遠的行為取決于級數(shù)相鄰兩項系數(shù)之比在 時的極限為：21212lim2limaa定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子級數(shù) 相鄰兩項系數(shù)之比在 的極限也為：002!2!2kkke222!2221)!22(1l

10、imlim當 很大時， 的行為與 相同 He2定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子 則系數(shù)為次多項式，若最高次冪為時，當,2, 2 , 1 , 0, 12nnanHnn 是取整數(shù)的符號snnssnsnsnH2202!2!1。得只含寄次冪的多項式）令（偶次冪的多項式；得只含）令（0,00,01010aabaaa 兩個線性無關(guān)的解的厄米多項式H定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子 )29. 5 . 1 (122eennnnddH式厄米多項式的微分表達 eH2-2代入得線性諧振子的波函數(shù)： )30. 5 . 1 (122222eddeNHeNnnnnnnn歸一化常數(shù))31. 5

11、. 1(!2naNnn定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子4. 由參數(shù) 得粒子能量E得與由Enn2, 2 , 1 , 012)33. 5 . 1 (, 2 , 1 , 0,21nnEn即從量子力學基本假設（薛定諤）方程出發(fā)，導出了普朗克的能量子假設。振子的能量取離散值n定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子5. 解的物理意義(1)諧振子的能量取離散值；21nEn2221)(limlimxxUxx因為(2)諧振子相鄰能級的間隔 均勻分布；E(3)諧振子的基態(tài)能量 是一個量子效應，當原子發(fā)生自發(fā)輻射，從高能態(tài)躍遷到地能態(tài)，實際上是電磁場的真空態(tài)與電子相互作用結(jié)果；0210E定態(tài)薛

12、定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子（4）線性諧振子的能級是無簡并的；（5）諧振子波函數(shù)的宇稱為由（1.5.30）式可得， ，可見波函數(shù) 的奇偶性由n決定，通常稱諧振子波函數(shù) 的宇稱為n1- xnnn11 xn xnn1-定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子（6）與經(jīng)典諧振子的比較22xaxvxW經(jīng)典力學里，粒子在 范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率xX=0速度最小，出現(xiàn)概率最大定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子11. 1圖量子諧振子空間位置概率分布特點：a、在原點發(fā)現(xiàn)粒子的概率要么極大（n為偶）b、可以在經(jīng)典禁區(qū)發(fā)現(xiàn)粒子（勢壘穿透效應）。d、當量子數(shù)n越大時，其概率分布與經(jīng)典概率分布越接近（b）圖 ）（虛拋物線以外的區(qū)域經(jīng)典禁區(qū)02定態(tài)薛定諤方程的解法一維無限深勢阱與線性諧振子1.5.4 一維束縛定態(tài)無簡并定理 的束縛態(tài)無簡并。有限處無奇點，則一維在定理：若xxU簡并。描述同一束縛態(tài)，即無與這就證明只差一個常數(shù)因子），為常數(shù)，（證