高等數學D2_2函數的求導法則

1、第二節(jié)二、反函數的求導法則二、反函數的求導法則 三、復合函數求導法則三、復合函數求導法則 四、初等函數的求導問題四、初等函數的求導問題 一、四則運算求導法則一、四則運算求導法則 函數的求導法則 第二章 解決求導問題的思路解決求導問題的思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 構造性定義 )求導法則求導法則其他基本初等其他基本初等函數求導公式函數求導公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x證明中利用了兩個重要極限初等函數求導問題初等函數求導問題本節(jié)內容一、四則運算求導法則一、四則運算求導法則 定理定理1.的和、 差、 積、 商 (除分母為 0的點外) 都在點 x 可導, 且下

2、面分三部分加以證明,并同時給出相應的推論和例題 .可導都在點及函數xxvvxuu)()()()(xvxu及)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv此法則可推廣到任意有限項的情形.證證: 設 則vuvu )() 1 (故結論成立.例如, )()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxuwvuwvu)(2)vuvuvu )(證證

3、: 設, )()()(xvxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推論推論: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( C為常數 )例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3x

4、x)1sincos4(3xx)()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu證證: 設)(xf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故結論成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推論推論:2vvCvC( C為常數 ) )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求證,sec)(tan2xx證證: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan

5、x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx )( xf二、反函數的求導法則二、反函數的求導法則 定理定理2. y 的某鄰域內單調可導, ,)()(1的反函數為設yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或yxdd1 )(1yf11例例3. 求反三角函數及指數函數的導數.解解: 1) 設,arcsin xy 則,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得?)(arccosx,11)(arct

6、an2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 則2) 設, )1,0(aaayx則),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特別當ea時,小結小結:在點 x 可導,三、復合函數求導法則三、復合函數求導法則定理定理3.)(xgu )(ufy 在點)(xgu 可導復合函數 fy )(xg且)()(ddxgufxy在點 x 可導,例如,)(, )(, )(xvvuu

7、fyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd關鍵: 搞清復合函數結構, 由外向內逐層求導.推廣推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.例例4. 求下列導數:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)(e)(lnxxxlne)ln(xxx1x)(e)(lnxxxxxx lne)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2ee)(shxxx2 xexexch說明說明: 類似可得;sh)(chxxaxxalne)(thx)(xaxxxchshth2eeshxxx;ch12x.lnaax例例5. 設, )cos(elnxy 求.ddxy解解:xydd)cos(

8、e1x)sin(e(xxe)tan(eexx思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(e(lnxf的導數?xfdd)(f ) )cos(e(lnx)cos(eln)(xuuf這兩個記號含義不同)cos(elnx例例6. 設, )1(ln2xxy.y求解解:112xxy11212xx2112x記, )1(lnarsh2xxx則 )(arsh x112x(反雙曲正弦)其他反雙曲函數的導數看參考書自推. 2eeshxxx的反函數雙曲正弦四、初等函數的求導問題四、初等函數的求導問題 1. 常數和基本初等函數的導數 (P95) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin

9、)(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(exxe )(log xaaxln1 )(lnxx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x2. 有限次四則運算的求導法則 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數 )0( v3. 復合函數求導法則)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函數在定義區(qū)間內可導初等函數在定義區(qū)間內可導, )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由

10、定義證 ,說明說明: 最基本的公式uyddxudd其他公式用求導法則推出.且導數仍為初等函數且導數仍為初等函數例例7. 求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8. 設),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln先化簡后求導例例9. 求解解:,1arctane2sin2xyx.y1arctan)(2xy ) (e2sin x2sinex2cos xx221x1212xx2x21arctan2x2sinex2cos x2sinex112xx關鍵關鍵: 搞清復合函數結構 由外向內逐層求導

11、例例10. 設求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx內容小結內容小結求導公式及求導法則 (見P95 P96)注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清復合函數結構 , 由外向內逐層求導 .41143x1.xx1431x思考與練習思考與練習對嗎?2114341xx2. 設, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正確解法:)(af 時, 下列做法是否正確?在求處連續(xù),由于 f (a) = 0，故3. 求下列函數的導數解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x(1);(2).bxaayyxbxbabalnxabbaln或xabyababxln4. 設),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用導數定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(