彈性力學(xué)27圣維南原理28按位移求解平面問題課件

1、預(yù)習(xí)：預(yù)習(xí)：2-9,2-10,3-1,3-2作業(yè)：作業(yè)：2.82-7 2-7 圣維南原理圣維南原理問題的提出：問題的提出：PPP 求解彈性力學(xué)問題時，使應(yīng)力分量、求解彈性力學(xué)問題時，使應(yīng)力分量、形變分量、位移分量完全滿足形變分量、位移分量完全滿足8個基本方個基本方程相對容易，但要使邊界條件完全滿足，程相對容易，但要使邊界條件完全滿足，往往很困難。往往很困難。 如圖所示，其力的作用點(diǎn)處的邊界如圖所示，其力的作用點(diǎn)處的邊界條件無法列寫。條件無法列寫。1. 靜力等效的概念靜力等效的概念 兩個力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個力系為兩個力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個力系為靜力靜力等效力系等

2、效力系。)(iOOFmMiFR 2.圣維南原理圣維南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物體的若把物體的一小部分邊界上的面力一小部分邊界上的面力，變換為分布不，變換為分布不同但同但靜力等效的面力靜力等效的面力，則，則近處近處的應(yīng)力分布將有顯著的應(yīng)力分布將有顯著改變，而改變，而遠(yuǎn)處遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計(jì)所受的影響可忽略不計(jì)。PPPP/2P/2APAPAP 小部分邊界（次要邊界）；小部分邊界（次要邊界）； 靜力等效；靜力等效； 影響范圍限于近處，遠(yuǎn)處不受影響；影響范圍限于近處，遠(yuǎn)處不受影響； 3.圣維南原理的應(yīng)用圣維南原理的應(yīng)用對對復(fù)雜的力邊界復(fù)雜的力邊界，用靜力

3、等效的分布面力代替。，用靜力等效的分布面力代替。注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)：(1) 必須滿足必須滿足靜力等效靜力等效條件；條件；(2) 只能在只能在次要邊界上次要邊界上用圣維南原理，在用圣維南原理，在主要邊界主要邊界上不能使用。上不能使用。如：如：AB主要邊界主要邊界PAP次要邊界次要邊界 如果物體的一小部分邊界上的面力是一個平衡力如果物體的一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量和主矩都等于零），那么，這個面力就只系（主矢量和主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。會使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。例子：例子：書上的。書上的。例例圖示矩形截面水壩

4、，其右側(cè)受靜水壓力，圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力頂部受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。邊界條件。yyx例例圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力頂部受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。邊界條件。左側(cè)面：左側(cè)面：yhxx右側(cè)面：右側(cè)面：00hxxyhxx上端面：上端面： 為次要邊界，可由圣維南原理求解。為次要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：方向力等效：dxyhhy0)(sinP對對O點(diǎn)的力矩等效：點(diǎn)的力矩等效：xdxyhhy0)(sin2hPx方向力等效：方向力等效：d

5、xyhhyx0)(cosPyyx注意：注意：xyy,必須按正向假設(shè)！必須按正向假設(shè)！0 hxxy例例圖示豎柱，試寫出其邊界條件。圖示豎柱，試寫出其邊界條件。yxy例例圖示豎柱，試寫出其邊界條件。圖示豎柱，試寫出其邊界條件。左側(cè)面：左側(cè)面：0, 1mlqY 0X2hxqsxysx)(0)(右側(cè)面：右側(cè)面：0, 1mlqY0X2hx0)(sxqsxy)(上側(cè)面：上側(cè)面：0y220)(hhyydx220)(hhyxydxyxy00220)(hhyyxdxqlh次要邊界，可用圣維南次要邊界，可用圣維南原理列寫邊界條件：原理列寫邊界條件：y方向力等效；方向力等效；x方向力等效；方向力等效；力矩等效。力矩

6、等效。2-8 2-8 按位移求解平面問題按位移求解平面問題1.彈性力學(xué)平面問題的基本方程彈性力學(xué)平面問題的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：00YyxXyxyxyyxx（2-2）（2）幾何方程）幾何方程：yuxvyvxuxyyx（2-9）（3）物理方程：）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-15）（4）邊界條件：）邊界條件：（1）（2）YlmXmlsxysysxysx)()()()(vvuuss, 2.彈性力學(xué)問題的求解方法彈性力學(xué)問題的求解方法（1）按位移求解（位移法、剛度法）按位移求解（位移法、剛度法）以以u、v 為基本未知函數(shù)，將平衡方程和邊界條件都用為基本

7、未知函數(shù)，將平衡方程和邊界條件都用u、v 表示，并求出表示，并求出u、v ，再由幾何方程、物理方程求出應(yīng)力與形變再由幾何方程、物理方程求出應(yīng)力與形變分量。分量。（2）按應(yīng)力求解（力法，柔度法）按應(yīng)力求解（力法，柔度法）以以應(yīng)力分量應(yīng)力分量 為基本未知函數(shù)，將所有方程都用為基本未知函數(shù)，將所有方程都用應(yīng)力分量應(yīng)力分量表示，并求出表示，并求出應(yīng)力分量應(yīng)力分量 ；再由幾何方程、物理方程求出形變再由幾何方程、物理方程求出形變分量與位移。分量與位移。（3）混合求解）混合求解以部分以部分位移分量位移分量 和部分和部分應(yīng)力分量應(yīng)力分量 為基本未知函數(shù)，并求為基本未知函數(shù)，并求出這些未知量出這些未知量，再求出

8、其余未知量。再求出其余未知量。3. 按位移求解平面問題的基本方程按位移求解平面問題的基本方程（1）將平衡方程用位移表示）將平衡方程用位移表示)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (2由應(yīng)變表示的物理方程由應(yīng)變表示的物理方程將幾何方程代入，有將幾何方程代入，有xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（2-16）（a）將式將式(a)代入平衡方程，化簡有代入平衡方程，化簡有021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE（2-18） 用位移表示的平衡微分方程用位移表示的平衡微分方程（2）將邊界條件用位移表示）將邊界條件用位移表示位移邊界條

9、件：位移邊界條件：vvuuss,應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（a）將式（將式（a）代入，得）代入，得YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEssss21121122（2-21）（2-17） 用位移表示的應(yīng)力邊界條件用位移表示的應(yīng)力邊界條件（3）按位移求解平面問題的基本方程）按位移求解平面問題的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE（2-20）（2）邊界條件：）邊界條件：位移邊界條件：位移邊界條件：vvuuss,（2-17）應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：YyuxvlxuyvmEXx