中考數(shù)學(xué)系列專題34因式分解

1、專題34因式分解聚焦考點(diǎn)溫習(xí)理解1 .因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算.2 .根本方法提取公因式法：m升 mb- m(=m(a+b-c)(2)公式法：運(yùn)用平方差公式：a考點(diǎn)典例一、因式分解的意義【例1】以下四個(gè)多項(xiàng)式中，能因式分解的是() 2A. a + 1B. a 6a+ 9C. x2+ 5yD. x2 5y 【答案】B- b2=(a+b)(a-b);運(yùn)用完全平方公式：a2 ± 2ab+ b2=(a ± b)2.3.因式分解的一般步驟(1) 如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么必須先提取公因式；(2) 如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那

2、么盡可能嘗試用公式法來(lái)分解；(3 )分解因式必須分解到不能再分解為止，每個(gè)因式的內(nèi)部不再有括號(hào)，且同類項(xiàng)合并完畢，假設(shè)有相同因式寫(xiě)成幕的形式，這樣才算分解徹底；(4) 注意因式分解中的范圍，如x【解析】試題分析：根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，可得答案.-4= ( x2+2) (x2-2 )在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，繼續(xù)進(jìn)行分解：x4-4= (x2+2)(x2-2 ) = (x2+2) (x+、2 ) (x-2),題目不作說(shuō)明，說(shuō)明是在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解(5) 分解要徹底。作為結(jié)果的代數(shù)式的最后運(yùn)算必須是乘法；要分解到每個(gè)因式都不能再分解為止，每個(gè)因式的內(nèi)部不再有括號(hào)，并且同類

3、項(xiàng)合并完畢，假設(shè)有重因式應(yīng)寫(xiě)成幕的形式.這些統(tǒng)稱分解徹底.名師點(diǎn)睛典例分類A、C D不能因式分解;試題解析：A、C D都不能把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故B、是完全平方公式的形式，故B能分解因式；應(yīng)選：B.考點(diǎn)：因式分解的意義.【點(diǎn)睛】因式分解是將一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式的恒等變形，假設(shè)結(jié)果不是積的形式，那么不是因式分解，還要注意分解要徹底.【舉一反三】(2021山東濰坊第8題)將以下多項(xiàng)式因式分解，結(jié)果中不含有因式a+1的是()A. a2 1 B . a2+a C . a2+a 2 D . (a+2) 2- 2 (a+2) +1【答案】C.【解析】試題分析：知巴四個(gè)選項(xiàng)中的各個(gè)

4、多項(xiàng)式分解因式，- 1= (an) (a-l) , 0已(田，扌乜-滬 <a+2) (a- 1> # (a+2> ： - 2 ( a+2) +1=(出-1)%觀祭結(jié)果可潯四個(gè)選項(xiàng)中不含有因式酣1的杲選頃心故答葉選C.考點(diǎn)：因式分解考點(diǎn)典例二、提取公因式法分解因式【例2】(2021內(nèi)蒙古巴彥淖爾第11題)分解因式：2xy2 8xy 8x=.【答案】2x( y 2)2.【解析】22x(y 2).(2)當(dāng)某項(xiàng)正好是公2 2 2試題分析：2xy 8xy 8x= 2x(y 4y 4)= 2x(y 2).故答案為:考點(diǎn)：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.【點(diǎn)睛】 首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，一般公因式

5、的系數(shù)取負(fù)數(shù)，使括號(hào)內(nèi)首項(xiàng)系數(shù)為正;因式時(shí)，提取公因式后，該項(xiàng)應(yīng)為1,不可漏掉；(3)公因式也可以是多項(xiàng)式.【舉一反三】1. (2021黑龍江哈爾濱第14題)把多項(xiàng)式ax2+2a2x+a3分解因式的結(jié)果是【答案】a (x+a)【解析】試題分析：223/22、/、2ax +2a x+a =a (x +2ax+a ) = a (x+a).考點(diǎn)：因式分解22. 分解因式：x +3x (x-3 ) -9=【答案】(x-3 ) (4x+3)【解析】試題分析：直先將首尾兩映分解因式，進(jìn)而提馭公因式含幷同類項(xiàng)得岀即可.試題解析匕/豐張(-3)-9=x:-9+3x (廠3)-(k3) Ca+3) +3s (x

6、_3)=(z-3)(；x+3+3x)-(k-3) (4s+3),考點(diǎn)：提取公因式法分解因式 考點(diǎn)典例三、運(yùn)用公式法分解因式【例3】( 2021遼寧沈陽(yáng)第11題)分解因式：2x2 - 4x+2=【答案】2 ( x- 1) 2,【解析】試題分析：先提取公因式2,再利用完全平方公式進(jìn)行二次分解即2 2 22x - 4x+2=2 (x - 2x+1) =2 ( x- 1).考點(diǎn)：分解因式2將多項(xiàng)式mn 2mn+ n因式分解的結(jié)果是【答案】n ( m-1) 2.【解析】試題分析：先提取公因式n,再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行二次分解.2試題解析：mn-2m n+n,2=n ( m-2m+1),=n ( m-1)

7、 2.考點(diǎn)：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.【點(diǎn)睛】(1)用平方差公式分解因式，其關(guān)鍵是將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為a2 b2的形式，需注意對(duì)所給多項(xiàng)式要善于觀察，并作適當(dāng)變形，使之符合平方差公式的特點(diǎn)，公式中的“a “b也可以是多項(xiàng)式，可將這個(gè)多項(xiàng)式看作一個(gè)整體，分解后注意合并同類項(xiàng);(2)用完全平方公式分解因式時(shí)，其關(guān)鍵是掌握公式的特征.【舉一反三】 (2a + 1)2 - a2=;【答案】(3a+1) ( a+1)【解析】試題分析：直接利用平方差公式進(jìn)行分解即可.試題解析：原式 =(2a+1+a) ( 2a+1-a) =( 3a+1) ( a+1)考點(diǎn)：因式分解-運(yùn)用公式法.2 8(a + 1) - 1

8、6a=【答案】8 ( a-1 ) 2.【解析】試題分析：首先提取公因式比進(jìn)而刊用堯全平方公式分解因式得岀即可.試題解析* 8 (i:+l) -16a=8 (a5+l-2a)=8 (a-1) 考點(diǎn)：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.考點(diǎn)典例四、綜合運(yùn)用多種方法分解因式【例4】(2021山東東營(yíng)第12題)分解因式：a3- 16a =.【答案】a(a + 4)(a 4).【解析】試題分析：先提取公因式 a,再運(yùn)用平方差公式分解即可，即a 16a = a(a2 佝=a(a + 4)(a 4).考點(diǎn)：分解因式【點(diǎn)睛】此題考查因式分解，因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式公式包括平方差公式與完全平方公式，要

9、能用公式法分解必須有平方項(xiàng)，如果是平方差就用平方差公式來(lái)分解，如果是平方和需要看還有沒(méi)有兩數(shù)乘積的 2倍，如果沒(méi)有兩數(shù)乘積的2倍還不能分解解答這類題時(shí)一些學(xué)生往往因分解因式的步驟、方法掌握不熟練，對(duì)一些乘法公式的特點(diǎn)記不準(zhǔn)確而誤選其它選項(xiàng)要求靈活使用各種方法對(duì)多項(xiàng) 式進(jìn)行因式分解，一般來(lái)說(shuō)，如果可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解徹底.【舉一反三】1. (2021福建南平第13題)分解因式： mn2 2mn m=.【答案】m(n 1)2 .【解析】 試題分析：原式=m(n2 2n 1)=m(n 1)2 .故答案為：m(n 1)2 .考點(diǎn)：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.考點(diǎn)：零指數(shù)冪.

10、2. 分解因式： x3-6x 2+9x=【答案】x ( x-3 ) 2【解析】試題分析：先提取公因式町再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繾盼解試題解析：x (才-6話乜)-K (曠為“ *考點(diǎn)：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.考點(diǎn)典例四、因式分解的應(yīng)用【例5】計(jì)算：852 152=()A. 70B. 700 C . 4900D. 7000【答案】D.【解析】試題分析：直接利用平方差進(jìn)行分解，再計(jì)算即可.試題解析：原式=(85+15) (85-15 )=100X 70=7000.應(yīng)選：D.考點(diǎn)：因式分解-運(yùn)用公式法.-個(gè)條件，0,那么每個(gè)完【點(diǎn)睛】(1)利用因式分解，將多項(xiàng)式分解之后整體代入求值；(

11、2) 個(gè)問(wèn)題有兩個(gè)未知數(shù)，只有根據(jù)式右邊等于 0，假設(shè)將左邊轉(zhuǎn)化成兩個(gè)完全平方式的和，而它們都是非負(fù)數(shù)，要使和為全平方式都等于 0,從而使問(wèn)題得以求解.【舉一反三】1. 假設(shè)ab=2, a b= 1,那么代數(shù)式 a2b ab2的值等于 .【答案】-2.【解析】試題分析:苜先提取公因式命，進(jìn)而將代入求出即可一試題解析：. .'込二龍a-b=-l；/.aVabab (曠b) 2X(1) =2.考點(diǎn)：因式分解-提公因式法.2 22. 假設(shè) ab=3, a-2b=5，那么 a b-2ab 的值是【答案】【解析】試題分析：直接提取公因式ab，進(jìn)而將代入求出即可.試題解析：T ab=3,a-2b=

12、5 ,那么 a一、選擇題 .以下因式分解中正確的個(gè)數(shù)為() x3+ 2xy + x=x(x 2+ 2y); 2 x + 4x + 4=(x + 2); 一x + y =(x + y)(x - y).A. 3個(gè)B. 2個(gè)C. 1個(gè)D. 0個(gè)【答案】C.【解析】試題分析：直接利用提取公因式法以及公式法分別分解因式進(jìn)而判斷得出即可.試題解析：解：x 3+2xy+x=x (x2+2y+1),故原題錯(cuò)誤；b-2ab 2=ab (a-2b ) =3X 5=15.考點(diǎn)：因式分解-提公因式法.課時(shí)作業(yè)能力提升2.(2021湖北宜昌第14題)小強(qiáng)是一位密碼編譯愛(ài)好者，在他的密碼手冊(cè)中，有這樣一條信息:2 2 2

13、 2 2222-y, x+y , a+b, x - y , a - b分別對(duì)應(yīng)以下六個(gè)字：昌、愛(ài)、我、宜、游、美，現(xiàn)將( x - y ) a -( x-y2) b2因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是()A.我愛(ài)美B .宜晶游C .愛(ài)我宜昌D .美我宜昌【答案】C.【解析】2 2 2 2 2 2 2 2 2 2試題分析：(x - y ) a -(x - y ) b= (x - y )(a - b ) = (x- y) (x+y) (a- b)(a+b)，因?yàn)?x- y, x+y , a+b, a - b四個(gè)代數(shù)式分別對(duì)應(yīng)愛(ài)、我，宜，昌，所以結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是“愛(ài)我宜昌，故 答案選C.考點(diǎn)：

14、因式分解3. 以下四個(gè)選項(xiàng)中，哪一個(gè)為多項(xiàng)式8x2 10x + 2的因式()A. 2x 2B. 2x + 2C. 4x + 1D. 4x + 2【答案】A【解析】試題分析：將矗2- 10k+2進(jìn)彳亍分解因式得出8k2_10342= (4k1 ) ( 幾進(jìn)而得出答卩可. 試題解析；3x；-10x+2=2 (4xJ-5xn),=2(D,=( 2k_2)j應(yīng)選:A-|考點(diǎn)：因式分解的意義.4. (2021山東濱州第3題)把多項(xiàng)式x2+ax+b分解因式，得(x+1)( x - 3)貝U a, b的值分別是()A. a=2, b=3 B . a= 2, b= 3 C . a= 2, b=3D. a=2,

15、 b= 3【答案】B.【解析】試題分析：根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法那么可得(x+1) ( x - 3) =x?x - x?3+1?x - 1 X 3=x2 - 3x+x - 3=x2 - 2x-3，比照系數(shù)可以得到 a= - 2, b= - 3 .故答案選B.考點(diǎn)：整式的乘法5. 假設(shè)多項(xiàng)式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，那么m的值可以是()A. 4B. -4C. 土 2D. 土 4【答案】D.【解析】試題分析：利用完全平方公式(ar+b)匕(ab) '+4ab, (ab) := (a+t) Tab計(jì)算不可*試題解析：J.'s'+>it+4= (x±

16、; 2) %即 x 44tlk +4 =x* i 4 k+4 j.jif±4 應(yīng)選U.考點(diǎn)：因式分解-運(yùn)用公式法._ 26. 假設(shè)分解因式x+mx-15= (x+3) ( x-5 ),那么m的值為()A. -2 B. 2C. -5 D. 5【答案】A【解析】試題分析：先把等式的右邊化為x2-2x-15的形式，再求出 m的值即可.試題解析：( x+3) (x-5 ) =x2-2x-15 ,/ m二2 .應(yīng)選A.考點(diǎn)：因式分解的意義.7. (昌平區(qū)一模)把 x2y-4y分解因式，結(jié)果正確的選項(xiàng)是()2 2 2A. y (x -4 ) B. y (x+2) (x-2 )C. y (x+2)

17、 D. y (x-2 )【答案】B.【解析】試題分析；先提取公囲式門(mén)再刑用平方差公式繼續(xù)分解.試題解析：廠幻.=y ("W(k+2)(廠2?應(yīng)選B考點(diǎn)：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.8. 把x3-xy 2分解因式，正確的結(jié)果是()2 2 2A. ( x+xy) ( x-xy )B. x (x -y ) C. x (x-y ) D. x (x-y ) (x+y)【答案】D.【解析】試題分析：先JS取公因式知再根Is平方差公式進(jìn)行解.平方差公式：af二Ca+t) (a-b).試題解析：八如，<x_y) (str) *應(yīng)選D考點(diǎn)：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.二、填空題9. 分解因式

18、：ab-2a=【答案】a( b-2 ).【解析】試題分析：觀察原式，公因式為a,然后提取公因式即可.試題解析：ab-2a=a (b-2 ).(提取公因式)考點(diǎn)：因式分解-提公因式法._ 210. (2021山東威海第15題)分解因式：(2a+b)-( a+2b)【答案】3 ( a+b) (a - b).【解析】試題分析：直接利用平方差公式分解可得：原式=(2a+b+a+2b) (2a+b- a- 2b) =3 (a+b) (a- b).考點(diǎn)：分解因式11. (2021黑龍江哈爾濱第14題)把多項(xiàng)式ax2+2a2x+a3分解因式的結(jié)果是 .【答案】a (x+a) 2.【解析】試題分析：ax2+2a2x+a3=a (x2+2ax+a2) = a (x+a) 2.考點(diǎn)：因式分解.12.