第2章 2.1 曲線的參數(shù)方程

1、.2.1曲線的參數(shù)方程2.1.1拋射體的運動2.1.2曲線的參數(shù)方程1.理解曲線參數(shù)方程的有關概念.2.能進展參數(shù)方程和普通方程的互化.重點根底·初探1.參數(shù)方程的概念定義：設在平面上取定了一個直角坐標系xOy，把坐標x，y表示為第三個變量t的函數(shù)，atb.*假如對于t的每一個值atb，*式所確定的點Mx，y都在一條曲線上；而這條曲線上的任一點Mx，y，都可由t的某個值通過*式得到，那么稱*式為該曲線的參數(shù)方程，其中變量t稱為參數(shù).簡單地說，假設t在atb內(nèi)變動時，由*式確定的點Mx，y描出一條曲線，那么稱*式為該曲線的參數(shù)方程.2.參數(shù)方程與普通方程互化1曲線的參數(shù)方程和普通方程是

2、曲線方程的不同形式.一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.2假如知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關系，例如xft，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系ygt，那么就是曲線的參數(shù)方程.在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致.考慮·探究1.曲線的參數(shù)方程中，參數(shù)是否一定具有某種實際意義？在圓的參數(shù)方程中，參數(shù)有什么實際意義？【提示】聯(lián)絡x、y的參數(shù)t，可以是一個有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是無實際意義的任意實數(shù).圓的參數(shù)方程中，其中參數(shù)的幾何意義是OM0繞點O逆時針旋轉到OM的位置時，OM0轉過的角度.2.普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形

3、式是否惟一？【提示】不一定惟一.普通方程化為參數(shù)方程，關鍵在于適中選擇參數(shù)，假如選擇的參數(shù)不同，那么所得的參數(shù)方程的形式也不同.自主·測評1.將參數(shù)方程為參數(shù)化為普通方程為A.yx2B.yx2C.yx22x3D.yx20y1【解析】消去sin2，得x2y，又0sin21，2x3.【答案】C2.把方程xy1化為以t為參數(shù)的參數(shù)方程是A.B.C.D.【答案】D3.曲線與x軸交點的直角坐標是A.0,1B.1,2C.2,0D.±2,0【解析】設與x軸交點的直角坐標為x，y，令y0得t1，代入x1t2，得x2，曲線與x軸的交點的直角坐標為2,0.【答案】C4.曲線t為參數(shù)與直線xy0

4、的交點坐標是 【導學號：62790009】A.5，5B.7，7C.5,5D.7,7【解析】將x12t，y23t代入xy0得t3，代入?yún)?shù)方程得x7，y7.【答案】B質(zhì)疑·手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 類型一參數(shù)方程的概念曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)，0<2.判斷點A2,0，B，是否在曲線C上？假設在曲線上，求出點對應的參數(shù)的值.【精彩點撥】將點的坐標代入?yún)?shù)方程，判斷參數(shù)是否有解.【嘗試解答】把點A2,0的坐標代入得cos 1且sin 0，由于0<2，解之得0，因此點A2,0在曲線C上，對應參數(shù)

5、0，同理，把B，代入?yún)?shù)方程，得又0<2，所以點B，在曲線C上，對應.對于曲線C的參數(shù)方程(t為參數(shù))，假設點M(x1，y1)在曲線上，那么對應的參數(shù)t有解，否那么無解，即參數(shù)t不存在.再練一題1.曲線C的參數(shù)方程為t為參數(shù)判斷點A3,0，B2,2是否在曲線C上？假設在曲線上，求出點對應的參數(shù)的值.【解】將點A3,0的坐標代入，得，解之得t2.所以點A3,0在曲線C上，對應參數(shù)t2.將點B2,2的坐標代入，得，即，此方程組無解.所以點B2,2不在曲線C上.類型二求參數(shù)方程在一次軍事演習中，飛機要向假想敵軍陣地進展投彈，投彈時，飛機離地面的間隔 h490 m，程度飛行的速度v100 m/s

6、.求炸彈投出后，彈道的參數(shù)方程.不計空氣阻力，重力加速度g10 m/s2【精彩點撥】這是物理學中的平拋運動，選擇時間t作參數(shù)，可將炸彈的程度方向和豎直方向的運動表示出來，從而建立彈道的參數(shù)方程.【嘗試解答】如圖，從飛機投彈所在的位置向地面作垂線，垂足為O，以垂線為y軸，以O為原點，建立平面直角坐標系.設Px，y為炸彈在t s后的坐標，那么由題意可知因為h490 m，v100 m/s，g10 m/s2，所以，炸彈投出后，彈道的參數(shù)方程是0t7.1.本例選擇時間t為參數(shù)，很容易將炸彈的程度方向和豎直方向的運動表示出來，給建立彈道的參數(shù)方程帶來了方便，可見合理地選擇參數(shù)是建立參數(shù)方程的關鍵.2.求軌

7、跡的參數(shù)方程的一般步驟是1建立適當?shù)淖鴺讼?，設動點Px，y為軌跡上任意一點.2根據(jù)題意選擇與動點P有直接聯(lián)絡的參數(shù)t.3根據(jù)軌跡條件求出x和y與參數(shù)t之間的函數(shù)關系，從而得到軌跡的參數(shù)方程，求軌跡的參數(shù)方程時，參數(shù)選的不同，得到的參數(shù)方程也不同，但化成普通方程后卻是一樣的.再練一題2.設炮彈的發(fā)射角為，發(fā)射的初速度為v0，求彈道曲線的參數(shù)方程不計空氣阻力、風向等因素.【解】取炮口為原點，程度方向為x軸，建立坐標系如下圖，設炮彈發(fā)射后的位置在點Mx，y，又設炮彈發(fā)射后的時間t為參數(shù).由勻速直線運動和豎直上拋運動的位移公式，得xOQ|OP|cos v0tcos .yQMQPMPv0tsin gt2

8、.即得彈道曲線的參數(shù)方程：類型三參數(shù)方程與普通方程的互化在方程a，b為正常數(shù)中，1當t為參數(shù)，為常數(shù)時，方程表示何種曲線？2當t為常數(shù)，為參數(shù)時，方程表示何種曲線？【精彩點撥】1運用加減消元法，消t；2利用平方關系sin2 cos2 1消參數(shù)，化成普通方程，進而斷定曲線形狀.【嘗試解答】方程a，b是正常數(shù)，1×sin ×cos 得xsin ycos asin bcos 0.cos 、sin 不同時為零，方程表示一條直線.2當t為非零常數(shù)時，原方程組為22得1，即xa2yb2t2，它表示一個圓.當t0時，表示點a，b.1.將參數(shù)方程化為普通方程，消參數(shù)常用代入法與加減消元法，第2問中利用了三角恒等變換消去參數(shù).2.把參數(shù)方程化為普通方程時，要注意哪一個量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響.此題啟示我們，形式一樣的方程，由于選擇參數(shù)的不同，可表示不同的曲線.再練一題3.假設將題目中的條件，改為“以過點A0,4的直線的斜率為參數(shù)，試求方程4x2y216的參數(shù)方程.【解】設Mx，y是曲線4x2y216上異于A0,4的任意一點.那么kx0，ykx4k0.將ykx4代入4x2y216，得x4k2x8k0，或k0，k為參數(shù).因此所求的參數(shù)方程為k0和真題鏈接賞析教材P34習題21T4設曲線的參數(shù)方程為，