高一數學：平面向量基本定理及坐標表示及向量積

1、平面向量基本定理及坐標表示平面向量基本定理及坐標表示平面向量的數量積平面向量的數量積考點梳理考點梳理如果如果e1，e2是同一平面內的兩個是同一平面內的兩個_向量，那么對于這向量，那么對于這一平面內的任意向量一平面內的任意向量a，有且只有一對實數，有且只有一對實數1，2，使，使a1e12e2，其中不共線的向量，其中不共線的向量e1，e2叫表示這一平面內所叫表示這一平面內所有向量的一組基底有向量的一組基底(1)平面向量的正交分解平面向量的正交分解向量正交分解是把一個向量分解為兩個向量正交分解是把一個向量分解為兩個_的向的向量量1平面向量基本定理平面向量基本定理2平面向量的坐標表示平面向量的坐標表示

2、不共線不共線互相垂直互相垂直(x，y)a(x，y)(3)規(guī)定規(guī)定相等的向量坐標相等的向量坐標_，坐標，坐標_的向量是相等的向的向量是相等的向量；量；向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關系體位置無關，只與其相對位置有關系相等相等相等相等(1)向量加法、減法、數乘向量及向量的模向量加法、減法、數乘向量及向量的模設設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則(x1x2，y1y2)3平面向量運算的坐標表示平面向量運算的坐標表示(x1x2，y1y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)設設a(x1，y1)，b(x2

3、，y2)，其中，其中b0，ab_.4平面向量共線的坐標表示平面向量共線的坐標表示x1y2x2y10考點梳理考點梳理1平面向量的數量積平面向量的數量積當當0時，時，a與與b_當當180時，時，a與與b_當當90時，時，a與與b_共線同向共線同向共線反向共線反向互相垂直互相垂直(2)定義：已知兩個向量定義：已知兩個向量a與與b，它們的夾角為，它們的夾角為，則數量，則數量_叫作叫作a與與b的數量積的數量積(或內積或內積)，記作，記作ab，即，即ab_，由定義可知零向量與任一向量的數量，由定義可知零向量與任一向量的數量積為積為0，即，即0a0.(3)幾何意義：數量積幾何意義：數量積ab等于等于a的長度

4、的長度|a|與與b在在a的方向上的的方向上的射影射影_的乘積，或的乘積，或b的長度的長度|b|與與a在在b方向上的射影方向上的射影_的乘積的乘積|a|b|cos |a|b|cos |b|cos |a|cos 設向量設向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量為向量a，b的夾角的夾角(1)數量積：數量積：ab|a|b|cos x1x2y1y2.2平面向量數量積的性質及其坐標表示平面向量數量積的性質及其坐標表示兩個結論兩個結論(1)兩個向量兩個向量a與與b的夾角為銳角，則有的夾角為銳角，則有ab0，反之不成立，反之不成立(因為夾角為因為夾角為0時不成立時不成立)；(2)兩個向量兩個向量a與與b

5、的夾角為鈍角，則有的夾角為鈍角，則有ab0，反之不成立，反之不成立(因為夾角為因為夾角為時不成立時不成立)三點提醒三點提醒(1)若若a，b，c是實數，則是實數，則abacbc(a0)；但對于向量；但對于向量就沒有這樣的性質，即若向量就沒有這樣的性質，即若向量a，b，c若滿足若滿足abac(a0)，則不一定有，則不一定有bc，即等式兩邊不能同時約去一，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量個向量，但可以同時乘以一個向量【助學助學微博微博】(2)數量積運算不適合結合律，即數量積運算不適合結合律，即(ab)ca(bc)，這是由，這是由于于(ab)c表示一個與表示一個與c共線的向量，共

6、線的向量，a(bc)表示一個與表示一個與a共共線的向量，而線的向量，而a與與c不一定共線，因此不一定共線，因此(ab)c與與a(bc)不一不一定相等定相等A(2，4) B(2,4) C(6,10) D(6，10)答案答案A考點自測考點自測A0 B4 C4 D4解析解析若若ab，則有，則有444x0，解得，解得x4.答案答案C2(2013咸陽模擬咸陽模擬)已知向量已知向量a(4，x)，b(4,4)，若，若ab，則，則x的值為的值為 ()答案答案A4(2012重慶重慶)設設x，yR，向量，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且，且ac，bc，則，則|ab| ()答案答案B答案答案1考向一

7、考向一平面向量基本定理及其應用平面向量基本定理及其應用答案答案6考向二考向二平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算A(2，1) B(2,1) C(1,0) D(1,2)A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)答案答案(1)D(2)B(1)求滿足求滿足ambnc的實數的實數m，n；(2)若若(akc)(2ba)，求實數，求實數k.審題視點審題視點 (1)向量相等對應坐標相等，列方程解之；向量相等對應坐標相等，列方程解之；(2)由兩向量平行的條件列方程解之由兩向量平行的條件列方程解之考向三考向三平面向量共線的坐標運算平面向量共線的坐標運算【例例3】 平面內給定三個向量平面內給定三個向量a

8、(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，請解答下列問題：，請解答下列問題：(2)已知向量已知向量a(m，1)，b(1，2)，c(1,2)，若，若(ab)c，則，則m_.解析解析(1)由條件中的四邊形由條件中的四邊形ABCD的對邊分別平行，可以的對邊分別平行，可以判斷該四邊形判斷該四邊形ABCD是平行四邊形是平行四邊形【訓練訓練3】 (1)在平面直角坐標系在平面直角坐標系xOy中，四邊形中，四邊形ABCD的邊的邊ABDC，ADBC.已知點已知點A(2,0)，B(6,8)，C(8,6)，則則D點的坐標為點的坐標為_Aab Bab C|a|b| Dabab解析解析由由|ab|ab|，兩邊平方并化簡得

9、，兩邊平方并化簡得ab0，又，又a，b都是非零向量，所以都是非零向量，所以ab.答案答案B考點自測考點自測1(2012遼寧遼寧)已知兩個非零向量已知兩個非零向量a，b滿足滿足|ab|ab|，則，則下面結論正確的是下面結論正確的是 ()A30 B60 C120 D150答案答案C2若非零向量若非零向量a，b滿足滿足|a|b|，(2ab)b0，則，則a與與b的的夾角為夾角為 ()答案答案D答案答案16【例例1】 (1)若向量若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，滿足，滿足條件條件(8ab)c30，則，則x_. 審題視點審題視點 (1)直接利用數量積的坐標運算即可；直接利用數量積的坐標運算

10、即可； (2)由條件表示出由條件表示出ab，然后找到關于，然后找到關于k的等式進行求的等式進行求 解解考向一考向一平面向量數量積的運算平面向量數量積的運算解析解析(1)依題意可得依題意可得8ab(6,3)，(8ab)c363x30，解得，解得x4.【例例2】 (1)已知向量已知向量a，b滿足滿足ab0，|a|1，|b|2，則則|2ab|_. 審題視點審題視點 (1)利用利用|a|2aa求解；求解； (2)找出平行四邊形的面積與找出平行四邊形的面積與|a|b|的關系式的關系式考向二考向二向量的夾角與向量的模向量的夾角與向量的模(2)已知已知a與與b是兩個非零向量，且是兩個非零向量，且|a|b|a

11、b|，則，則a與與ab的夾角為的夾角為_解析解析(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又又|a|4，|b|3，ab6.【訓練訓練2】 (1)已知已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，則則|ab|_.(1)求證：求證：ab與與ab互相垂直；互相垂直；(2)若若kab與與akb的模相等，求的模相等，求.(其中其中k為非零實數為非零實數)審題視點審題視點 (1)證明兩向量互相垂直，轉化為計算這兩個向證明兩向量互相垂直，轉化為計算這兩個向量的數量積問題，數量積為零即得證量的數量積問題，數量積為零即得證(2)由模相等，列等式、化簡由模相等，列等式、化簡(1)證明

12、證明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab與與ab互相垂直互相垂直考向三考向三平面向量數量積的綜合應用平面向量數量積的綜合應用【例例3】 已知已知a(cos ，sin )， b(cos ，sin )(0) (1)當向量當向量a與與b是坐標形式給出時，若證明是坐標形式給出時，若證明ab，則只需證明，則只需證明ab0 x1x2y1y20.(2)當向量當向量a，b是非坐標形式時，要把是非坐標形式時，要把a，b用已知的不共線用已知的不共線向量作為基底來表示且不共線的向量要知道其模與夾角，向量作為基底來表示且不共線的向量要知道其模與夾角，從而進行運算證明

13、從而進行運算證明ab0.(3)數量積的運算中，數量積的運算中，ab0ab中，是對非零向量而言中，是對非零向量而言的，若的，若a0，雖然有，雖然有ab0，但不能說，但不能說ab.(1)證明：證明：ab；(2)若存在不同時為零的實數若存在不同時為零的實數k和和t，使，使ca(t23)b，dkatb，且，且cd，試求函數關系式，試求函數關系式kf(t)【命題研究命題研究】 通過近三年高考試題分析，平面向量數量通過近三年高考試題分析，平面向量數量積的應用是必考內容，主要考查利用數量積解決垂直、積的應用是必考內容，主要考查利用數量積解決垂直、長度、夾角等問題，題型為選擇題、填空題，難度中長度、夾角等問題，題型為選擇題、填空題，難度中等偏下等偏下熱點突破熱點突破1212平面向量的數量積在平面幾何中的應用平面向量的數量積在平面幾何中的應用教你審題教你審題