概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)+二維連續(xù)性隨機(jī)變量及其分布

1、1解解(1)x 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)故故X,Y不獨(dú)立。不獨(dú)立。3設(shè)(X,Y)的密度函數(shù)為(2),01,0,( , )0,.cy- xxyxf x y其他求(1) C的值; (2) 邊緣密度函數(shù).(1)1( , )d df x yx y 解解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)xyO2D100(2)xcyx dy dx 100(2)xcx dxydy12015(2)().224ccxxdx24/5.c4024(2)( )( , )(2)5xXfxf x y dyyx dy概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)212(2)(01)5xxx124( )( , )(

2、2)5yYfyf x y dxyx dx2243(2)(01)522yyyy(2),01,0,( , )0,.cy- xxyxf x y其他5（一）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（一）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)X的分布律為, 2 , 1,)(ipxXPii則2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x),則dxxxfXE)()(概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1()iiiE Xx pReview6概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)3.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（1）X為隨機(jī)變量，Y=g(X),離散型離散型：1( ) ()( )iiiE YE g Xg x p連續(xù)型：連續(xù)

3、型：( ) ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx(2)(X,Y)為二維隨機(jī)變量, Z=g(X,Y),離散型：離散型：連續(xù)型：連續(xù)型：11( ) (, )( ,)ijijjiE ZE g X Yg x yp( ) (, )( ,) ( , )ijE ZE g X Yg x yf x y dxdy 7概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)xyOD解解:0,01;XDyxx型區(qū)域8概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì):0,01;XDyxx型區(qū)域9概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.E (C ) = C2. E (aX ) = a E (X ) 3.E (X + Y ) = E (X ) +

4、E (Y ) 11()nniiiiEXE X4.當(dāng)X ,Y 獨(dú)立時(shí)，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .11()nniiiiEXE X 線性性質(zhì)線性性質(zhì)10（二）方差（二）方差1.定義 D(X)=E X-E(X)2標(biāo)準(zhǔn)差：()D X2.計(jì)算(2) 離散型：21()().iiiD XxE Xp2()()( ).D XxE Xf x dx(3)連續(xù)型：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(1) 計(jì)算公式計(jì)算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).11概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(1) D(C)=0;(2) D(CX)= C2D(X);(3)若X, Y,則D(X+Y)=D(X) +D(

5、Y).D(X-Y)=D(X) +D(Y).12概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解解已知隨機(jī)變量 X 的分布律為Xp01pp 1D(X).1 ()10(1),iiiE Xx pppp 22221 ()10(1),iiiE Xx pppp222()() ()(1)D XE XE Xpppp13概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì):1,01;1XGxyx型區(qū)域解解2,( , )( , )0,.x yGf x y其他14概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)設(shè)Xb(n,p),求E(X),D(X).解解 X表示重伯努利試驗(yàn)中“成功的次數(shù)”，令1,0,iiXi第 次試驗(yàn)成功第 次試驗(yàn)失敗 (),()(1).E Xp

6、 D XPp且Xi服從0-1分布，則11 ()()()(1),nniiiiD XDXD Xn pp11 ()()(),nniiiiE XEXE Xn p又Xi之間相互獨(dú)立，15概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的期望是0，方差是1。設(shè)XN(,2),求E(X),D(X).解解(0,1)XN由由，得得()0()XE XE()E X2().D X()()E XXD X隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化：隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化：2()1()0XD XD16 分布數(shù)學(xué)期望 方差0-1分布B(1,p) p p(1-p)二項(xiàng)分布B(1,p) np np(1-p)泊松分布均勻分布正態(tài)分布指數(shù)分布)(P( )

7、E),(2N),(baU2/ )(ba12/)(2ab2/121/概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)17問(wèn)題問(wèn)題 對(duì)于二維隨機(jī)變量(X ,Y ):聯(lián)合分布邊緣分布 對(duì)二維隨機(jī)變量,除每個(gè)隨機(jī)變量各自的概率特性外, 相互之間可能還有某種聯(lián)系該用一個(gè)怎樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系呢？ ()( )EXE XYE Y數(shù)數(shù)能反映隨機(jī)變量能反映隨機(jī)變量 X , Y 之間的之間的關(guān)系關(guān)系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)18為 X ,Y 的協(xié)方差協(xié)方差. 記為 cov(, )()( )X YEXE XYE Y稱(chēng)()cov(, )cov( ,)( )D XX YY XD Y為（X , Y ）的協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 稱(chēng)()

8、( )EXE XYE Y定義定義概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)計(jì)算公式計(jì)算公式： cov(X,Y) =E(XY)-E(X)E(Y).19分布律如下，求cov(X,Y)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1()0 0.3 1 0.452 0.250.95,iiiE Xx p 解解 X,Y的分布律分別如下： 1020.550.250.2YP0120.30.450.25XP1( )( 1) 0.550 0.252 0.20.15,jjjE Yy p 20分布律如下，求cov(X,Y)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)11()ijijjiE XYx y pcov(, )()() ( )0.1425.X Y

9、E XYE X E Y0 ( 1) 0.1 1 ( 1) 0.32 ( 1) 0.150 0 0.2 1 0 0.052 0 00 2 0 1 2 0.122 0.10, 21概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)GyO解解0;:1,1XG xyx型區(qū)域4cov()()() ( ).225XYE XYE X E Y1108()( , )8,15xDE Xxf x y dxdydxxxydy1104( )( , )8,5xDE Yyf x y dxdydxyxydy1104()( , )8,9xDE XYxy f x y dxdydxxyxydy22概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.cov(X,X)

10、=D(X)5.當(dāng)X ,Y 獨(dú)立時(shí)，cov(X ,Y ) = 0 .對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性2.cov(X,Y)=cov(Y,X)3.cov(aX,bY)=abcov(X,Y)6.cov(C,X)=04.cov(X1 +X2,Y)=cov(X1,Y)+ cov(X2,Y)而當(dāng)cov(X ,Y ) = 0， X ,Y并不一定獨(dú)立.X,Y線性線性不相關(guān)不相關(guān)7.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)23 為了消除量綱對(duì)協(xié)方差值的影響,我們把X,Y標(biāo)準(zhǔn)化后再求協(xié)方差*,XE XXD X *YE YYD Y*(,)Cov XY XE X YE YED

11、 XD Y*()E X Y*()()EXE XYE Y ( )EXE XYE YD XD Y(, )( )Cov X YD XD Y概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)24若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,稱(chēng))()(),cov()()()()(YDXDYXYDXDYEYXEXE為X ,Y 的 ，記為)()(),cov(YDXDYXXY若, 0XY 稱(chēng) X ,Y 不相關(guān)不相關(guān).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)25概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.|XY|12.當(dāng)X ,Y 獨(dú)立時(shí)， XY = 0 .3. |XY|越大，則X ,Y 線性相關(guān)程度越好當(dāng) |XY|=0時(shí)，X ,Y 并不是一定沒(méi)有關(guān)

12、系，而是線性不相關(guān)。逆命題不成立逆命題不成立4. (X,Y) N(1,2,12,22,)就是X ,Y 的相關(guān)系數(shù)，XY = .26概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)OXYOXYOXYOXY 000 ( 0 )Yab Xb 000 ( 0 )Yab Xb 000 ( 0 )yab xb 1XY 1XY0 1XY 000 ( 0 )yab xb1 0XY OXY0XY27設(shè) ( X ,Y ) N ( 1,4, 1,4, 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ解解, 4)()(, 1)()(YDXDYEXE1/2, cov(, )2XYX Y6),cov(),cov(),cov(YXXXZX(

13、 )()()( )2cov(, )12D ZD XYD XD YX Y. .XZcov(X,Z)=3/2D(X) D(Z)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)28 U-,X=sin , Y=cos ,X,Y是否相關(guān)，是否獨(dú)立？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解解()(sin )sin( )E XEfd1sin0,2d( )(cos )cos( )E YEfd1cos0,2d1sincos0,2d()(sincos )sincos( )E XYEfdcov(, )0X Y29其它, 01,1),(22yxyxf(, )()() ( )0Cov X YE XYE X E Y22111110 xxdxx

14、ydy()( , )E Xxf x y dxdy 證明證明 (1)于是于是XY= 0，所以 X與Y線性不相關(guān)。22111110 xxdxxdy()( , )E XYxyf x y dxdy 已知（X,Y）的概率密度如下，試證X與Y既不相關(guān)，也不相互獨(dú)立。( )( , )E Yyf x y dxdy 22111110 xxdxydy概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)30顯然，fX(x)fY(y)f(x,y)，因此，X與Y不相互獨(dú)立。2221121,111(2)( )( , )0,xXxxxfxf x y dydy 其它其它, 01,1),(22yxyxf已知（X,Y）的概率密度如下，試證X與Y既不

15、相關(guān)，也不相互獨(dú)立。2221121,111( )( , )0,xYxyyfyf x y dxdx 其它概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)31vn維隨機(jī)變量X1,X2,Xn服從正態(tài)分布，則Xi都是一維正態(tài)；若Xi是一維正態(tài)，且相互獨(dú)立，則X1,X2,Xn服從n維正態(tài)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)vn維隨機(jī)變量X1,X2,Xn服從正態(tài)分布的充要條件是X1,X2,Xn 的任意線性組合都服從一維正態(tài)。v對(duì)n維正態(tài)分布來(lái)說(shuō)，獨(dú)立與線性相關(guān)是等價(jià)的。32 設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且XN(1, 2), YN(0, 1)。求 Z = 2X-Y+3 的概率密度。 知知 Z=2X-Y+3 服從正態(tài)分布，且服從正態(tài)分布，且解解 由由XN(1,2), YN(0,1)，且，且X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,D(Z) = 4D(X)+D(Y) = 8+1 = 9, E(Z) = 2E(X)- -E(Y)+3 = 2- -0+3=5 ， 故，故，ZN(5, 32) .概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)33Z 的概率密度為的概率密度為2(5)181( ), .3 2zZfzez 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)34說(shuō)明說(shuō)明 ;,)()(方方差差為為二二階階中中心心矩矩點(diǎn)點(diǎn)矩矩的的一一階階原原是是的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望隨隨機(jī)機(jī)變變量量XXEX2.; )(表