因式分解 換元法

1、.換元法換元法.1.(第第12屆五羊杯屆五羊杯)分解因式分解因式:(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10=_. 解：設 ， 則原式=(y-4)(y+3)+10=y2-y-2=(y-2)(y+1)=(x4+x2-2)(x4+x2+1)=(x2+2)(x2-1)(x2+1)2-x2=(x+1)(x-1)(x2+2)(x2+x+1)(x2-x+1) x4+x2=y .2.(第第12屆五羊杯）分解因式屆五羊杯）分解因式: =_.(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3 解：設解：設x-2=a，y-2=b，則，則x-y=a-b， 原式原式=a3-b3 -(a-b)3=(a-b)(a2 +ab+b2)

2、-(a-b)(a2-2ab+b2) =3ab(a-b)=3(x-2)(y-2)(x-y).3.(2001年全國競賽年全國競賽)若若 則則x+y的值為的值為_.x2+xy+y=14,y2+xy+x=28 解：將兩式相加，得解：將兩式相加，得 即即(x+y+7)(x+y-6)=0 x+y+7=0 或或 x+y-6=0 x+y=-7或或 x+y=6(x+y)2+(x+y)=42 .4.(1999年武漢年武漢)設為實數(shù)設為實數(shù),且滿足且滿足 則則x+y的值為的值為( ) A.1 B. -1 C.2 D.-2(x-1)3+1999(x-1)=-1(y-1)3+1999(y-1)=1 解解:將兩式相加將兩

3、式相加,得得令令x-1=a,y-1=b,則則x+y-2=a+b (x-1)3+(y-1)3+1999(a+b)=0 a3+b3+1999(a+b)=0 (a+b)(a2-ab+b2+1999)=0 a2-ab+b2+1999 0 a+b=0.5.(1999重慶）分解因式：重慶）分解因式：1999x2-(19992-1)x-1999 6.(五羊杯初二五羊杯初二)分解因式分解因式:(6x-1)(2x-1)(3x-1)(x-1)+x2 (6x2-6x+1)2 (x-1999)(1999x+1).7.（縉云杯競賽）分解因式（縉云杯競賽）分解因式: (x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)

4、解解:令令x+y=a,xy=b 則原式則原式=a(a+2b)+(b+1)(b-1)=a2+2ab+b2-1=(a+b)2-1=(a+b+1)(a+b-1)=(x+y+xy+1)(x+y+xy-1)=(x+1)(y+1)(xy+x+y-1) .8.(陜西中考陜西中考)分解因式分解因式:(a2+a+1)(a2-6a+1)+12a2 9.(黃岡競賽黃岡競賽)分解因式分解因式:(2a+5)(a2-9)(2a-7)-91 (a-1)2(a2-3a+1) (a-4)(2a+7)(2a2-a-8) .10.(天津競賽天津競賽)分解因式分解因式:(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2 11.(1999

5、年希望杯年希望杯)分解因式分解因式:(x2-1)(x+3)(x+5)+12 (x2+4x-3)(x2+4x+1) (x2+6x+6)2 .12.(第第13屆五羊杯屆五羊杯)分解因式分解因式:(x4-4x2+1)(x4+3x2+1)+10 x4 解：設解：設 則原式則原式=(a-4x2)(a+3x2)+10 x4=a2-x2a-12x4+10 x4=a2-x2a-2x4=(a-2x2)(a+x2)=(x4-2x2+1)(x4+x2+1)=(x+1)2(x-1)2(x2+x+1)(x2-x+1) x4+1=a .13. (第第14屆五羊杯屆五羊杯)分解因式分解因式:(2x-3y)3+(3x-2y)

6、3-125(x-y)3 解解:設設2x-3y=a,3x-2y=b,則則a+b=5(x-y) 原式原式=a3+b3-(a+b)3 =-3ab(a+b)=-3(2x-3y)(3x-2y)(5x-5y)=-15(x-y)(2x-3y)(3x-2y) .14.分解因式：分解因式：x4+2005x2+2004x+2005 解：設解：設2005=a， 則原式則原式=x4+ax2+(a-1)x+a=x4-x+ax2+ax+a=x(x3-1)+a(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2-x+a)=(x2+x+1)(x2-x+2005) .15.(天津競賽）分解因式：天津競賽）分解因式：xy(xy+1)+(xy

7、+3)-2(x+y+12)-(x+y-1)2 解：設解：設x+y=a，xy=b 則原式則原式=b(b+1)+b+3-2(a+12) -(a-1)2 =(b+1)2-a2 =(b+1+a)(b+1-a)=(xy+x+y+1)(xy-x-y+1)=(x+1)(y+1)(x-1)(y-1) .16.(2004年全國聯(lián)賽年全國聯(lián)賽)實數(shù)實數(shù)a,b滿足滿足 求求a+b的值的值.a3+b3+3ab=1 解解:設設a+b=x,則由已知可得則由已知可得 即即 分解因式得分解因式得 所以所以x=1 或或 若若 即即 配方配方,得得 所以所以a=b=-1,此時此時x=a+b=-2. 因此因此a+b=1或或-2 (a+b)(a+b)2-3ab+3ab-1=0 x3-3abx+3ab-1=0 (x-1)(x2+x+1-3ab)=0 (x-1)(x2+x+1-3ab)=0 (x-1)(x2+x+1-3ab)=0 a2+b2-ab+a+b+1=0 12(a-b)2+(a+1)2+(b+1)2=0 .17.(1998年安徽年安徽)證明證明:1997199819992000+1 是一個整數(shù)的平方是一個整數(shù)的平方,并求出這個整數(shù)并求出這個整數(shù).證明證明:設設1997=a,則原式則原式=a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a2+3a)(a2+3a+2