蘇教版必修四 平面向量向量的坐標(biāo)表示2 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案含答案

1、高中數(shù)學(xué)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算一、考點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)要求題型說(shuō)明平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1. 理解平面向量的坐標(biāo)的概念，會(huì)寫給定向量的坐標(biāo)；2. 會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；3. 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件；4. 會(huì)根據(jù)平面向量的坐標(biāo)判斷向量是否共線填空向量的坐標(biāo)運(yùn)算是向量重要的內(nèi)容，它實(shí)現(xiàn)了從向量向代數(shù)的轉(zhuǎn)化，尤其是兩向量平行的坐標(biāo)化判定應(yīng)用廣泛二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：平面向量的加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算；難點(diǎn)：平面向量平行條件的理解。考點(diǎn)一：平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算（1）平面向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面上的向

2、量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)有序?qū)崝?shù)x，y，使得axiyj，則把有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）稱為向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a（x，y）。（2）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算已知向量a（x1，y1），b（x2，y2）和實(shí)數(shù)，那么ab（x1x2，y1y2），ab（x1x2，y1y2），a（x1，y1）；已知A（x1，y1），B（x2，y2），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（x2，y2）（x1，y1）（x2x1，y2y1），即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。【要點(diǎn)詮釋】向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)。（2）解題過(guò)程中

3、要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則?！竞诵耐黄啤奎c(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的區(qū)別和聯(lián)系 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量也叫位置向量。位置向量，點(diǎn)A的位置被向量唯一確定，此時(shí)A的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)統(tǒng)一為； 相等向量的坐標(biāo)是相同的，但起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)可以不同，如A（3，5），B（6，8），（3，3）；若C（5，3），D（2，6），（3，3），顯然四點(diǎn)坐標(biāo)各不相同?！局匾崾尽肯蛄康淖鴺?biāo)的作用利用向量的坐標(biāo)表示，可把向量問題中的幾何屬性代數(shù)化，使問題的解決達(dá)到程序化，從而降低了思維難度，有利于問題的解決?？键c(diǎn)二：平面平行的坐標(biāo)表示設(shè)向量a（x1，y1），b（x2，y2）（a0），如果ab，那么x1y

4、2x2y10；反過(guò)來(lái)，如果x1y2x2y10，那么ab?！竞诵臍w納】?jī)蓚€(gè)向量共線條件的表示方法已知a（x1，y1），b（x2，y2），（1）當(dāng)b0時(shí)，ab；（2）x1y2x2y10；（3）當(dāng)x2y20時(shí)，即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例?！局匾崾尽坷孟蛄科叫械淖鴺?biāo)表示，可以解決三點(diǎn)共線問題?！倦S堂練習(xí)】已知向量（k，12），（4，5），（10，k），若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k_。思路分析：把三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量平行，然后利用共線定理的坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程。答案：由題意得（4k，7），（6，k5），與共線，（4k）×（k5）6×（7）0，解得k2或11。技巧點(diǎn)撥：兩向量共

5、線定理的坐標(biāo)形式實(shí)現(xiàn)了三點(diǎn)共線向方程的轉(zhuǎn)化，即“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化。例題1 （向量的坐標(biāo)表示）在直角坐標(biāo)系xOy中，向量a，b，c的方向如圖所示，且|a|2，|b|3，|c|4，分別計(jì)算出它們的坐標(biāo)。思路分析：利用三角函數(shù)求出各向量在x軸、y軸上的分量的模的大小，以此確定向量的橫、縱坐標(biāo)。答案：設(shè)a（a1，a2），b（b1，b2），c（c1，c2），則a1|a|cos 45°2×，a2|a|sin 45°2×，b1|b|cos 120°3×（），b2|b|sin 120°3×，c1|c|cos（30°）4

6、×，c2|c|sin（30°）4×（）2，因此a（，），b（，），c（，2）。技巧點(diǎn)撥：1. 向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)，只有當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才等于終點(diǎn)的坐標(biāo)。2. 求向量的坐標(biāo)一般要轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo)，解題時(shí)常常結(jié)合幾何圖形，利用三角函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。例題2 （平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算）（1）若a（1，3），b（2，4），c（0，5），則3abc_。（2）已知三點(diǎn)A（2，1），B（3，4），C（2，0），試求向量3，2。思路分析：（1）中分別給出了兩向量的坐標(biāo)，可根據(jù)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算。（2）中給出了點(diǎn)的坐標(biāo)，可運(yùn)

7、用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到相應(yīng)向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行運(yùn)算。答案：（1）a（1，3），b（2，4），c（0，5），3abc3（1，3）（2，4）（0，5）（3，9）（2，4）（0，5）（320，945）（5，8）。（2）A（2，1），B（3，4），C（2，0），（3，4）（2，1）（1，5），（2，1）（2，0）（4，1），（2，0）（3，4）（5，4），33（1，5）（4，1）（5，），2（5，4）2（1，5）（7，14）。技巧點(diǎn)撥：平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算的方法：（1）若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算。（2）若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)

8、，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算。（3）向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行。例題3 （向量平行的坐標(biāo)表示）（1）已知四點(diǎn)坐標(biāo)A（1，1），B（1，5），C（2，1），D（4，11），請(qǐng)判斷直線AB與CD是否平行？（2）已知向量（k，12），（4，5），（10，k），當(dāng)k為何值時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線？思路分析：（1）判斷判斷點(diǎn)A是否在直線CD上結(jié)論。（2）求A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)k的值，則一定有成立，先求，再列方程組求解k。答案：（1）因?yàn)椋?，4），（4，11）（1，1）（5，10），（2，1）（1，1）（1，2），所以2，5，所以，由于與，有共同的起點(diǎn)A，所以A，B，C，D四點(diǎn)共線，因此直線A

9、B與CD重合。（2）（4k，7），（10k，k12），若A，B，C三點(diǎn)共線，則，（4k）（k12）7×（10k），解得k2或11，當(dāng)k2或11時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線。技巧點(diǎn)撥：1. 對(duì)于根據(jù)向量共線的條件求值的問題，一般有兩種處理思路，一是利用共線向量定理ab（b0）列方程組求解，二是利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2x2y10直接求解。2. 利用x1y2x2y10求解，解決向量共線問題的優(yōu)點(diǎn)在于不需要引入?yún)?shù)“”，從而減少未知數(shù)個(gè)數(shù)，而且使問題的解決具有代數(shù)化的特點(diǎn)及程序化的特征。充分利用向量共線解決求值問題【例證】已知AOB中，O（0，0），A（0，5），B（4，3），AD與BC交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。思路分析：由已知條件易求得點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，再由點(diǎn)M是AD與BC的交點(diǎn)，即A，M，D三點(diǎn)共線與B，M，C三點(diǎn)共線可得到以點(diǎn)M的坐標(biāo)為解的方程組，解方程組即可。答案：點(diǎn)O（0，0），A（0，5），B（4，3），（0，5），（4，3），（0，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），同理可得D（2，），設(shè)點(diǎn)M（x，y），則（x，y5），A，M，D共線，與共線