貝塞爾曲線和B樣條曲線

1、§4.3 貝塞爾曲線和B樣條曲線在前面討論的拋物樣條和三次參數(shù)樣條曲線，他們的共同特點(diǎn)是：生成的曲線通過所有給定的型值點(diǎn)。我們稱之為“點(diǎn)點(diǎn)通過”。但在實(shí)際工作中，往往給出的型值點(diǎn)并不是十分精確，有的點(diǎn)僅僅是出于外觀上的考慮。在這樣的前提下，用精確的插值方法去一點(diǎn)點(diǎn)地插值運(yùn)算就很不合算；另外，局部修改某些型值點(diǎn)，希望涉及到曲線的范圍越小越好，這也是評(píng)價(jià)一種擬合方法好壞的指標(biāo)之一。針對(duì)以上要求，法國(guó)人Bezier提出了一種參數(shù)曲線表示方法，稱之為貝塞爾曲線。后來又經(jīng)Gorgon, Riesenfeld和Forrest等人加以發(fā)展成為B樣條曲線。一、 貝塞爾曲線貝塞爾曲線是通過一組多邊折線

2、的各頂點(diǎn)來定義。在各頂點(diǎn)中，曲線經(jīng)過第一點(diǎn)和最后一點(diǎn)，其余各點(diǎn)則定義曲線的導(dǎo)數(shù)、階次和形狀。第一條和最后一條則表示曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)的切線方向。1.數(shù)學(xué)表達(dá)式n+1個(gè)頂點(diǎn)定義一個(gè)n次貝塞爾曲線，其表達(dá)式為： 為各頂點(diǎn)的位置向量，為伯恩斯坦基函數(shù)2.二次貝塞爾曲線需要3個(gè)頂點(diǎn)，即，將其代入曲線表達(dá)式： 當(dāng)時(shí)：3.三次貝塞爾曲線三次貝塞爾曲線需要4個(gè)點(diǎn)，即、。其中： 貝塞爾曲線特點(diǎn)：1.n個(gè)頂點(diǎn)定義n-1次曲線，當(dāng)頂點(diǎn)數(shù)較大時(shí)，擬合的曲線階次太高。2.任一頂點(diǎn)對(duì)整條曲線的形狀都有關(guān)系，不利于局部修改。二、B樣條曲線用B樣條曲線基函數(shù)替代伯恩斯坦基函數(shù)。1.數(shù)學(xué)表達(dá)式通常，給定m+n+1個(gè)頂點(diǎn)可以定義m+1段n次參數(shù)函數(shù)為： （），其中為B樣條分段混合函數(shù)，形式為： 段數(shù)、次數(shù) 段數(shù)=節(jié)點(diǎn)數(shù)-次數(shù)，每段曲線與n+1個(gè)點(diǎn)有關(guān)； 2.二次B樣條曲線n=2,k=0,1,2 3.三次B樣條曲線n=3, k=0, 1, 2, 3其中， 稱為特征多邊形。 例: 設(shè)，用以上四個(gè)點(diǎn)構(gòu)造2次B樣條曲線。由B樣條的定義可知，4個(gè)點(diǎn)可定義2次B樣條曲線2段：m+n+1=4 n=2 m+1=2t00.20.40.60.81A0.50.320.180.080.020B0.50.660.740.740.660.5C00.020.08