車輛隨機(jī)振動基礎(chǔ)

1、§9車輛隨機(jī)振動車輛的隨機(jī)振動實(shí)際上是車輛運(yùn)行時的振動響應(yīng)，這種響應(yīng)主要是由于軌道不平順的隨機(jī)激勵而引起的。本章主要介紹隨機(jī)振動以及相關(guān)的概念，以及單軸車模型在隨機(jī)激勵下響應(yīng)的基本特征，初步了解車輛隨機(jī)振動的分析計算方法和改善車輛運(yùn)行平穩(wěn)性的途徑。所討論的是車輛系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)和參數(shù)是對稱的，因此垂向和橫向的強(qiáng)迫振動響應(yīng)是解耦的，可以分別獨(dú)立研究。對于機(jī)車而言，它產(chǎn)生振動的因素，除線路的構(gòu)造和狀態(tài)，輪對的構(gòu)造和狀態(tài)外，柴油機(jī)組和輸助機(jī)組的構(gòu)造和狀態(tài)也會起到激擾作用（對柴油機(jī)）；電動機(jī)的構(gòu)造和狀態(tài)對電力機(jī)車也會起到激擾作用。對車輛和機(jī)車的振動過程研究中，可在增加一組外力來反映這些作用。第一

2、節(jié)隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性一、隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性1隨機(jī)過程的基本概念一切物理現(xiàn)象可分為兩類：在給定的時間內(nèi)能確定其物理變量的現(xiàn)象就稱為確定性現(xiàn)象； 如在一靜止的車輛上置一激振器，以激起車體在彈簧裝置上的振動，激勵力是已知的簡諧力，車體受激勵而產(chǎn)生的振動規(guī)律由來描述。車體在任意時間t的振幅和加速度都可由計算確定，這種振動稱為確定性的振動，它由確定性的激勵所引起。反之在給定時間t物理變量不能預(yù)先確定的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。如在任意時間t的振動變量不能預(yù)先確定，而只能用概率統(tǒng)計的方法對其進(jìn)行整體描述，這種振動稱為隨機(jī)振動。在隨機(jī)振動中的一些量如振幅和加速度稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量是在隨機(jī)試驗的結(jié)果中能取到不同數(shù)

3、值的量。隨機(jī)過程：不能用確定性函數(shù)來描述但具有一定統(tǒng)計特性的過程稱為隨機(jī)過程。隨機(jī)過程是一簇n個隨機(jī)變量的總集合。其中任一個元素稱為隨機(jī)過程的樣本。振動的時間歷程：以時間t橫坐標(biāo)，以振動量（位移、速度和加速度）為縱坐標(biāo)的線圖，常稱為振動波形圖。 X1(t)nt x2(t) xn(t) t1 t1+ t2 tm在研究許多隨機(jī)過程時通常作如下徦設(shè)：1） 平穩(wěn)性假設(shè)若一隨機(jī)過程x（t）在任何時間t1時的概念統(tǒng)計規(guī)律與t1+時的一樣，即過程的概率統(tǒng)計規(guī)律不因時間的推移而改變，則稱x(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程；2）各態(tài)歷經(jīng)性徦設(shè)隨機(jī)振動的統(tǒng)計特性是考慮全部子樣而得到的。如果在任一時間ti跨越總集合的統(tǒng)計特性與

4、單個子樣xi(t)的統(tǒng)計特性相等，則稱這個隨機(jī)過程為各態(tài)歷經(jīng)的。3) 隨機(jī)振動過程的概率分布符合正態(tài)（高斯）分布規(guī)律。二、隨機(jī)變量的概率密度和均值 為了描述隨機(jī)過程的特性，采用時域上的各種參數(shù)和頻域上的參數(shù)來進(jìn)行。先了解如下概念。1 幅值概率密度（概率的定義：E是隨機(jī)試驗，S是它的樣本空間，對于E的每一事件A賦予一實(shí)數(shù)，記為P（A），稱為事件A的概率，如果它滿足下列條件：1。對于每一事件A有0P（A）1，2。P（S）13。對于兩兩互不相容的事件AK（）有P（）P（A1）P（A2）P（An）)幅值概率密度用表示.幅值概率密度是隨機(jī)變量瞬時值出現(xiàn)于某一單位幅值區(qū)間內(nèi)的概率。隨機(jī)振動幅值處于x到x+

5、x之間的概率是 幅值 T1 t2 t3 tn在振動時間歷程上x+xxt T概率密度曲線愈精確。 X2x1與x2對應(yīng)的面積就是x1與x2之間的幅值出現(xiàn)的概率 x0 x1 x1+其值為2 統(tǒng)計平均值與概率分布隨機(jī)振動的幅值特性由時間域內(nèi)的下列均值來描述：1）平均值或2)平均絕對值或3） 均方值或4）均方根值或平均值為T時間內(nèi)x(t)的算術(shù)平均值，代表了隨機(jī)變量的穩(wěn)態(tài)量。當(dāng)平均值0時，和就分別等于統(tǒng)計學(xué)中的方差和標(biāo)準(zhǔn)離差。方差的定義為表示隨機(jī)變量在其平均值兩邊的分布特性。均方值和均方根值能表征隨機(jī)振動所含的能量，是個重要的描述量。對于振幅為的正弦波，平均值0均方值隨機(jī)振動的概率分布通常服從正態(tài)分規(guī)律

6、，若振動瞬時值為x，幅值的平均值m。其幅值概率密度m值的改變將使曲線沿x軸平移而不改變其形狀。改變時將使曲線形狀改變，但曲線和x軸之間所圍的面積仍然不變而等于1。愈小，則該面積愈集中于平均值m的附近。隨機(jī)振動幅值的概率主要分布在±3之間。占到99.7%。 +xx(t) 3 m m 3 0 p(x) 0 -x 隨機(jī)振動幅值的正態(tài)分布因此常把m+3作為隨機(jī)振動的最大幅值。正態(tài)分布的均方值可由這兩式求得，m2+三、隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度函數(shù)（一）相關(guān)函數(shù) 1自相關(guān)函數(shù) 隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)定義為的平均值即對于各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程，每個樣本函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)定義為 t m2X1X2t o

7、T 時間歷程 自相關(guān)函數(shù)曲線描述的是一個特定的瞬時幅值與先前某一瞬時t時的幅值的關(guān)聯(lián)程度。小，x(t+)與x(t)關(guān)系密切；大，x(t+)與x(t)關(guān)系不密切。x(t)所決定的成分減少。也就小。當(dāng)，x(t+)與x(t)無關(guān)，此時，就衰減到隨機(jī)變量平均值的平方，或衰減到零。當(dāng)0時，自相關(guān)函數(shù)為上式表明，自相關(guān)函數(shù)的最大值即等于該隨機(jī)變量的均方值。如果x(t)是周期性函數(shù)，則其自相關(guān)函數(shù)也是周期性的。2互相關(guān)函數(shù)兩個不同的平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)x(t)與 y(t)之間的互相關(guān)函數(shù)定義為：和對各態(tài)歷經(jīng)過程，可以用樣本函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)來表示，即對于大多數(shù)隨機(jī)過程，時差越大則相關(guān)性越弱，當(dāng)很大時，可以認(rèn)為x與y互

8、不相關(guān)，此時有互相關(guān)函數(shù)的圖線形狀和自相關(guān)函數(shù)相類似，但其左右的對稱軸不象后者是在0時，而是在某一0時互相關(guān)函數(shù)達(dá)到最大值。（二）、功率譜密度函數(shù)1功率譜密度函數(shù)1） 從頻域上，用功率譜密度函數(shù)來描述。功率譜密度函數(shù)用Wx（f）表示。用譜密度的均方值對隨機(jī)變量的頻率結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述。對隨機(jī)振動而言，表示振動能量在頻率域上的分布。其定義為隨機(jī)變量x(t)在微小頻帶寬度內(nèi)的均方值除以帶寬Wx（f）：某一窄頻的帶寬；：在范圍內(nèi)的變量，即經(jīng)過帶寬為的窄帶濾波器后的變量，如振動量。（位移、加速度、速度等）Wx（f）中含有項，表示了系統(tǒng)的能量如振動系統(tǒng)的位能。（動能，粘性阻尼消耗的能量都和振幅的平方成正比）。

9、故Wx（f）表示了能量的度量，借用“功率”來命名，實(shí)際上Wx（f）本身并不包含功率的意思，故稱其為均方譜密度函數(shù)更確切。還被稱為：功率譜（power spectral density）PSD自功率譜譜密度Wx（f）縱坐標(biāo)為Wx（f）；橫坐標(biāo)為f；頻率范圍在fa 、fb之間；f1、 f2的振動分量較大； fO fa f1 f2 fb 寬頻帶的隨機(jī)功率譜圖頻譜圖可通過將實(shí)測的隨機(jī)振動的時間歷程記錄經(jīng)頻譜分析儀得到。功率譜密度函數(shù)的單位：（隨機(jī)變量單位）2/單位頻率。如當(dāng)x(t)是振動位移的時間歷程時，其譜密度單位為（位移）2/HZ。當(dāng)x(t)是振動加速度的時間歷程時，其譜密度單位為（g）2/HZ。

10、 當(dāng)x(t)是軌道不平順波形時，其譜密度單位為（mm）2·m/周。功率譜圖形的意義：上式左邊為上圖中以陰影表示的微面積；右邊為微小寬帶內(nèi)的均方值。于是在整個頻帶范圍內(nèi)由Wx（f）和橫坐標(biāo)所圍的面積就等于全部寬帶內(nèi)的相應(yīng)的均方值之和。即等于x(t)的總的均方值功率譜的作用：通過對它的分析，有助于了解隨機(jī)振動的機(jī)理，有助于進(jìn)行振動模擬。如已測得軌道不平順的功率譜，就可對其進(jìn)行譜型模擬，用它作激勵函數(shù)在室內(nèi)對車輛進(jìn)行振動模擬試驗，由此而得到試驗結(jié)果和車輛在實(shí)際線路上運(yùn)行的結(jié)果具有相同的特性。在隨機(jī)過程理論的推理中，常用傅里葉變換來表明自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)間的關(guān)系：（1）（2）稱為自相

11、關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，而則稱為的傅里葉逆變換。在（2）式中令0則得因，故這樣，又得到了均方值等于曲線與橫坐標(biāo)軸之間面積的關(guān)系式。上式中的稱為雙邊功率譜。Wx（f）稱為單邊功率譜Wx（f）f兩種功率譜的關(guān)系式為2d= Wx（f）df而f=/2df=d/2所以，有Wx（f）42互功率譜密度函數(shù)兩個隨機(jī)過程的互譜密度函數(shù)定義為這兩個過程的互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。即互譜密度的一個重要性質(zhì)是兩者為共軛復(fù)數(shù)，即第二節(jié)線性系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的基本特性當(dāng)系統(tǒng)的激勵與響應(yīng)可以用線性微分方程描述時，成為線性系統(tǒng)。若系統(tǒng)方程中的系數(shù)不隨時間而變，則稱為常系數(shù)線性系統(tǒng)。一、線性系統(tǒng)的基本特性常系數(shù)線性系統(tǒng)具有如下特性：1）

12、疊加性：若系統(tǒng)的激勵函數(shù)x1(t)單獨(dú)作用下，對應(yīng)于某一響應(yīng)為y1(t),在xn(t)作用下的響應(yīng)為yn(t),則在x1（t）x2(t)、。xn（t）的同時作用下總的響應(yīng)y(t)為y1(t) 、y2(t) 。yn(t)之和；2） 齊次性當(dāng)激勵的輸入項按某一倍數(shù)變化時，輸出量也按同一倍數(shù)變化；3） 頻率保存性系統(tǒng)在頻率為的諧和函數(shù)激勵下，其響應(yīng)也具有相同的頻率，不會引起頻率的轉(zhuǎn)換，而只能改變相位和振幅。線性系統(tǒng)適用于疊加原理，可使問題簡化。這樣可將系統(tǒng)分解為一個輸出對應(yīng)于一個輸入來研究，然后將響應(yīng)進(jìn)行疊加即得系統(tǒng)總的響應(yīng)。二、頻率響應(yīng)函數(shù)線性振動系統(tǒng)受到諧和函數(shù)x(t)=x0sint激勵時，其響

13、應(yīng)也具有同頻率的簡諧波，但存在相位差，即y(t)=y0sin(t+).因此，用振幅比y0/ x0和相角就可確定系統(tǒng)的傳遞特性。頻率響應(yīng)函數(shù)或傳遞函數(shù)用H（）表示H（）的定義：該函數(shù)的模等于輸出與輸入的振幅比，虛部與實(shí)部之比等于相角的正切。即H（）A（）jB（）注意：輸出量并不一定就是振幅，是廣義的幅值。y0 具有不同的意義時，H（）值也不同。應(yīng)用復(fù)數(shù)表示法中的的關(guān)系，可將上面輸入和輸出寫為隨然是系統(tǒng)對諧和輸入的頻第響應(yīng)函數(shù)，但在隨機(jī)輸入所引起的隨機(jī)振動響應(yīng)中有十分重要的應(yīng)用，它決定了系統(tǒng)的響應(yīng)特性。（一） 單自由度系統(tǒng)受單一激勵時的頻率響應(yīng)函數(shù)F（t）求的方法 MZ系統(tǒng)受到軌道不平順Zv(t)

14、的激勵 K C其動動方程為取ZV（t）為單位振幅的諧和函數(shù) t則響應(yīng)z(t)= 將 z(t)代入上面方程Zv(t)得為求出的模令EK，F(xiàn)C，GKM2，HC則的模為： 再進(jìn)行下面代換：令系統(tǒng)的自振頻率為P，減振因素為D，頻率比為r,則有PD將上式分子分母各除以K，經(jīng)演算后得上式為車體振幅與線路波形振幅之比的擴(kuò)大倍率。（二）、單自由系統(tǒng)受多個激勵時的頻率響應(yīng)函數(shù)仍以上圖為例，除有軌不平順產(chǎn)生的激勵外，簧上部分還作用有垂向激振力系統(tǒng)的方程為該系統(tǒng)的已求得，以下求作用的頻率響應(yīng)函數(shù)現(xiàn)令Zv(t)0，代入上式得為求其模，將上式寫成于量有當(dāng)系統(tǒng)受到多個激勵時，便會有多個頻率響應(yīng)函數(shù)，其中每一個都可按求的方

15、法單獨(dú)求出。以上討論的是系統(tǒng)輸出位移的頻率響應(yīng)函數(shù)，對于輸出的是振動速度和加速度時可如下處理；若系統(tǒng)輸出的是y(t)=y0sin(t+)，輸入的是x(t)=x0sint，則有= y0cos(t+) =y02sin(t+)于是，振動速度和加速度的頻率響應(yīng)函數(shù)分別為三、系統(tǒng)響應(yīng)的譜密度隨機(jī)過程理論表明：對于線性系統(tǒng)，如果輸入的函數(shù)是平穩(wěn)隨機(jī)過程而且是各態(tài)歷經(jīng)的和呈正態(tài)分布的，則輸出的振動響應(yīng)也是平穩(wěn)的、各態(tài)歷經(jīng)的和呈正態(tài)分布的。如單個輸入函數(shù)x(t)的譜密度為SX（），輸出函數(shù)y(t)的相應(yīng)譜密度為Sy(),則有下列重要關(guān)系存在：（1）當(dāng)有兩個輸入函數(shù)時有：Sy()（2）式中分別為的復(fù)數(shù)共軛；分別

16、為輸入的譜密度；分別為輸入的互譜密度。當(dāng)有n個輸入函數(shù)時，則相應(yīng)的式子為：（3）對于單個輸入的情況有因復(fù)數(shù)和它的復(fù)共軛的乘積等于該復(fù)數(shù)模的平方，故有（1）式對于互不相關(guān)的各個輸入，其互譜密度均為零，由式（3）可得（4）由3式與4式比較，互譜密度為零時，計算響應(yīng)的譜密度要簡單得多。因此，只要互譜密度很小，在工程計算中往往略運(yùn)河不計。四、系統(tǒng)響應(yīng)的均方值若已知系統(tǒng)的響應(yīng)譜密度，則其均方值可按下式求得：（5）對于單個輸入，有度度ef1gh1gqj1tgj1s1ud1txi1dh z z對于多個互不相關(guān)的輸入，有即此時系統(tǒng)總的均方響應(yīng)值為各個輸入產(chǎn)生的響應(yīng)均方值之總和。如多個輸入之間存在著相關(guān)關(guān)系時，

17、就需用（3）式求出相應(yīng)的譜密度，然后再用式（5）求出響應(yīng)的均方值。對于單個輸入的響應(yīng)加速度均方值有：（6）式中的即導(dǎo)出得到，過程加速度的譜密度是原振動位移譜密度的倍。同樣有振動速度的譜密度是原振動位移譜密度的倍。有此重要關(guān)系，就可從已知的輸入譜密度通過以上關(guān)系式計算出響應(yīng)速度和加速度的均方值。而后者正是計算車輛響應(yīng)和評定平穩(wěn)性所必須的。例由上圖系統(tǒng)為例計算其響應(yīng)的均方值。這里僅考慮由的激勵引起的響應(yīng)。S0設(shè)的譜密度為常數(shù)，即S0。0輸入譜密度利用n 0n 頻響函數(shù)可得出輸出的譜密度為：見圖n 0n輸出譜密度輸出的均方值為：這種形式的定積分可由查表得到，結(jié)果得：由于譜密度曲線下面的面積等于響應(yīng)的均方值，由圖可見，系統(tǒng)的振動能量集中在共振峰值附近。這表明在寬帶的輸入作用下其輸出是一個窄帶過程。第三節(jié) 車輛簡化模型的垂向隨機(jī)振動一、具有一個自由度模型的響應(yīng)減小振動響應(yīng)的途徑：以簡化模型為對象時車輛隨機(jī)振動響應(yīng)的一些重要特征：1、 車體的均方根加速度和軌道不平順的大小有關(guān)，線路的等級和技術(shù)狀態(tài)愈差，則振動加速度愈大；2、 振動加速度隨運(yùn)行速度的提高而明顯增大，速度增加一倍時加速度要增大41%；3、 振動加速度隨車輛自振頻率的提高而急劇加大；4、 系統(tǒng)的阻尼和剛度比對振動響應(yīng)有不同程度的影響。途徑：1、 降低車輛的自