高等代數(shù)李海龍習(xí)題第10章群、環(huán)和域簡介

1、第十章 群、環(huán)和域簡介10.1 群1 判斷下列集合對于所給的運(yùn)算來說哪些作成群,哪些不作成群：(1) 某一數(shù)域F上全體矩陣的加法；(2) 全體正整數(shù)對于數(shù)的乘法；(3) 對于數(shù)的乘法；(4) 對于數(shù)的乘法；(5) 對于數(shù)的乘法解：(1) 設(shè)數(shù)域F上全體矩陣的集合為，對于矩陣的加法來說作成一個加群因為對任意，有1°=(加法結(jié)合律) 2°中存在零矩陣，使得對任意的，有3°對于，有使得4°對于，有(2) 全體正整數(shù)對于數(shù)的乘法不作成群因為對于數(shù)的乘法來說，單位元是1，但是對于正整數(shù)a=2來說不存在正整數(shù)b使得a×b=1(3) 集合對于數(shù)的乘法作成阿貝

2、爾群因為1°對于，有=2°在中有，使得，有=3°對于，存在使得=14°對于，有=(4) 集合對于數(shù)的乘法來說不作成群因為中的單位元是1，而對于不存在，使得(5) 集合對于數(shù)的乘法作成群（阿貝爾群）因為對于任三個元素來說，結(jié)合律顯然成立再者有單位元1對于中元素來說=，并且1的逆元是1，的逆元是2 證明群中的指數(shù)規(guī)則（1）、（2）證明：設(shè)是一個群，則，對于Z,如果，設(shè)， ，并且注意當(dāng)時，對于，有于是1°當(dāng)時，=；2°當(dāng)時，=，當(dāng)時，同理可證；3°當(dāng)時，=；4°當(dāng)時，=所以對任意Z,都有=,即（1）式成立其次我們先證對于

3、任意的Z，都有=再由定義=，根據(jù)中每一個元素的逆元的唯一性，=以下證明等式（2）成立1°當(dāng)時，=2°當(dāng)時，=當(dāng)時，=3°當(dāng)時，=綜上所述所證，群中指數(shù)規(guī)則（1）、（2）成立3 設(shè)，的乘法由下面的表給出：證明對于所給的乘法作成一個群證明：根據(jù)的乘法表可知，所以的乘法是可換的，以下證明對于乘法作成一個群1°結(jié)合律成立由于對于所給的乘法是可換的，對于結(jié)合律我們只要驗證也容易驗證以下的情況即可；其它情況由的乘法可換性，立即可以證得2°中有單位元，使得對于中任意元素，都有，3°中每一個元素都有逆元，的逆元是，（因為），而的逆元是，的逆元是，（因

4、為）所以對于所給的乘法作成一個（可換）群4 證明，一個群是阿貝爾群的充要條件是：對任意的和任意的整數(shù)，都有 證明：必要性，已知群對乘法運(yùn)算可換，且對結(jié)合律成立設(shè)，而是任意的整數(shù)，因為對指數(shù)規(guī)則（1）、（2）成立故有=充分性，設(shè)，而是整數(shù)，有，令，則有，即=，所以=，在此等式兩邊左乘以并右乘以，得=，所以 =，即 =所以是一個阿貝爾群5 證明，群的兩個子群的交還是的一個子群證明：設(shè)，是群的兩個子群，則（至少有一個單位元）1°對于則且，因為，是子群，所以且，所以；2°設(shè)，則且因為，是子群，所以且，所以，所以，由子群的定義可知，是的一個子群6 證明，維歐氏空間的全體正交變換作成上

5、一般線性群的一個子群，這個群稱為上的正交群，用記號表示證明：一般線性群是指維歐氏空間上全體可逆線性變換的集合對上的線性變換與線性變換的乘法來說作成的群因為正交變換是可逆的線性變換，且單位變換也是正交變換所以是的非空子集任意兩個正交變換的乘積也是正交變換，即乘法封閉正交變換的逆變換也是正交變換所以，維歐氏空間的全體正交變換的集合是一般線性群的一個子群7 令是群中的一個元素，令，證明是的一個子群，稱為由生成的循環(huán)子群特別，如果=，就稱是由生成的循環(huán)子群試各舉出一個無限循環(huán)子群和有限循環(huán)子群的例子證明：顯然，故非空，設(shè)，則；設(shè)，則，所以是的一個子群例1：設(shè)，運(yùn)算是加法運(yùn)算，則是無限循環(huán)群例2：設(shè)運(yùn)算

6、是剩余類的“加法”，則是由生成的有限循環(huán)群，它只有7個元素8 令=，設(shè)，定義 就是對的行作置換所得的矩陣，令=，其中是單位矩陣，證明作成的一個與同構(gòu)的子群證明：首先注意以下的幾個事實：1°設(shè)，由矩陣的乘法可知=（）2°集合=中的任一元素都是由階單位矩陣的各行所給的若干次的置換而得到，所以，每一個的每一行和每一列都是只有一個位置上的元素為1，其余位置上的元素全為0，并且而都是由的各行經(jīng)過對換而得到的所以=3°容易計算，集合=共有個不同的元素，不妨設(shè)為：=；所以是群的一個非空子集現(xiàn)在證明與同構(gòu)，由于是一個群，所以是的一個子群(1) 集合對的運(yùn)算（即矩陣乘法）是封閉的設(shè)

7、，則和是的兩個元素（矩陣）因為的第1，2，行分別是維向量，所以的第1，2，行分別是維向量，而的第1，2，行分別是維向量，由上述的事實2°可知的各列也是由一些單位向量所組成設(shè)其在第1，2，列分別是維向量，此處，是1，2，的某一個排列設(shè)=（是矩陣）由矩陣的乘法可知的第行的各個元素分別是，由上述事實1°可知，這個數(shù)中只有一個時才等于，其余各數(shù)均為0，（因為是1，2，的某一個排列），這樣矩陣的第行只有一個位置的元素是1，而其余位置的元素均為0，并且當(dāng)不同時，1的位置不同，令=1，2，可知矩陣的各行各列的元素都只有一個位置的1，而其余位置的元素均為0，并且=，所以，即(2) 存在著到

8、的一個同構(gòu)映射如上所述，=，設(shè)是的任意一個矩陣，用右乘的各個元素，得，因為對乘法是封閉的，所以它們?nèi)允侵袀€不同的元素（因為若=，由的可逆性則有=），這樣我們得到一個元素之間的一個置換，所以我們定義到的一個映射a） 是到的一個雙射它顯然是滿射，現(xiàn)證是單射設(shè)，且，則，因為若=，=1，2，由中元素的可逆性，則有=這與矛盾，所以是到的一個一一映射；b） 是到的一個同構(gòu)映射，設(shè)，依的對應(yīng)法則=，=，設(shè)，則有：=所以是到的一個同構(gòu)映射所以和同構(gòu)，又由于是群，因而也是群且9 設(shè)是一個群，映射，叫做的一個左平移證明：(1) 左平移是到自身的一個雙射；(2) 設(shè)，定義（映射的合成），則的全體左平移對于這樣的定義

9、的乘法作成一個群；(3) 證明：(1) ，是到的一個雙射首先是一個滿射，因為對于任意的，總存在一個，使得，其次的一個單射，因為，并且則(2) 是一個群因為對映射的乘法是封閉的，且對映射的乘法滿足結(jié)合律另外，設(shè)是的單位元，則是的單位元，對于都有=最后，設(shè)，因為，所以存在一個映射，使=，即中每一個元素都有逆元，所以是一個群(3) ，作到的一個映射：容易證明是雙射且若，=所以是到的一個同構(gòu)映射，即10 找出三次對稱群的一切子群（注意：要求證明你找出的子群已經(jīng)窮盡了的一切子群）解：三次對稱群=共六個元素現(xiàn)在設(shè)是的一個非空子集，如果要做的子群，則必須對的運(yùn)算是封閉的；同時有作為單位元，并且若則，而的逆元

10、是，的逆元是，的逆元是，的逆元是在的一切非空子集中，可能構(gòu)成的子群的非空子集只有以下情況：=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,經(jīng)檢驗，除,可構(gòu)成的子群外，其余的子集都對乘法不封閉，所以不構(gòu)成的子群10.2 剩余類加群1 寫出的加法表解：略2 證明：是循環(huán)群，并與次單位根群同構(gòu)證明：設(shè)是模的剩余類加群，其元素有個：，因為，這就是說中任意元皆是的倍數(shù)，所以可由生成，即=，故是循環(huán)群又設(shè)是次單位根群，則是階群，以表示的一個單位原根，則=，作到的一個映射，則顯然是到的一個雙射并且對于都有1°若，則=；2°若，則，故有=所以是到的一個同構(gòu)映射，即與同構(gòu)3

11、找到的所有子群解：已知，依習(xí)題10.1習(xí)題10的方法，在加群中，是單位元，與互為逆元，與互為逆元，與互為逆元所以，可能構(gòu)成的子群的集合有下列幾個：，=，經(jīng)檢驗，是的子群，其余子集均對運(yùn)算不封閉，不能構(gòu)成子群因此，的一切子群有，=，4 證明，每一個有限群含有一個子群與某一個同構(gòu)證明：設(shè)是元有限群，是的單位元，是中任意的元，作元素a的非負(fù)整數(shù)冪：=,因為是群，故上列這些元均是中的元素，又因為是階群，故上列元必有相同的設(shè),且，不妨設(shè)，而，所以=,即我們把滿足這一條件的最小正整數(shù)m稱為元a的階，顯然，若a的周期為m，則，（否則G有多于n個元素，這與G是n階群）令，因為，所以H是群G的非空子集，現(xiàn)證H是

12、G的子群，且1°H是G的子群首先H的元互不相同因為若，且則，（若，設(shè)，則，而這與是的階矛盾）同時，H對G的乘法封閉設(shè)則有，若，則，若，則，則，其次有單位元，最后設(shè)，則則必有正整數(shù)，使得，這時所以中任意一元都有逆元2°為了方便我們記作到的一個映射，顯然是雙射設(shè)，若，則 ，若則設(shè)，則所以是到的一個同構(gòu)映射，即5 設(shè)G、H是群，在中定義乘法：，證明，按照這樣的乘法來說作成一個群證明：因為，G、H是兩個群1°對乘法封閉設(shè)，因G、H是群，故，故2°的乘法適合結(jié)合律，設(shè)，則，又G、H是群,故，適合結(jié)合律因此=3°中有單位元，其中設(shè)，分別是G、H的單位元因為

13、對于，=，=4°中每個元都有逆元，其中，分別是，的逆元因為= ，=綜上所證，對所定義的乘法作成一個群6 寫出和，證明，證明：，=，=以下證明，因為是一個6階循環(huán)群，而元素的階是6，故可作為的生成元，在中的階也是6，故可以作為的生成元，即=所以是6階循環(huán)群作到的映射：，則在下，我們有，顯然是雙射再對的=16種情況逐一驗證，知是一個同態(tài)映射，因而是到同構(gòu)映射，即 7 任何一個四階循環(huán)群或者與同構(gòu)，或者與同構(gòu)證明：設(shè)是任一四階群，以下分兩種情況討論：(1) 若是任一四階循環(huán)群，則，而做到的映射，顯然是雙射，現(xiàn)設(shè)，若，則=，若，則，則 =所以是同構(gòu)映射，即(2) 若不是循環(huán)群，則作為一個群，

14、其乘法表為顯然，非循環(huán)群，的非單位元的階都是2，即，而= ，由的運(yùn)算性質(zhì)可知，的每個非單位元的階也都是2做到的映射，容易看出，映射是雙射，再對的=8種情況逐一驗證，知是一個同態(tài)映射，所以映射是同構(gòu)映射，即10.3 環(huán)和域1 證明，在一個交換環(huán)R里，二項式定理=對于任意的和正整數(shù)n成立證明：設(shè)，我們對于正整數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法來證明1°當(dāng)n=1時，=，命題成立；2°當(dāng)n=2時，=,命題成立；3°假定當(dāng)n=k時，命題成立，即有=成立，對于n=k+1時，我們有：= =,故結(jié)論成立2 設(shè)R是一個環(huán)，并且對于加法來說R作成一個循環(huán)群，證明R是一個交換環(huán)證明：由題設(shè)存在元a生成，

15、使得設(shè)，則，有=，=所以=，即R對乘法滿足交換律，故R是一個交換環(huán)3 證明，對于有單位元的環(huán)來說，加法適合交換律是環(huán)定義里其它條件是結(jié)果（提示：用兩種方式展示）證明：R是一個有單位元1環(huán)，則由環(huán)定義中條件（3）可知=，而=，因此 =，所以 =4 寫出和的加法和乘法表解：略5 設(shè)R是一個只有有限多個元的交換環(huán)，且R沒有零因子，證明R是一個域證明：因為R是一個只有有限多個元素的交換環(huán)，故可設(shè)是R的全部非零元，這意味著這n個元互不相同設(shè)是中之一，以乘以的所有元得，由于R沒有零因子，故這n個元素仍是R的非零元，且各不相同（因為若，由于R沒有零因子，故消去律成立，得到與元素各不相同矛盾），所以除去次序不

16、同和必完全相同因此，對于這個，必有一個存在（）使（因為如果不是這樣，則中沒有一個等于，這與與完全相同矛盾），因為R是一個交換環(huán)，所以1°以下我們證明是單位元設(shè)是G的任一元，由以上證明知除去次序不同和必完全相同，所以必有=，=,再由R是一個交換環(huán)，知，所以是G的單位元，記為是G的單位元2°以下證明G中的元素都有逆元，為此我們對G重新排序記為，設(shè)是G任意元，以乘以中每一個元，得，則由以上證明知除去次序不同和必完全相同，因而必有所以G是一個可換群，所以R是一個域6 設(shè)R是一個環(huán),，如果存在一個正整數(shù)n，使得，就說a是一個冪零元證明，在一個交換環(huán)里，兩個冪零元的和還是冪零元證明：設(shè)

17、是兩個冪零元，則有n,m是正整數(shù)，使得，由本習(xí)題1，在交換環(huán)中二項式定理成立，故有=因為,所以=0，所以是冪零元7 證明，在一個環(huán)R中，以下兩個條件等價：（i） R沒有非零的冪零元；（ii） 如果，且則證明：設(shè)（）成立我們證明（）成立因為，但是R中沒有非零冪零元，所以反之，設(shè)（）成立我們證明（）成立設(shè)是任一冪零元，則存在一個正整數(shù)n,使得，以下證明，假設(shè)，由（）成立，則有（否則由若則，矛盾），同理，即，如此繼續(xù)下去，則有，而當(dāng)時，由已知有，矛盾所以，假設(shè)不成立，即（）成立8 設(shè)與是環(huán)，是一個同態(tài)映射，證明，（i） 是的一個子環(huán)；（ii） 是的一個子環(huán)，并且對任意的，都有，如果與都有單位元，能不

18、能斷定是的單位元？當(dāng)是滿射時，是的單位元？證明：(i) 因為與是環(huán)，是一個同態(tài)映射，所以（此處0是的零元，是的零元），所以，又，即是的非空子集所以對于，有（因為是環(huán)，所以），并且所以是的一個子環(huán)；(ii)因為與是環(huán)，是一個同態(tài)映射，所以，所以，設(shè)，則，于是，所以，且，故，因此，是的一個子環(huán)對于，則，所以如果與都有單位元，是一個同態(tài)映射，則不一定是的單位元，例如，作的映射，則顯然是一個同態(tài)映射，但不是的單位元如果是滿射，是的單位元9 設(shè)和是域，是同態(tài)映射，證明，或者，或者是個單射，（提示：利用第8題（）證明或者等于零，或者等于）證明：因為和是域，是同態(tài)映射，所以和是環(huán)，由上題（）知是的一個子環(huán)（

19、域），以下分兩種情況討論：（i） 若，則對于任意的，有，于是 ，所以，但，所以，所以是個單射；（ii） 若，則必有非零元素，設(shè)并且，又因為是域，所以在中必有逆元，由上題（）知，即，設(shè)是中任意元素，再由（）的結(jié)果可知：，所以，而，所以，當(dāng)時，10 證明，2階實矩陣的子集作成一個與復(fù)數(shù)域同構(gòu)的域證明：首先證明是環(huán)的一個子域設(shè)，是任意兩個元素，其中a,b,c,d,則=,又當(dāng)時，c,d不全為零，則，所以存在，且，所以，于是=,所以是環(huán)的一個子域，現(xiàn)在作復(fù)數(shù)域到的一個映射，顯然，是到的一個雙射現(xiàn)在設(shè)，則=又=所以是到的同構(gòu)映射，即作成一個與同構(gòu)的域11 令是有理數(shù)域，是一個環(huán)，而，都是到環(huán)的環(huán)同態(tài)，證明，若對任意整