202X屆高中數(shù)學(xué)第二章點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3.1直線與平面垂直的判定課件新人教A版必修2

1、2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定一二三一、直線與平面垂直的定義1. (1)如圖,陽光下直立于地面的旗桿AB與它在地面上的影子BC的位置關(guān)系是什么?隨著太陽的移動,旗桿AB與影子BC所成的角度會發(fā)生改變嗎?提示:垂直關(guān)系,所成的角度不變,都為90.一二三(2)如圖,旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線BC的位置關(guān)系又是什么?依據(jù)是什么?由此得到什么結(jié)論?提示:垂直關(guān)系,依據(jù)是異面直線所成角的定義.得到的結(jié)論是:如果一條直線與平面垂直,則這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線.一二三2.填表:直線與平面垂直的定義 一二三二、直線與平面垂直的

2、判定定理1.如圖,直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線a,b,c都垂直,直線l與平面一定垂直嗎?為什么?提示:不一定.當(dāng)平面內(nèi)的無數(shù)條直線a,b,c都互相平行時,直線l在保證與直線a,b,c都垂直的條件下,與平面可能垂直也可能斜交.一二三2.請同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片,我們一起來做如圖所示的試驗:過ABC的頂點A翻折紙片,得到折痕AD,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD,DC與桌面接觸),問:折痕AD與桌面垂直嗎?如何翻折才能保證折痕AD與桌面所在平面垂直?提示:從實驗可知:當(dāng)AD與BC不垂直時,翻折后的紙片豎起放置在桌面上折痕AD與桌面不垂直;當(dāng)AD與BC垂直時,翻折后的紙片豎起放置在桌面上折痕A

3、D與桌面垂直.一二三3.由折痕ADBC,翻折之后垂直關(guān)系不變,即ADCD,ADBD.由此你能得到什么結(jié)論?提示:若一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直且相交,則該直線垂直這個平面.4.填表:直線和平面垂直的判定定理一二三5.做一做:下列說法中正確的個數(shù)是()如果直線l與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則l;如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線垂直,則l;如果直線l不垂直于,則內(nèi)沒有與l垂直的直線;如果直線l不垂直于,則內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直.A.0B.1C.2D.3解析:由直線和平面垂直的判定定理知正確;由直線與平面垂直的定義知,正確;當(dāng)直線l與平面不垂直時,l可能與內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,故不對;正確

4、.答案:D一二三三、直線與平面所成的角1.平面的斜線、斜足是怎樣定義的?斜線在平面上的射影是如何定義的?什么是斜線與平面所成的角?提示:如圖,一條直線PA和一個平面相交,但不和平面垂直,這條直線PA叫做這個平面的斜線,它們的交點A叫做斜足.過斜線PA上斜足A以外的一點P向平面引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線PA在平面上的射影.斜線PA和它在平面上的射影AO所成的銳角PAO,叫做斜線PA和平面所成的角.一二三2.直線與平面所成的角的取值范圍是什么?提示:一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角等于90;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它們所成的角等于0.因此,直線與平面所成的角

5、的范圍是090.一二三3.做一做:如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AB1與平面ABCD所成的角等于;AB1與平面ADD1A1所成的角等于;AB1與平面DCC1D1所成的角等于.解析:B1AB為AB1與平面ABCD所成的角即45;B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角,即45;AB1與平面DCC1D1平行,即所成的角為0.答案:45450探究一探究二探究三思想方法證明直線與平面垂直證明直線與平面垂直例1如圖所示,在ABC中,ABC=90,D是AC的中點,S是ABC所在平面外一點,且SA=SB=SC.(1)求證:SD平面ABC;(2)若AB=BC,求證:BD平面SAC.思路分

6、析:題設(shè)條件中的三棱錐的三條側(cè)棱相等,ABBC,D是AC的中點,要證(1),需在平面ABC內(nèi)找兩條相交直線與SD垂直,故等腰三角形底邊的中線是可以利用的垂直關(guān)系,要證(2),需設(shè)法在平面SAC內(nèi)找兩條相交直線與BD垂直,而(1)的結(jié)論可利用.探究一探究二探究三思想方法證明(1)SA=SC,D為AC的中點,SDAC.連接BD.在RtABC中,有AD=DC=DB,SDB SDA.SDB=SDA=90.SDBD.又ACBD=D,SD平面ABC.(2)AB=BC,D是AC的中點,BDAC.又由(1)知SDBD,且ACSD=D,BD平面SAC.探究一探究二探究三思想方法方法總結(jié) 證線面垂直的方法1.線線

7、垂直證明線面垂直(1)定義法(不常用);(2)判定定理最常用(有時作輔助線).2.平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)(1)ab,ab;(2),aa.探究一探究二探究三思想方法變式訓(xùn)練 如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,B1A1C1=90,D為BB1的中點.求證:AD平面A1DC1.證明AA1底面ABC,平面A1B1C1平面ABC,AA1平面A1B1C1,A1C1AA1.又B1A1C1=90,A1C1A1B1.而A1B1AA1=A1,A1C1平面AA1B1B.又AD平面AA1B1B,A1C1AD.A1DAD.A1C1A1D=A1,AD平面A1DC1.

8、探究一探究二探究三思想方法證明兩直線垂直證明兩直線垂直例2 如圖,已知PA垂直于O所在的平面,AB是O的直徑,C是O上任意一點,求證:BCPC.思路分析:首先利用PA平面ABC得到PABC,然后根據(jù)圓的性質(zhì)得到ACBC,進(jìn)而利用線面垂直判定定理證得BC平面PAC,從而得到BCPC.證明:PA平面ABC,BC平面ABC,PABC.AB是O的直徑,BCAC.而PAAC=A,BC平面PAC.PC平面PAC,BCPC.探究一探究二探究三思想方法反思感悟反思感悟線線垂直的證明方法要證明兩條直線垂直(無論它們是異面還是共面),通常是證明其中的一條直線垂直于另一條直線所在的一個平面.探究一探究二探究三思想方

9、法延伸探究延伸探究若本例中其他條件不變,作AEPC交PC于點E,求證:AEPB.證明:由【例2】知BC平面PAC,AE平面PAC,BCAE.PCAE,且PCBC=C,AE平面PBC.PB平面PBC,AEPB.探究一探究二探究三思想方法求直線與平面所成的角求直線與平面所成的角例3已知四面體ABCD的棱長都相等,Q是AD的中點,則CQ與平面BCD所成的角的正弦值為.思路分析:作AO平面BCD,垂足為O,連接OD取OD中點P,連接QP,CPQCP就是斜線CQ與平面BCD所成的角求出sinQCP探究一探究二探究三思想方法解析:過點A作AO平面BCD,垂足為O,連接OB,OC,OD.取OD中點P,連接Q

10、P,CP.由AO平面BCD,四面體的棱長都相等知點O是三角形三邊垂直平分線的交點,也是三角形角平分線的交點.Q是AD中點,P是OD中點,QPAO.AO平面BCD,QP平面BCD.QCP就是CQ與平面BCD所成的角.在正三角形ACD中,Q是AD的中點,探究一探究二探究三思想方法反思感悟反思感悟求斜線與平面所成的角的步驟(1)作圖.作(或找)出斜線在平面上的射影,將空間角(斜線與平面所成的角)轉(zhuǎn)化為平面角(兩條相交直線所成的銳角).(2)證明.證明找出的平面角是斜線與平面所成的角.(3)計算.通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算.探究一探究二探究三思想方法變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練如圖,在RtB

11、MC中,斜邊BM=5,它在平面ABC上的射影AB長為4,MBC=60,則MC與平面CAB所成角的正弦值為.解析:由題意知,點A是點M在平面ABC內(nèi)的射影,MA平面ABC,MC在平面CAB內(nèi)的射影為AC.MCA即為直線MC與平面CAB所成的角.在RtMBC中,BM=5,MBC=60,探究一探究二探究三思想方法數(shù)學(xué)思想空間平行與垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的綜合應(yīng)用典例如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,作EFPB交PB于點F.(1)求證:PA平面EDB;(2)求證:PB平面EFD.探究一探究二探究三思想方法證明(1)連接AC交BD于點O.連接

12、EO,如圖.底面ABCD是正方形,點O是AC的中點.在PAC中EO是中位線,PAEO.而EO平面EDB,且PA平面EDB.所以PA平面EDB.探究一探究二探究三思想方法(2)PD底面ABCD,且DC底面ABCD,PDDC.PD=DC,可知PDC是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC的中線,DEPC.同樣由PD底面ABCD,得PDBC.底面ABCD是正方形,有DCBC,BC平面PDC.而DE平面PDC,BCDE.由和推得DE平面PBC.而PB平面PBC,DEPB.又EFPB,且DEEF=E,PB平面EFD.方法總結(jié) 利用空間平行關(guān)系及垂直關(guān)系的判定定理進(jìn)行證明,證明時一定要將定理的條件考慮全面,保證條件的齊全性.12341.若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于 ()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC解析:OAOB,OAOC且OBOC=O,OA平面OBC.答案:C12342.已知直線a平面,直線b平面,則a與b的關(guān)系為 ()A.abB.abC.a,b相交不垂直D.a,b異面不垂直解析:由b,過b作平面,使=c,則bc,且c.a,ac.ab.答案:B12343.在正方體A1B1C1D1-ABCD中,E,F分別是棱AB,BC的中點,O是底面ABCD的中心(如圖),則EF與平