流體力學第六流動

1、第六章平面不可壓勢流§6.1勢函數(shù)和流函數(shù)勢函數(shù)只存在中。無旋時，W恒為零，即- ¶v¶v¶vz¶v- ¶v- ¶vW=y0, W=x=0, W=y= 0zxxyz¶y¶z¶z¶x¶x¶y按照場論知識，如果一個矢量的為零，則必然存在一個標量，使得這個矢量可以表示成該標量的梯度，即v= ¶j, v= ¶j= ¶j,vxyz¶x¶y¶z這個就是速度的勢函數(shù)?；蛘?，按照Cauchy-Riemann定理，當= &#

2、182;vy,¶vy¶vz¶vx= ¶v= ¶vx¶x, ¶xz¶y¶z¶z¶yv+dy+成立時，v微分d式x成v為全dz微分式：xyzv=jdzv +ydy +vdxdxz這里的是無旋的速度勢，它滿足：就= ¶j, v= ¶j= ¶jv,vxyz¶x¶y¶z 柱坐標系下，勢函數(shù)和速度的關(guān)系是= ¶jvr¶r¶jv=qr¶q= ¶jvz¶z勢函數(shù)的意義在于，三個速度分

3、量可以通過一個標量表示，從而可以使三個變量減為單變量。勢函數(shù)也可寫成全微分形式，在直角坐標系下：dj = vxdx + vydy + vzdz=6 xvy = -例1已知速度分布v ：x,6 ，y求勢函數(shù)。解首先，需要勢函數(shù)是否存在。對二維問題，只要渦量的z分量即可。因為v ¶¶y- ¶vy¶0=x - 0 =0x所以，x=有勢。按照勢函數(shù)的定義：j¶x,vy = ¶j¶=6x¶=)=y-6vy，得到：xj (,y+ (f )3x2y從第一式y(tǒng)(=)-3 y2+，C C可以取為零。再從第二式，定出f3( 2x- 2

4、)y因此xj (, y =) Laplace方程如果是不可壓縮的，那么必須滿足下面的連續(xù)方程：+ ¶Vy¶Vx+ ¶Vz= 0¶x¶y¶z把勢函數(shù)的表達式代入，得到下面的Laplace方程：j¶2 j+ ¶j2+ ¶2= 0x¶2¶y2¶2z柱坐標下，對應的Laplace方程是：1 ¶ æj¶ö j 1¶2j¶2+ ¶ 2z= 0r¶ rç rr¶÷¶q 2

5、2èør說明(1)Laplace方程是一個線性方程，因此比較容易求解。在適當?shù)倪吔鐥l件下，一旦獲得勢函數(shù)的解，就立即可得到速度場分布。再按Bernoulli方程，就可求得場。這就是勢函數(shù)的作用所在，也是勢流理論的。(2)Laplace方程是一個線性方程，也意味著它滿足：即如果j1和j2疊都滿足方程，則其任j1 +jb意的線性組合a2也是原方程的解，這里a，b是任意兩個常數(shù)。請記住，只要是無旋，則勢函數(shù)一定滿足Laplace方程。 流函數(shù)勢流理論中，除了勢函數(shù)外，還有流函數(shù)的概念。對于平面(即二維)不可壓縮，按照連續(xù)方程(這是必須滿足的)：+ ¶vy¶vy

6、¶vx¶vx=0 即,-y¶x¶y¶x¶按照Cauchy-Riemann定理，下列微分式-dxy+ vxvdy成為全微分式，即存在一個標量函數(shù)yyv= - dy x+x vddy這個y稱為流函數(shù)。顯然，只有二維情況下才存在流函數(shù)，且流函數(shù)與速度的關(guān)系為= ¶y , v =¶y-xvxy¶y¶ 柱坐標函數(shù)與速度的關(guān)系是：= ¶y¶y, v =-rvqr¶qr¶對于流函數(shù)，當是無旋時，也滿足Laplace方程。因此，流函數(shù)也起著勢函數(shù)的作用，也一樣滿足疊。說明

7、：流函數(shù)與勢函數(shù)在勢流理論中的地位相等；但是它們存在的條件不一樣。務必不要。流函數(shù)與勢函數(shù)滿足Laplace方程的條件也不相同。請把與速度的關(guān)系以及全微分式都弄清楚?？偨Y(jié)：Lapalce方程成立存在條件與速度的關(guān)柱坐標系下與速度的關(guān)系系條件= ¶j= ¶j勢函數(shù)無旋（不不可vvx¶xr¶r管維數(shù)）壓縮¶j¶j= ¶y=r¶qvyvq¶y¶y=r¶qvr二維=vx流函數(shù)無旋¶y= - ¶y¶yvvy = - ¶q¶rx 勢函數(shù)和流函數(shù)性質(zhì)

8、a、有勢的中，速度環(huán)量為零。環(huán)量是指速度沿一條封閉曲線的：=VòlGd×s證明按照Stokes公式，沿曲線的等于通過該曲線所圍的面積上被積函數(shù)的面，即：×dl=ò(lsÑv)òG= V´×Sd對，被積函數(shù)為零，因此，速度環(huán)量為零。b、等流函數(shù)線就是流線。證明因為流線的全微分式為dy = -vydx + vxdy對于等流函數(shù)線，即滿足dy = 0 的線。顯然由此得出的結(jié)論就是流線方程。c、等勢線和等流函數(shù)線互相垂直。證明 按照等勢線和等函數(shù)線的定義，dj = 0dy = 0- vydx + vxdy = 0vxdx

9、+ vydy = 0立即看到，這是互相垂直的。§6.2簡單勢流a、直(或均)u ìï =DV cosa=a0ívïî =DV0 sina=b這是一個無旋的二維，因此存在勢函數(shù)和流函數(shù)。勢函數(shù)和流函數(shù)分別為：jax=+by+C=yay-+bxC因此，分別是兩族互相垂直的平行線。b、點源和點匯ìïvq=íïîr2prvq= 0q稱為源或匯強度。這是一個無旋的二維，因此存在勢函數(shù)和流函數(shù)。勢函數(shù)和流函數(shù)分別為：qj =ln r2pqy =q2p點源或點匯的中心是一個奇點。c、點渦vr = 0

10、ìïGív =-ïq2prî稱為渦強度。 為正號時，沿逆時針旋轉(zhuǎn)。這也是一個無旋的二維，因此存在勢函數(shù)和流函數(shù)。勢函數(shù)和流函數(shù)分別為：G qj =2pGy=-ln r2p點渦的中心也是一個奇點。渦強度等于繞中心的環(huán)量。勢流的疊加簡單的勢流解可以疊加出復雜的勢流來。反之，一個復雜的勢流問題可以分解為若干個簡單的勢流。疊加要領(lǐng)：用疊加法求速度勢的基本點，就是要保證所求問題的內(nèi)外邊界條件。這是因為幾個勢函數(shù)的疊加仍然滿足Laplace方程，所以流場內(nèi)部是沒有問題的。要滿足內(nèi)邊界條件，就必須要形成一條流線與物體表面完全重合。這條流線的作用與物體表面完全

11、相同。d、偶極子一個強度為+q的點源和一個強度為-q的點匯，相距2a。如果令a0，q，而其乘積為一個有限值，則得到偶極子。按照定義，偶極子是一個勢流，且其勢函數(shù)為：ln x( +a)2+2qyMxj =limx ( -a)24p2px 2+y22 ya®0®q¥這里M=2aq稱為偶極子的強度。偶極子的流函數(shù)為M-yy=2px 2+y2可以看出，偶極子的勢函數(shù)和流函數(shù)分別為兩族同心圓，且總是與y和x坐標軸相切。f、螺旋點源和點渦的疊加，給出螺旋。其流函數(shù)與勢函數(shù)分別為12pq(ln +rGq )j =12pq(q -lnG )r=y這個對分析許多旋轉(zhuǎn)機械(如離心泵渦

12、殼、旋風除塵器等)很有幫助。有時需要用點匯與點渦的疊加。g、繞圓柱體的無環(huán)量繞圓柱的理想，可以用一個直和一個偶極子流的疊加來代替。所以，理想圓柱繞流的勢函數(shù)和流函數(shù)分別為：x M+xy M-yj= vy= v¥¥2px 22px 2+y2y2因為圓柱繞流時，中心線及物面上的流線是零流線，所以為了使這個疊加滿足繞圓柱的實際情況，在圓柱面(即r=R)上，流函數(shù)必須為零。把這個約束代入流函數(shù)中，得到= 2p v¥MR所以，理想的圓柱繞流的勢函數(shù)和流函數(shù)為：æöæöR2R2j =v¥cros q çxç

13、1 +÷ =v÷+ 1 2¥r2rèøèøæöæöR2R2y =v¥sirn q çèyç1 -÷ =vø÷ø-1¥r22rè下面進一步分析這個的特點：1零流線令y =0，則有y=0及r=R兩個解。這說明線是x軸與圓柱面，即是從無窮遠處來的沿x軸的流線，在圓柱的前駐點處分為上下兩條流線，分別沿上下物面，最后由在后駐點處匯合后，沿x軸向下游流去。2圓柱表面的特點按照勢函數(shù)與速度的關(guān)系，可得

14、到圓柱繞流時的速度分布：v = ¶j = vcos¶j=q æö vq æö22- R+ Rç÷=, -v sinç÷11q¥¥r¶qr¶r22rrèøèø根據(jù)速度分布，可知物面上徑向方向上沒有速度在前、后駐點處：q 0=, p=:vq0最高點(最低點)處：q = ± p2=:v2v¥q所以最大流速出現(xiàn)在最高點與最低點上，且物面上，流速關(guān)于x和y軸都是對稱的。按照Bernoulli方程，的最大值在

15、前后駐最??；并且圓柱面的點處，在最高/最低點上下、左右分布都是對稱的。所以理想圓柱繞流既沒有升力，也沒有阻力。實際情況下，圓柱繞流確實沒有升力，因沿x軸對稱；但是實際情況下，圓柱繞流為是有阻力的。這個錯誤稱為ADlembert佯謬。造成這個佯謬的是沒有考慮粘性。關(guān)于這個問題的解決是由邊界層理論完成的。而要求圓柱體受到升力，則需要有環(huán)量的。h、繞圓柱體的有環(huán)量繞圓柱的有環(huán)量的理想，可以用一個直、一個偶極子流和一個點渦的疊加來代替。有環(huán)量的圓柱繞流的勢函數(shù)和流函數(shù)分別為：æöGR2jvq¥ cos÷ -q2p=çèr+rø

16、30;öGR2y =¥ sinq çèr-÷ +ln r2pvrø式中G<0 。所以，復合的速度分別為：q æöq æö +G22- R+ R=ç÷v= ,-vsinç÷vcvos11q¥¥2p rr22rrèøèø當r=R時，Gqsinv=0v =2-v+2,q¥rpR現(xiàn)在滯止點的位置顯然不在圓柱體的前后端點處，它可以如下求得：在滯止點，有Gvsinqv=2 -+= 0q¥2pR-1 æöGq = sinç4pRv÷è¥ ø所以，前后駐點的位置向下移動；當然具置取決于 G；此動沿y軸對稱，而沿x軸不再對稱，所以