冪等變換和冪等矩陣的性質(zhì)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上冪等變換和冪等矩陣的性質(zhì)中文摘要:本文在已有文獻(xiàn)資料的基礎(chǔ)上，對冪等變換和冪等矩陣的性質(zhì)作了歸納。關(guān)鍵詞:冪等變換，冪等矩陣，性質(zhì)正文:（一）定義及說明定義1.設(shè)是數(shù)域上線性空間上的線性變換，且，則稱為上的冪等變換。定義2.設(shè)是數(shù)域上的級(jí)方陣，若，則稱為上的冪等矩陣。因?yàn)閿?shù)域上維線性空間的全部線性變換組成的集合對于線性變換的加法和數(shù)量乘法構(gòu)成的上的線性空間與數(shù)域上的級(jí)方陣構(gòu)成的線性空間同構(gòu)，即。所以冪等變換對應(yīng)于冪等矩陣,.（二）冪等變換的一個(gè)性質(zhì)及其推廣1定理1.設(shè)是數(shù)域上線性空間的線性變換，且，則有 （1）=,=（2）（3）若是的一個(gè)線性變換，則和都在之下不變的充

2、要條件是 將冪等變換的定義加以推廣：設(shè)是數(shù)域上線性空間上的線性變換，且，則稱為上的冪等變換。對于滿足的線性變換有類似性質(zhì)定理2. 設(shè)是數(shù)域上線性空間的線性變換，且（），則有（1）=，=（2）（3）若是的一個(gè)線性變換，則和都在之下不變的充要條件是證明：已知（1）： 因此反之，由因此從而=因此反之，有因此從而=（2）：由（1），+從而+又設(shè)由又由=即=（3）：假設(shè)，都在之下不變，由（2），存在唯一的，唯一的，使得則由假設(shè)，（由（1）又，（由（1）由的任意性，若，即，且由（1），使得 =0即在之下保持不變，由（1），即由（1），即也在之下保持不變 證畢定理1是定理2當(dāng)n=2時(shí)的情形，當(dāng)然也成立。（三

3、）冪等變換的幾個(gè)等價(jià)表示定理3.設(shè)是數(shù)域上的線性空間的線性變換，則下列命題等價(jià)：（1）（2）的特征值只能是1和0，且,其中和分別是的屬于1和0的特征子空間（3）證明：設(shè)，是的特征值，則有（為的屬于特征值的特征向量）由知，為非零向量又 由定理1，即如果的特征值只能是1和0，且,有有 = 由的任意性，得，即設(shè)由，設(shè)，則使得從而又因此=從而如果，則= =從而由的任意性，即（四）冪等矩陣的一些性質(zhì)性質(zhì)1.設(shè)是級(jí)冪等矩陣，則對是可逆矩陣 證明：由因此可逆，且其逆矩陣為性質(zhì)2.設(shè)為冪等矩陣，則可以對角化證明：由知是的化零多項(xiàng)式又的特征值只能是1和0的最小多項(xiàng)式為且這三種情形下均無重根故可對角化性質(zhì)3.設(shè)是

4、冪等矩陣，則的秩等于的跡證明：因?yàn)榈奶卣髦抵荒苁?和0，設(shè)的秩為，則與相似設(shè)為的全部特征值，則相似矩陣有相同的特征值，而的全部特征值為個(gè)1即的秩等于的跡性質(zhì)4.設(shè)是秩為的冪等矩陣則，其中是秩為的矩陣證明: 與相似，即存在可逆矩陣使得令,則秩（C）=且性質(zhì)5.可逆冪等矩陣為單位矩陣證明：為冪等矩陣，又可逆，兩邊同時(shí)左（右）乘,得即為單位矩陣由于冪等矩陣的性質(zhì)是限制在維條件下討論的，所以對應(yīng)冪等變換的性質(zhì)也只是在有限維情況下成立，至于這些性質(zhì)能否推廣到無限維的情形，本文未予討論。參考文獻(xiàn)：1陳爾明.冪等變換的一個(gè)性質(zhì)的推廣J. 牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003.32王萼芳,石生明.高等代數(shù)M.北京:高等教育出版社,2003.9.3李師正.高等代數(shù)解題方法與技巧M.張玉芬，李桂榮，高玉玲.北京:高等教育出版社,2004.2.4張樹青 ,王曉靜.線性空間的冪等變換與對合變換的幾個(gè)等價(jià)表示J.煙臺(tái)師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版) ,2004 .20(1).5鐘太勇,袁力,彭先萌.冪等矩陣與冪等變換性質(zhì)的探討J