高三復習等差等比數(shù)列習題

1、高三數(shù)學第二輪專題復習等差、等比數(shù)列考綱要求：1. 理解等等比數(shù)列的概念.2. 掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3. 能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差、等比關系，并能用有關知識解決相應的問題.4. 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系，了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.考點回顧：等差、等比數(shù)列是最重要的、最基本的數(shù)列模型，因而也是高考重點考察的對象，從近幾年的高考看，考查既有選擇題、填空題，也有解答題，既有容易題和中檔題，也有難題.客觀題一般“小而巧”，考查對等差、等比數(shù)列概念的理解、性質(zhì)的靈活運用，主觀題則一般“大而全”，除了考查數(shù)列的概念、性質(zhì)、公式的應用外，還經(jīng)常與其他知識融合在一

2、起，同時也考查分類討論、等價轉化、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法的靈活應用.考試說明對等差、等比數(shù)列都提出了較高的要求，因此，等差、等比數(shù)列的綜合問題應用問題將是高考對數(shù)列考查的重點.基礎知識過關：等差數(shù)列1.等差數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第 項起，每一項與他的前一項的差都等于 ，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的 .2.等差數(shù)列：在一個等差數(shù)列中，從第二項起每一項（有窮數(shù)列最有一項除外）都是它前一項與后一項的等差中項，即 （）.3.等差數(shù)列的單調(diào)性 當d>0時，是 數(shù)列；當d=0時，是 數(shù)列；當d<0時，是 數(shù)列.4.等差數(shù)列的前n項和是用 法求得的，要注意這種思想方法在

3、數(shù)列求和中的應用.5.等差數(shù)列的通項公式= ，前n項和公式= = ，兩個公式一共涉及到五個量，知其三就能求另二.等比數(shù)列：1.等比數(shù)列的定義：一般的，如果一個數(shù)列從 起，每一項與他的 的比等于 常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ，公比通常用字母 ()表示.2.設等比數(shù)列的首項為，公比為q,則它的通項= .3.等比中項：如果三個數(shù)a、G、b組成 ，則G叫做a和b的等比中項，那么 .4.等比數(shù)列的前n項和公式 .高考題型歸納：題型1.等差等比數(shù)列的判定與證明：證明一個數(shù)列為等差或等比一般用定義或者等差（比）中項來證明，而對于等差數(shù)列來說，證明一個數(shù)列的通項公式是關于n的一次函

4、數(shù)或者證明它的前n項和事關于n的不含常數(shù)項的二次函數(shù)也能說明它是等差數(shù)列.例1. 已知數(shù)列中，是其前項和，并且，設數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項公式及前項和。分析：由于b和c中的項都和a中的項有關，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑解析：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據(jù)b的構造，如何把該式表示成b與b的關系是證明的關鍵，注意加強恒等變形能力的訓練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和

5、得，數(shù)列b是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3·2當n2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當n=1時，S=a=1也適合上式綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2點評：1本例主要復習用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項與前項和。解決本題的關鍵在于由條件得出遞推公式。2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應用題型2.等差等比數(shù)列的基本運算：在等差等比數(shù)列中指涉及到五個基本量，即，“知三求二”是一種基本運算，一般式通過通項公式和前n項和公式聯(lián)立方程組求解，對于等比數(shù)列來說，要注意分類討論思想的

6、應用。例2. 已知數(shù)列的前n項為的前n項和滿足（I）求數(shù)列的通項公式；（II）將數(shù)列與的公共項，按它們在原數(shù)列中的先后順序排成一個新數(shù)列的通項公式；分析：已知，一般由（）來求得，然后再研究其他問題，本題的難點在于判定來那個個數(shù)列的公共項.解析：（I），(II)由,即,故的通項公式為設數(shù)列中的第項與數(shù)列中的第n項相同，則有由此 必有n為奇數(shù)2k+1，故的通項公式為點評：本例主要復習了通過前n項和求數(shù)列的通項,并學會通過觀察兩個不同數(shù)列,找出公共項通過化歸寫出新數(shù)列的通項.題型3.等差等比數(shù)列性質(zhì)的應用合理運用等差等比數(shù)列的性質(zhì)是高考考查的一個重點，也是考查學生能否合理進行簡化運算的關鍵.在計算過

7、程中，若能恰當?shù)剡x擇性質(zhì)，則可大大減少運算量.例3. 等差數(shù)列an的前n項的和為30，前2m項的和為100，求它的前3m項的和 分析： 本題可以根據(jù)條件直接列式求解，但是若能合理應用性質(zhì)，選擇不同的公式，則會得到不同的解法.解析：解法一 將Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+d,得 解法二 由知，要求S3m只需求ma1+,將得ma1+ d=70,S3m=210 解法三 由等差數(shù)列an的前n項和公式知，Sn是關于n的二次函數(shù)，即Sn=An2+Bn(A、B是常數(shù)） 將Sm=30,S2m=100代入，得,S3m=A·(3m)2+B·3m=210解法四 S3m=S2m+a2

8、m+1+a2m+2+a3m=S2m+(a1+2md)+(am+2md)=S2m+(a1+am)+m·2md=S2m+Sm+2m2d 由解法一知d=,代入得S3m=210 解法五 根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)知 Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差數(shù)列，從而有 2(S2mSm)=Sm+(S3mS2m)S3m=3(S2mSm)=210解法六 Sn=na1+d,=a1+d點(n, )是直線y=+a1上的一串點，由三點(m,),(2m, ),(3m, )共線，易得S3m=3(S2mSm)=210 解法七 令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,a1=30,a2=70a3=

9、70+(7030)=110S3=a1+a2+a3=210答案 210 點評：將條件“等差數(shù)列”換成“等比數(shù)列”，使用類比思想，考慮這七種方法是否都可類比.題型4.等差等比數(shù)列前n項和的最值：求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法有：（1） 利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負轉折項；（2） 利用性質(zhì)求出正負轉折項；（3） 利用等差數(shù)列的前n項和為關于n的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.例4. 設等差數(shù)列an的前n項和為Sn已知a3=12, S120,S130 ()求公差d的取值范圍；()指出S1,S2,S12,中哪一個值最大,并說明理由分析：（1）依據(jù)直接列方程求解d的范圍即可；（2）判斷出轉折項

10、即可找出前n項和的最大值.解析： ()依題意,有 ，即由a3=12,得 a1=122d (3)將(3)式分別代入(1),(2)式,得 ，()由d0可知 a1a2a3a12a13因此,若在1n12中存在自然數(shù)n,使得an0,an+10,則Sn就是S1,S2,S12中的最大值由于 S12=6(a6+a7)0, S13=13a70，即 a6+a70, a70由此得 a6a70因為a60, a70,故在S1,S2,S12中S6的值最大點評：無論應用二次函數(shù)求最值，還是利用找轉折項求最值，兩種方法都具有一般性，但是需要注意的是，利用二次函數(shù)求最值，要注意n只能取正整數(shù)，找轉折項可以通過利用通項公式解不等

11、式，但是計算比較繁瑣，這時可以合理選擇應用數(shù)列的性質(zhì)，以簡化運算和判斷.過關訓練：等差、等比數(shù)列一.選擇題1.等差數(shù)列的前n項和為，等于（ ）A.102 B.204 C.306 D.4082.等差數(shù)列的公差d<0，且，則數(shù)列的通項公式為（ ）A. B. C. D. 3.已知是等比數(shù)列，則公比q等于 ( ) A. B.-2 C.2 D. 4.在等比數(shù)列中，若等于（ ）A.8 B.-8 C.16 D.-165.等比數(shù)列中，公比q=4，則的值為 （ ）A. B. C.4 D.166.某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15.偶數(shù)項之和為30，則其公差為（ ）A.5 B.4 C.3 D.27.設

12、是等差數(shù)列的前n項和，則的值為（ ）A. B. C. D. 8.設等比數(shù)列的公比q=2,前n項和為，則等于 （ ）A.2 B.4 C. D. 9.等比數(shù)列的首項，則達到最大值時，n的值為 （ ）A.8 B.9 C.10 D.1110.一個等比數(shù)列前三項的積為2，最后三項的積為4，且所有項的積為64，則該數(shù)列有（ ）A.13項 B.12項 C.11項 D.10項11.已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，且他們的前n項和有最大值，則使>0的n的最大值為 （ ）A.11 B.19 C.20 D.2112.設數(shù)列、都是等差數(shù)列，且那么數(shù)列的第2010項的值是 （ ）A.85 B.90 C.95 D.100二

13、、填空題13.等差數(shù)列中，有兩項，則該數(shù)列前mk項之和是 .14.設，定義使為整數(shù)的數(shù)k（）叫做數(shù)列則區(qū)間內(nèi)的所有企盼數(shù)的和為 .15.定義“等積數(shù)列”：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的積都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就做等積數(shù)列，這個常數(shù)叫做等積數(shù)列的“公積”.已知數(shù)列是等積數(shù)列，且，公積為6，那么 ，這個數(shù)列前n項積的計算公式為 .16.把49個數(shù)排成如圖所示的數(shù)表，若表中每行的7個數(shù)自左向右依次都成等差數(shù)列，每列的7個數(shù)自上而下也都成等差數(shù)列，且正中間的數(shù)=1，則表中所有數(shù)的和為 .三、解答題：17.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明 18.已知數(shù)列中，數(shù)列滿足；（1） 求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2） 求數(shù)列中的最大值和最小值，并說明理由19. 設數(shù)列an的首項，且，記（I）求a